rizos

hay un capítulo de las aventuras de esther en el que nuestra amiga decide rizarse el pelo. otras chicas hacen lo contrario, se lo planchan. a menudo me ocurre que le digo a una chica “hoy te has rizado el pelo, qué bien te queda!”, y me responde “no, si mi pelo de natural es rizado, lo que pasa es que otros días me lo plancho!”.

se me ha ocurrido relacionar esto con una paradoja matemática que me contaron cuando estaba allá por 2º o 3º de bup. imaginad que sobre el diámetro de una circunferencia grande trazamos dos semicircunferencias cuyo radio sea la mitad del radio de la circunferencia original, de la manera que se observa en la figura. el resultado es una especie de yin yang.

partimos de que la longitud de una semicircunferencia de radio r es π·r. es lógico, si la longitud de una circunferencia entera es 2·π·r, la de una semicircunferencia será la mitad, π·r.

R mayúscula es el radio de la circunferencia base, y por tanto R/2 será el radio de las dos semicircunferencias de nuestro yin yang. por tanto, la longitud de las mismas será 2·(π·R/2) = π·R.

ahora vamos a hacerlo un poco más difícil. trazaremos cuatro semicircunferencias alternas cuyo radio será la cuarta parte del radio grande.

la longitud de esas cuatro semicircunferencias será, de manera análoga a como lo hemos hecho antes: 4·(π·R/4) = π·R.

más difícil todavía! ahora lo haremos con ocho semicircunferencias de radio la octava parte del radio de la circunferencia grande.

calculamos la longitud de las ocho semicircunferencias: 8·(π·R/8) = π·R.

puede dar la impresión de que si trazamos semicircunferencias cada vez más pequeñas, la línea formada vista de lejos se asemejará a una línea recta, se ‘confundirá’ con el diámetro de la circunferencia grande. sin embargo, hemos comprobado que la longitud de esa línea en zigzag es siempre la misma: π·R. la expresión de su longitud para un número genérico n de iteraciones sería:

2ⁿ·(π·R/2ⁿ) = π·R. da igual que tomemos el límite cuando n tiende a infinito, porque el factor 2ⁿ se encuentra en el numerador y en el denominador, cancelándose entre sí.

el diámetro de la circunferencia base es 2·R. la longitud de nuestra línea ‘rizada’ hasta el infinito es π·R. quiere decir esto que π es igual a 2? ni hablar, porque por mucho que ricemos esa línea curva, por más fino que sea el rizo, nunca se convertirá en una línea recta.

si esa línea en zigzag la ‘estirásemos’, comprobaríamos que es apreciablemente más larga que el diámetro, con la misma diferencia que hay de π (3.14159...) a 2.

algo parecido ocurre con el pelo. cuando está rizado, queda más ‘contraído’. por eso cuando las chicas que tenéis el pelo ondulado os lo plancháis, os queda una melena más larga. :)

el experimento de rizarse el pelo que hizo esther sólo duró una noche. al día siguiente volvió a llevarlo como siempre...

presión

hay una fórmula de física que nunca se me olvida, y es la presión en un punto determinado de un fluido: presión igual a densidad por gravedad por altura. lo expresamos matemáticamente de esta manera:

P = ρ·g·h

P es la presión que queremos calcular, ρ (letra griega que se lee como ‘ro’) la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad, y h la altura -o más bien deberíamos decir profundidad- respecto a la superficie superior del fluido.

resulta intuitivo que a mayor profundidad a la que un cuerpo se encuentra sumergido en un líquido, mayor será la presión. por eso nos preguntamos cómo los peces que viven en las fosas marinas más profundas resisten las altas presiones. en cuanto a la densidad, también es lógico pensar que habrá mayor presión cuanto más pesado sea el líquido.

mortadelo y filemón en este caso se ven sometidos a una presión superior a la normal, pero tampoco mucha, podría ser peor...

se puede comprobar que en esa fórmula las dimensiones son coherentes. para empezar, la presión P es fuerza entre superficie. a su vez, la fuerza es masa por aceleración. utilizando unidades del sistema internacional, sus unidades serán kg·m/s². la superficie se mide en m², y por tanto las unidades de presión serán kg/m·s².

la densidad ρ es masa entre volumen, es decir kg/m³. la gravedad g es una aceleración, y por tanto sus unidades son m/s². (su valor se puede considerar constante e igual a 9.8 m/s²). y por último la altura h es simplemente una distancia, que se mide en m.

si multiplicamos las unidades de ρ, g y h obtenemos:

(kg/m³)·(m/s²)·m = kg/m·s², que como hemos dicho son unidades de presión.

un día por la mañana me fijé en el chorro que salía del grifo abierto de la bañera, antes de ponerlo en ‘modo ducha’, y eso me dio la idea de escribir una entrada relacionada con estos temas.

si pones el dedo en el chorro, cuanto más abajo lo pongas notarás que el agua cae con más fuerza. esto se debe al efecto de la gravedad: a medida que cae el agua, su velocidad va aumentando proporcionalmente con la gravedad y el tiempo, igual que ocurre en la caída libre de cualquier cuerpo.

cerca de la boca del grifo, notas que el chorro de agua está más ‘blandito’. pero abajo del todo cae con mucha presión y si metes el dedo salpica en todas las direcciones. es una de esas cosas de las que te das cuenta desde pequeño, aunque aún no sepas cuál es la explicación física.

si se rompe un conducto por el que el agua circula a altas presiones, ésta se escapa violentamente. así sucede cuando pepe gotera y otilio tienen que realizar un trabajo de fontanería, y como es su costumbre causan un estropicio...

una de mis alumnas tiene un hermanito pequeño que ahora está en 3º de primaria. a veces oigo a su madre batallar con él porque no quiere meterse en la bañera. se queja de que el agua sale fría. yo le comprendo al muchacho, porque el verano pasado tuve que ducharme con agua fría la mayor parte de los días debido a problemas con la caldera, y no mola nada.

quizá en un futuro tenga que darle clases también a él. ahora es un poco revoltoso, pero puede que para entonces se haya vuelto más formal. además mi cometido será enseñarle matemáticas, para mandarle que se meta en la ducha ya está su madre. ella tendrá que estar atenta para que no haga ninguna picaresca como zipi y zape, en plan meterse con impermeable y cosas de esas...

altibajos

en ciertas épocas el ánimo puede estar un poco oscilante, pero no por ello hay que ser hipocondriaco y pensar que se trata de depresión bipolar.

existe abundante información sobre esta enfermedad y se conocen bastantes casos de personas famosas que la sufren o la sufrían. lamentablemente, se ha puesto de moda emplear el término ‘bipolar’ como insulto hacia aquellos que tienen un comportamiento cambiante.

como digo, hay épocas en las que podemos tener altibajos de ánimo. por ejemplo, el verano tiene momentos muy divertidos, pero también tiene momentos en los que hay que aguantar a gente pesada con conversaciones deprimentes... además, puede ocurrir que antes de comer te tomes dos o tres cañas y te pongas ‘contento’, y luego te dé el bajón. todo influye...

y entonces sientes que tu ánimo sube y baja como una curva senoidal. pongamos como ejemplo la gráfica trigonométrica más sencilla, sen(x).

entre 0 y π/2 sube, pero cada vez menos. en π/2 llega a un máximo y deja de subir. entre π/2 y π baja de manera pronunciada. entre π y 3π/2 sigue bajando, pero menos. en 3π/2 llega a un mínimo y no baja más. entre 3π/2 y 2π sube fuertemente. a partir de 2π subirá pero no tanto... y así sucesivamente.

en cualquier gráfica, en general me gustan más los mínimos que los máximos. porque en los mínimos tocas fondo y a partir de ahí vuelves a subir. mientras que en los máximos tocas techo, y la caída será más dura. si tu ánimo está oscilante, piensas “ahora estoy de buen humor, pero cuando me venga el bajón va a ser terrible”.

tampoco hay que confundir la bipolaridad con encontrarse en una situación o circunstancias difíciles y tener un momento de tregua. eso es lo que le ocurre al director de la oficina donde trabaja el botones sacarino -popular personaje de francisco ibáñez, el creador de mortadelo y filemón-.

el verano está acabando, y poco a poco volvemos a la normalidad. para dar la bienvenida al otoño, época en la que todo es más estable, me he comprado una sudadera y me he cortado el pelo. así estaré un poco más guapo y compensaré los kilos de más ocasionados por pasar todo el verano comiendo y bebiendo porquerías. :P

economía (1)

en el segundo ciclo de la carrera tuve algunas asignaturas de economía, organización de la producción y administración de empresas.

la asignatura de economía por excelencia era ‘teoría e instituciones económicas’ de 4º curso (eran 6 en total). la impartía un catedrático un poco excéntrico, con un humor inteligente muy peculiar. uno de los pocos profesores con carisma que tuve en la escuela...

sus clases no parecían seguir un plan prefijado. consistían en charlas sobre situaciones de la vida real relacionadas con la economía, en las cuales nos invitaba a interactuar planteándonos preguntas. siempre ponía una sonrisa ‘de pillo’, y cuando la respuesta que le dabas era incorrecta, te lo hacía ver con una ironía elegante que nunca te hacía sentir humillado.

en sus clases podíamos tener la sensación de que no dábamos nada relacionado con el temario de la asignatura de economía. pero en realidad sí que había muchos contenidos teóricos, sólo que había que descifrarlos y entresacarlos. aquel profesor hacía que su asignatura tuviera un ‘halo de misterio’, que nunca llegaras a entenderla del todo. y realmente eso es lo que sucede con la economía en la vida real. porque en este campo se producen muchos fenómenos impredecibles incluso para los mayores expertos, y carentes de explicación racional.

feliciano, que así se llamaba el profesor, cada año ofrecía la posibilidad de aprobar la asignatura a través de un examen oral, el cual te liberaba del examen escrito. ese examen oral tenía lugar en su despacho, sentándote enfrente de él, y utilizando papel y boli si tenías que dibujar alguna gráfica o lo que fuera.

a pesar de su sentido del humor, feliciano intimidaba mucho. era un catedrático de unos 55 años que estimo tendría entonces, vestido siempre con trajes oscuros, con un abundante pelo peinado hacia atrás, con gafas, con una voz grave y un ligero acento gallego que delataba su origen. conmigo fue muy considerado, debí de caerle bien, quizá porque iba con una actitud humilde...

aun así me hizo temblar en algún momento, cuando me hizo ver que había metido la pata al responder alguna de sus preguntas. y es que no era lo mismo meter la pata en clase que en el examen oral. ese hombre era excéntrico pero no tenía un pelo de tonto, y estaba claro que no te iba a aprobar por la cara. si un tema no lo llevabas bien, te mandaba estudiártelo y te hacía volver otro día. y si veía que estabas muy verde en general, te ‘recomendaba’ presentarte al examen escrito.

mi examen oral se realizó en tres sesiones, de aproximadamente dos horas cada una. me aprobó con un 7. valió la pena el esfuerzo de varios meses. él recomendaba la lectura de un libro antiguo que estaba disponible en la biblioteca de la escuela, la teoría de los precios de george stigler. lo leí entero durante la semana santa de ese año. tengo que investigar si aún lo reeditan, porque me gustaría tenerlo.

si en el título de esta entrada he puesto (1) es porque habrá como mínimo una 2ª parte. en ella, probablemente explicaré algunas cosas de economía que aprendí, y que reflejan la manera de pensar y actuar de las personas en la vida diaria, no solamente en el ámbito económico. la economía, tal como me la han enseñado, es casi una especie de filosofía...

clases

tengo muchas ganas de que empiece el curso escolar para volver a dar clases. seguiré teniendo a los mismos alumnos, menos a un chico de bachillerato que para el curso que viene seguramente habrá elegido la opción de humanidades o como se llame ahora, y ya no tendrá matemáticas. todos aprobaron en junio, por lo que este verano no han necesitado mi ayuda.

el curso pasado, los días más tranquilos eran los lunes y los miércoles. tenía clase con una niña de 2º de eso a la que llamaré creativa. vivía cerca de mi casa, y generalmente le daba una hora, aunque cuando había exámenes cercanos le podía dar hasta dos horas, y si era necesario también alguna hora extra en sábados. siempre era agradable dar clase con ella.

los martes y los jueves tenía clase con dos hermanos: la mayor, la llamaremos rebelde, de 1º de eso; y el pequeño, perfeccionista, de 5º de primaria, dos años menor. vivían más lejos, como a tres cuartos de hora de mi casa. iba y volvía andando siempre.

al final de curso, los martes y jueves se me complicaron un poco más, pues me salió otra alumna que vivía en la misma zona, y también del mismo colegio que los dos hermanillos. la nueva alumna, llamémosla tímida, era de 1º de eso. dar clase con ella era muy fácil por su buen carácter, y además como venía de darle clase a rebelde, que era del mismo curso y tenía a la misma profesora, ya llevaba ensayado lo que tenía que explicarle.

esos días, después de darles clase a perfeccionista y a rebelde, me iba corriendo a casa de tímida. como me gusta cenar pronto pero no iba a ser posible, iba comiéndome por el camino un bocadillo que llevaba preparado en la mochila. me pareció que sería muy estresante dar tanta clase seguida y con la presión de que no se me hiciera muy tarde -porque tímida también tenía que cenar y acostarse pronto-, pero en realidad fue peor de pensar que de pasar. al final fui capaz de compaginarlo todo.

como decía al principio, los viernes tenía a un chico de 1º de bachillerato. era hijo de una dependienta amiga mía a quien le comenté que daba clases. al hablarme de su hijo, le describió como un adolescente problemático, pero conmigo se portaba muy bien, de ahí que en este relato de mis experiencias escolares haya decidido llamarle buen_chaval. las matemáticas que le daba a este chico eran un poco más avanzadas, por lo que tuve que repasar algunas cosas y hacer yo mismo ejercicios para practicar y tenerlo todo fresco.

buen_chaval y su madre vivían muy lejos, así que ir andando como a mí me gusta era inviable. claro que la boca de metro estaba a cierta distancia de mi casa, y además había que subir y bajar escaleras para aburrir, con lo cual los viernes no dejaba de hacer ejercicio físico.

veremos qué nos depara el curso que viene. yo lo veo ilusionante, en parte porque creativa ya estará en 3º de eso -lo que antes era 1º de bup-, un curso que hasta ahora nunca había impartido, y en el que se dan cosas nuevas e interesantes. no sólo en matemáticas, me imagino que también tendré que explicarle alguna cosa de física o química de vez en cuando. y esa niña es tan simpática y divertida, al igual que sus padres...

perfeccionista estará en 6º de primaria, el curso en que estaba su hermana mayor cuando empecé con ellos. rebelde estará en 2º de eso, al igual que su compañera de cole tímida. los repartos proporcionales, las gráficas representadas en ejes de coordenadas y los problemas a resolver con ecuaciones les esperan...

hélices y más

este verano ha resurgido mi fascinación por las hélices. una hélice es una curva geométrica generada por un punto que tiene simultáneamente un movimiento circular y un movimiento rectilíneo perpendicular al plano del círculo. es algo parecido a una escalera de caracol.

todo empezó al fijarme en los abanicos, que son muy necesarios cuando hace calor. en primer lugar me di cuenta de que, cuando está abierto del todo, el ángulo entre dos varillas consecutivas es igual a 180 dividido entre el número de varillas.

pero fui más allá: si miramos el abanico de canto, alrededor del punto de unión de las varillas se forma una especie de hélice. cuando el abanico está abierto, cada varilla está a una altura superior y girada cierto ángulo respecto a la anterior. y justamente eso es lo que caracteriza a una hélice: la altura aumenta con el ángulo de giro.

algo parecido ocurre cuando apilan las mesas de los chiringuitos. para encajar cada mesa con la siguiente hay que girarla de manera que las patas de una y de otra no se obstaculicen. de esa manera se forma algo parecido a una hélice. por cierto, las atan con una cadena y con candado, pues de lo contrario llegaría algún listo que dijera: “huy, una mesa de éstas me viene de miedo para mi patio!”. :P

el otro día fuimos de excursión, y me fijé en un camión con hormigonera al que adelantamos. la hormigonera tiene dos movimientos combinados: su propio giro y el movimiento rectilíneo del camión. esto da como resultado una hélice, pero en este caso horizontal. un punto cualquiera del depósito giratorio iría dibujando una especie de ‘muelle’ sobre la carretera.

tanto me han fascinado los camiones con hormigonera que me he comprado uno de juguete, no he podido evitarlo. me servirá cuando tenga que explicar los movimientos de rotación y traslación a los niños en alguna clase de física que me toque dar. ^_^

estos días se está celebrando la feria de jumilla. justo enfrente tenemos unos puestos de dulces artesanos variados, entre ellos almendras garrapiñadas. las hacen allí mismo, y a que no sabéis qué aparato utilizan para mezclar las almendras, el azúcar, el agua, etc.? una hormigonera!

la foto del plano general del puesto me ha quedado un poco borrosa por las luces. y como el dueño ya ha sido bastante amable al apartarse para que hiciera la foto, me ha dado apuro decirle que quería repetirla.

las almendras garrapiñadas que se elaboran mediante este procedimiento se empaquetan y se venden en el puesto que está justo al lado. están riquísimas, aunque hay que procurar dosificarse y no comer demasiadas de golpe. pueden ser un poco indigestas.

incomunicación

cuando veraneábamos en el campo, en un pequeño pueblo del interior de cantabria, lo peor que llevaba era estar incomunicado. no había cobertura móvil, y no hablemos de conexión a internet.

al menos pudimos instalar teléfono fijo, porque hasta hace no demasiado tiempo tampoco había. si teníamos que hacer alguna llamada íbamos a la única casa del pueblo que tenía teléfono, pagándoles por el uso del mismo.

en mi época universitaria ya tenía teléfono móvil. cuando íbamos a pasar la mañana o la tarde a reinosa -un pueblo que nos parecía la gran metrópoli comparado con el lugar entre montañas donde estábamos-, aprovechaba que allí había cobertura para mandar mensajes a mis compañer@s de clase.

si durante el tiempo que pasábamos en la ‘gran urbe’ haciendo compras o lo que fuera no me contestaban, me quedaba la esperanza de que lo hicieran más tarde y ver la respuesta en el siguiente viaje. pero como en la escuela donde estudié la gente era tan simpática, la mayoría de las veces no había respuesta. se oía sonido de grillos...

el estar aislados del mundo también me supuso un problema en una época en la que el pecado constituía para mí una obsesión -últimos años de colegio y primeros de universidad-. si sentía la necesidad más o menos justificada de confesarme, tenía que esperar hasta el domingo, cuando fuéramos a misa a reinosa.

para rizar el rizo, si tras la confesión me quedaba intranquilo porque no había dicho todo lo que supuestamente tenía que decir, no podría subsanarlo hasta el domingo siguiente. estaría siete días en pecado...

en el verano de cou me regalaron el mundo de sofía de jostein gaarder porque me gustaba mucho la asignatura de filosofía, tema central de esa novela. pero interrumpí su lectura porque los protagonistas discutían si el narrador poseía poderes divinos -debido a su omnipresencia y su capacidad de leer los pensamientos de los personajes-, y eso me parecía poco menos que blasfemo. en fin... algún día la volveré a leer, para poder saber cómo acaba.