estadística (2)

en realidad no vamos a hablar de campanas para llamar a comer. vamos a hablar de otro tipo de campana, la campana de gauss.

en una distribución normal, la mayoría de los datos se encuentran en torno a la media, y sólo unos pocos en los extremos. así suele suceder en todos los ámbitos de la vida. por ejemplo, en cuanto a la estatura, hay una gran mayoría de personas medianas, una minoría de personas altas como michael jordan, y otra minoría de personas bajas como danny de vito.

la expresión de la curva de gauss es una exponencial negativa de segundo grado. hay una versión simplificada, en la cual se realiza un cambio de variable para que la media μ sea 0 y la desviación típica σ sea 1.

la probabilidad de que la variable x se encuentre por debajo de cierto valor x₀, es igual al área bajo la curva desde -∞ (menos infinito) hasta x₀. y para calcular áreas, hay que integrar.

el problema es que la función de distribución normal no se puede integrar mediante métodos algebraicos, por lo que hay que recurrir a los desarrollos en serie. conociendo el desarrollo de e^x, para obtener el desarrollo de e^-x2/2, simplemente sustituiremos la x por -x²/2.

a continuación, integraremos esa expresión entre 0 y x₀. hemos omitido el factor 1/√(2·π) para no estar arrastrándolo todo el rato, pero una vez que hemos hecho los cálculos en los que no influía, lo volvemos a poner.

si tenéis un examen de estadística y se os ha olvidado la tabla de la distribución normal, con este desarrollo se consigue una aproximación incluso más precisa que con la tabla. además, no hay que tomar demasiados términos, ya que sólo los cinco o seis primeros influyen. enseguida se hacen despreciables, porque el denominador crece muy rápidamente.

pero, pensándolo bien, mejor que no se os olvide llevar la tabla. en los exámenes, experimentos los mínimos. :P

para terminar, os muestro esta viñeta en la que rompetechos confunde un sombrero con una campana, que por su forma bien podría ser la de gauss.

y siguiendo con las campanas, llevo muy mal que ya no exista el chocolate la campana de elgorriaga. hace unos años, allá por 2010-11, lo volvieron a sacar, y aunque no sabía igual que el de la generación egb, al menos tenía el mismo nombre y el mismo logo. ahora ni eso, ya no lo encuentro en el súper.

plaza mayor

tenía ganas de hacer un recorrido por la plaza mayor de madrid. es tan grande que da mucho juego... podía haber ido hasta allí andando, pero entonces me habrían quedado pocas fuerzas para dar vueltas y vueltas por la plaza. además, luego quería ir al fnac de callao a mirar una cosa. así que fui en metro.

me bajé en ‘ópera’ y tomé la calle de la escalinata para dirigirme a la plaza mayor.

tras algunos callejeos, llegamos a una de las entradas a la plaza mayor, por la calle ciudad rodrigo.

había unas chicas leyendo las letras grabadas en el suelo que cuentan la historia de la calle. ellas no se iban y yo tenía que hacer mi foto. ^_^

empezamos a dar vueltas por los soportales, llenos de tiendas y bares con muchos años de historia.

tenía ganas de llegar a mi salida favorita -o entrada, según como se mire- de la plaza mayor. no se complicaron la vida con el nombre...

este pasadizo con escaleras siempre me ha parecido muy pintoresco.

y como veis, hemos acabado este recorrido igual que como lo empezamos: bajando escaleras.

eso sí, no me voy sin antes mostraros unas fotos de la plaza mayor propiamente dicha, que me he centrado mucho en los soportales. pero es tan grande que uno no sabe cómo enfilarla. hice fotos desde aproximadamente la mitad de los cuatro lados del rectángulo. con lo cual, se ve a felipe iii y su caballo de uno y otro costado, de cara y de trasero. :P

zapatos

hemos hablado del número áureo en varias ocasiones. a modo de recordatorio, diremos que dos segmentos siguen la proporción áurea cuando la razón entre el menor y el mayor es igual a la razón entre el mayor y el total -la suma de los dos-. a partir de ahí se obtiene una ecuación de segundo grado cuya solución positiva es el número áureo: (1+√5)/2 = 1,61803... se suele denotar con la letra griega Φ (fi).

la proporción áurea se ha empleado en la arquitectura y en variadas disciplinas artísticas desde los tiempos más antiguos. también aparece en muy diversos fenómenos naturales, desde la reproducción de los conejos hasta la forma de las galaxias.

un día vi una tabla que relacionaba la longitud del pie en centímetros con el número de calzado en el sistema europeo. se me ocurrió dividir el segundo entre el primero, y me salía en todos los casos un cociente que se aproximaba mucho a la proporción áurea.

aceptando esta hipótesis, podríamos construir una nueva tabla. si el número de calzado es la longitud del pie por el número áureo, entonces la longitud del pie será, recíprocamente, el número de zapato entre el número áureo. seguro que no nos equivocamos mucho.

número...longitud(cm)

 33.......20,4

 34.......21,0

 35.......21,6

 36.......22,2

 37.......22,9

 38.......23,5

 39.......24,1

 40.......24,7

 41.......25,3

 42.......26,0

 43.......26,6

 44.......27,2

 45.......27,8

las longitudes las he redondeado a la décima más próxima -que en este caso indicaría los milímetros-. en realidad, el número de calzado es algo muy variable. mi número en teoría es el 42, pero para las alpargatas y chanclas suelo necesitar el 43 por lo menos.

cuál es vuestro número de pie? ;) en las zapaterías, es raro que tu número sea el del par que está expuesto, casi siempre tienes que pedirlo y que te lo saquen del almacén. y a todo esto, a ver si la madre de zipi y zape se decide ya por unos zapatos que le convenzan...

estadística (1)

el profesor de filosofía que tuve en 3º de bup, siempre ponía exámenes tipo test. según nos contó, no quería que nos aprendiéramos los temas de memoria sin entenderlos, para luego soltarlos en el examen y olvidarlos. el examen tipo test a mí me iba muy bien, porque siempre me ha resultado difícil memorizar tochos. la manera de estudiar era leer los temas muchas veces y con mucha atención, procurando entender bien todos los conceptos.

eso no quería decir que fuera fácil. el examen constaba de 40 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, siendo sólo una de ellas la correcta. cada respuesta acertada sumaba 1 punto, y cada respuesta errónea restaba 1/3 de punto (0,333...). la puntuación obtenida era sobre 40, y para pasarla a la escala sobre 10 se dividía entre 4. era bastante más complicado que los tests de las revistas, ya os lo digo.

si respondías al azar todas las preguntas de ese examen, la nota esperada era un 0, y os voy a explicar por qué. la media o esperanza matemática de aciertos sería igual al producto del número de preguntas por la probabilidad de acertar: 40·(1/4) = 10. por tanto, en principio obtendrías 10·1 = 10 puntos -que tampoco serían para tirar cohetes, pues no olvidemos que la puntuación era sobre 40-. pero además, si se aciertan 10 preguntas, quiere decir que se han fallado 30, pues estamos suponiendo que no se deja ninguna sin responder. y esas respuestas incorrectas restarían la siguiente cantidad: 30·(1/3) = 10. al final, ganarías 10 puntos por un lado y los perderías por otro: 10-10 = 0.

otra razón que daba aquel profesor para poner ese tipo de exámenes, es que las notas debían seguir la curva de gauss. un planteamiento muy matemático para un profesor de filosofía... en una distribución normal, representada por la campana de gauss, se supone que hay muchos individuos en torno a la media y pocos en los extremos. otro día os lo explicaré más despacio, porque este tema da para mucho.

hace poco tuve que repasarme el tema de la distribución normal de estadística y todo lo que lleva asociado (intervalos de confianza, contrastes de hipótesis...), para explicárselo a una alumna de 2º de bachillerato que ahora se estará examinando de selectividad. por cierto, mucha suerte, campeona!!

la única vez que di estadística como tal fue en 3º de carrera, hace ya veinte años. aquel curso se me hizo extremadamente cuesta arriba, y la estadística fue la única asignatura que me gustó y que aprobé con facilidad. sin embargo, al volver a estudiármela hace poco, me ha parecido más difícil de lo que recordaba. se puede deber a que haya perdido facultades con la edad...

...o más bien, pienso yo, se debe a que en esa asignatura estaba especialmente motivado. aparte de que la profesora era muy buena, venía a clase una chica que me gustaba. en la uni, ya se sabe que cada uno va a clase a las asignaturas que quiere y en el horario que quiere. el caso es que yo pensaba, de manera más o menos consciente: “si llevo al día la estadística, en un momento dado podré resolverle alguna duda a esta chica”. por eso me parecía tan fácil y agradable de estudiar, aunque realmente no lo fuera tanto. no hay nada como tener algo asociado a estímulos positivos.

esto ha sido todo por hoy. pero antes de irme quiero deciros que ésta es mi entrada número... bueno, os dejo que lo calculéis vosotros. es muy sencillo, tan sólo tenéis que restar 1 a la siguiente cantidad:

sí a todo

en esta foto calculo que tenía unos cinco años. era en jumilla, el pueblo de mi padre, en semana santa. el traje de ‘armado’ estaba muy bien conseguido, como veis.

en esta otra foto tendría como veinte más o menos. no recuerdo para nada de quién leches era esa furgoneta ni a cuento de qué me hicieron posar al lado de ella.

eso es lo malo, que siempre digo que sí a todo. es un problema que viene de atrás, como veis. y lo peor es que las cosas que me proponen y a las cuales digo que sí, son casi siempre chorradas sin sentido. disfrazarme de romano como si fuera actuar en un remake de quo vadis, hacerme una foto al lado de una furgoneta que ni siquiera es la mítica furgoneta hippie de volkswagen...

ya podría venir eugenia silva y proponerme ir a su casa a merendar y luego a darnos un chapuzón en la piscina. a eso sí me gustaría decir que sí.

en cualquier caso, han pasado muchos años desde la foto de la furgoneta, y no digamos desde la foto del disfraz de centurión. el tiempo vuela, y sin darme cuenta he llegado a este día en el que cumplo otro año más...

aquí están los ingredientes para hacer una rica tarta de galletas casera. velas no pondremos, porque serían demasiadas. las de número tal vez, si invertimos el orden.

y aquí tengo una caja de bombones para repartir entre mis amistades. en estas fechas se suelen derretir con el calor, pero este año no tenemos ese problema...