tiro parabólico

últimamente he estado haciendo problemas de tiro parabólico con una alumna muy simpática de 1º de bachillerato. en la hoja de problemas que le dieron en el colegio había uno que me llamó la atención: se trataba de calcular el ángulo con el que se debe lanzar un objeto para que la distancia horizontal máxima que recorre sea la misma que la altura máxima alcanzada. no daban ningún dato, excepto suponer que se lanza al nivel del suelo y que la única aceleración presente es la gravedad, vertical hacia abajo.

aquí vamos a resolver un problema parecido pero ligeramente distinto: queremos que la máxima distancia horizontal (x máxima) sea el doble de la altura máxima (y máxima). para empezar, plantearemos las ecuaciones de la trayectoria y de la velocidad.

el objeto alcanza y máxima cuando la componente vertical de su velocidad es cero. sabemos por experiencia que al lanzar un objeto por el aire, va perdiendo velocidad vertical hasta que se para y vuelve a caer. hallaremos el instante de tiempo en el que eso ocurre, y esa expresión del tiempo la sustituiremos en la coordenada y.

ahora vamos a calcular la x máxima. podríamos obtener el instante en que la y se hace cero -es decir, cuando el cuerpo cae al suelo-, pero es más rápido deducir que ese tiempo será el doble del que tarda en alcanzar la altura máxima, dada la simetría de la parábola. a continuación, sustituiremos ese tiempo en la coordenada x para hallar la distancia horizontal máxima.

ya sólo nos queda igualar la x máxima con el doble de la y máxima. observamos que se cancelan a ambos lados de la ecuación la velocidad inicial v₀ -no la conocíamos pero no nos ha hecho falta-, y la gravedad. nos queda tan sólo una igualdad que nos dice que el seno del ángulo que buscamos es el doble de su coseno.

resolvemos esta ecuación trigonométrica elevando ambos miembros al cuadrado y aplicando la identidad sen²α+cos²α=1. y obtenemos que el ángulo buscado es 64,43º. verdad que era tentador creer que el ángulo para que x máxima fuera el doble de y máxima era 45º? pues ya vemos que no. con 45º habría quedado una parábola más achatada. se puede comprobar que en ese caso x máxima sería el cuádruple de y máxima.

llama la atención que la relación entre altura máxima y distancia horizontal máxima dependa sólo del ángulo con el que se lanza el objeto, y no de la velocidad inicial ni la gravedad. eso significa que se cumpliría igual en otro lugar donde la aceleración de la gravedad tuviera un valor diferente, como en la luna. allí, por cierto, la baja gravedad hace que los astronautas puedan dar grandes saltos. tintín, el capitán haddock y el profesor tornasol se adelantaron a su tiempo. ^_^

castellana

el paseo de la castellana es una de las calles más largas de madrid, y sin duda la más ancha. durante la mayor parte de su extensión tiene dos carriles para cada sentido en la parte central, con dos bulevares a ambos lados y otros dos carriles laterales. tiene 300 y pico números, que pueden parecer pocos para una calle tan larga, pero es que hay muchos edificios de organismos públicos que ocupan una manzana entera y tienen un solo número asignado.

la castellana como tal empieza en la plaza de colón. al principio, el lado de los pares pertenece al distrito salamanca, y el de los impares al distrito chamberí. había pensado incluir en este recorrido las calles predecesoras -paseo de recoletos y paseo del prado-, pero sólo la castellana ya lleva demasiado tiempo. además, pensándolo bien, ya os enseñé recoletos y el prado en otro recorrido que hice.

iremos avanzando por uno de los bulevares. lo malo de una calle como la castellana es que resulta muy difícil abarcar toda su anchura en las fotos.

el paso elevado que une las calles de juan bravo y eduardo dato, con sus esculturas debajo.

glorieta de emilio castelar.

plaza del doctor marañón. a partir de aquí y hasta el final, el lado de los pares pertenece al distrito chamartín. el de los impares de momento sigue siendo chamberí.

sobre esta colina están el museo de ciencias naturales y la escuela de ingenieros industriales de la politécnica. menos mal que sólo pasaba por ahí y no tenía que ir a hacer ningún examen. :O

plaza de san juan de la cruz. como vemos, todavía no se han llevado el armazón del árbol de navidad luminoso...

en algunos tramos, los bulevares obligan a sacrificar anchura de las aceras, pero en éste no. aquí hay una acera bien ancha para pasear.

la famosa estación de nuevos ministerios.

el puente que une joaquín costa y raimundo fernández villaverde. a partir de aquí y durante un largo tramo, el lado de los impares de la castellana pertenecerá al distrito tetuán.

los modernos edificios del complejo azca, en el lado impar.

plaza de lima, donde se encuentra el estadio santiago bernabéu.

plaza de cuzco.

nos acercamos a la plaza de castilla, que marcará un antes y un después. tras ella, el aspecto de la castellana cambiará completamente. se puede decir que aquí empieza el norte de madrid. reconozco que aquí es donde más ganas tenía de llegar, ya que la zona de plaza de castilla para arriba la tenía muy poco explorada.

las torres kio, que se ven desde muy lejos.

el intercambiador de plaza de castilla, un punto estratégico.

seguimos avanzando...

en esta zona, la castellana se ha convertido en una carretera con dos calles laterales adosadas.

a partir de aquí, en el cruce con la calle sinesio delgado, el lado de los impares -lo poco que queda- pertenece al distrito fuencarral.

en estos recorridos siempre miramos hacia delante, pero haremos una excepción. atrás ha quedado el distrito tetuán, y las torres kio se ven de lejos.

estos edificios tan curiosos, de poca altura y con grandes ventanas en forma de arco, recuerdo haberlos visto desde el coche cuando hemos viajado hacia el norte.

nos acercamos al final, aunque en el momento de pasar por ahí no lo tenía muy claro, al estar poco familiarizado con esta zona.

la castellana acaba en un nudo de carreteras que se van cada una por su lado.

me he metido por esta acera lateral tratando de encontrar una última placa de ‘paseo de la castellana’, pero no había. después, para cruzar al otro lado y coger el metro ‘begoña’, he tenido que ir por un paso subterráneo siniestro. diréis que me gusta el riesgo, y no os faltará razón. :P

la castellana, como decía, aparentemente finaliza en la plaza de castilla. su continuación, bien podría tener otro nombre. es como cuando una canción tiene un falso final, y luego continúa un rato más hasta que se va bajando el volumen poco a poco (lo que se llama fade out).

relatividad

en la novela momo de michael ende había un capítulo titulado ‘allí un día y aquí un año’. la niña protagonista pasaba un día en la casa del maestro hora, desde donde se generaba y distribuía el tiempo. sin embargo, en el mundo real había transcurrido un año, y al regresar momo se sorprendía de todos los cambios que se habían producido.

a veces ocurre al revés, te parece que para ti ha pasado mucho tiempo pero para el resto de la gente no. recuerdo que en uno de los últimos cursos de la carrera, en agosto fui un par de semanas a un pueblo muy aburrido. al regresar, retomé mis hábitos donde los había dejado antes de marcharme. me fui a estudiar a la escuela, y me encontré con dos compañer@s de clase a los que solía ver por allí. y me saludaron como si me hubieran visto el día anterior. a mí me pareció que había pasado una eternidad, y que me dirían “hombreee, chema, dónde te habías metido?”. también es verdad que la gente de mi escuela no era muy expresiva que digamos. en cualquier caso, se le podía haber dado la vuelta al título del capítulo de momo: ‘allí un año y aquí un día’.

el tiempo es relativo, y lo dijo alguien muy sabio como era el físico albert einstein. según su teoría de la relatividad, la velocidad de la luz es la misma vista desde cualquier sistema de referencia. en nuestra vida cotidiana las velocidades son relativas. por ejemplo, al viajar en tren podemos pensar que el tren está parado y que es el paisaje de fuera el que se mueve. o, siguiendo con el mismo ejemplo, si nos levantamos para ir al vagón cafetería, desde el sistema de referencia del tren vamos a paso normal, pero desde fuera se nos ve desplazarnos a la velocidad del tren más la de nuestro paso andando.

sin embargo, la velocidad de la luz no depende del sistema de referencia. es la velocidad de la luz la que manda, y el espacio y el tiempo se deforman para que desde cualquier sistema de referencia se perciba como invariable. más de una vez hemos oído decir que si una nave espacial pudiera viajar a una velocidad próxima a la de la luz, el tiempo para los tripulantes transcurriría más lento que para quienes permanecemos en la tierra. y de hecho, a su regreso notaríamos que han envejecido menos de lo que correspondería al tiempo que ha durado su viaje. este fenómeno se denomina ‘dilatación del tiempo’.

si llamamos t₀ al tiempo medido en el sistema en movimiento -la nave espacial en nuestro ejemplo-, mediante una serie de cálculos matemáticos se puede demostrar que el tiempo medido desde el sistema en reposo -la tierra- es igual a t₀/√[1–(v/c)²], siendo v la velocidad a la que se desplaza el sistema móvil y c la velocidad de la luz, aproximadamente 300.000 km/s. en realidad es 299 mil y algo... cuando estaba en primero de carrera era tan friki que me aprendí de memoria toda la ristra de cifras.

a medida que la velocidad del sistema móvil se aproxima a la de la luz -y, por tanto, el cociente v/c tiende a 1-, el tiempo se dilata indefinidamente, como se puede observar en la gráfica. para una velocidad igual al 95% de la de la luz, el tiempo medido desde la tierra será más del triple del que ha transcurrido en la nave espacial.

cuando lo pasamos bien y el tiempo se hace corto, es como si estuviéramos viajando en un cohete a velocidades cercanas a la de la luz. así sucedió el jueves por la tarde, en la quedada con mis amigas carmen, belén y lola. el tiempo que estuvimos en una cafetería comiendo churros se pasó en un suspiro, pero al mirar el reloj comprobamos que en el mundo exterior habían pasado tres horas.

carmen, que es pura alegría y dulzura, vino desde galicia. yo no tenía ni idea y me dieron una sorpresa. la quedada se suponía que iba a ser con belén y lola, y de repente apareció carmen, como si hubiera viajado desde su tierra en una de esas naves de las que hablábamos. y por cierto, estas tres chicas se conservan tan bien y aparentan tan poco sus edades, que parecen experimentar los efectos relativistas de dilatación del tiempo. ;)

ya vienen los reyes

las aventuras de esther y su mundo se desarrollan en inglaterra, donde tiene más arraigo santa claus que los reyes magos. sin embargo, modifiqué el texto de esta viñeta con el paint -adaptándolo a la peculiar dicción de laurita- de tal manera que sirviera para nuestro día de reyes.

sus majestades de oriente me han traído lectura y música, que nunca puede faltar. una novela que por la portada y la sinopsis promete ser muy bonita, y un recopilatorio del compositor y productor alan parsons. me he fijado en que no incluye ninguna canción de su álbum de debut, tales of mystery and imagination, pero como da la casualidad de que ese disco lo tengo porque venía en un coleccionable del periódico ‘el país’ de hace años, pues no hay problema.

también me han traído ropa. una sudadera fina que me vendrá bien para entretiempo, esa época en la que no hace para ir en camiseta, pero tampoco para llevar las típicas sudaderas gruesas con capucha... y además unos calcetines! llevan colorines, lo cual será útil para distinguir fácilmente a qué par pertenecen al sacarlos de la lavadora.

parece que los reyes han oído a mis amigas que decían que me iban a regalar unos calcetines cuando veían mis posados lectores. ;)

y por último, han traído una caja de sobaos pasiegos, nada menos. con esto ya tenemos el desayuno y la merienda resueltos para varios días. deben de ser para todos los que estamos en casa, porque ni de broma me como yo solo esa caja entera. luego iba a tener que estar dando el doble de caminatas de las que ya me doy normalmente, para bajar los kilos. esos sobaos, de cada 10 gramos 15 son mantequilla. :D

qué os han traído los reyes a vosotr@s? espero que todo tipo de cosas buenas.

por cierto, la madre de zipi y zape podría hacer de reina “baltasara” en la cabalgata, con el potingue facial que le ponen en el salón de belleza. los gemelos oyen pitar la olla y bajan a avisar a su madre, con tan mala fortuna que se confunden y hacen subir a otra señora.