lógica aplastante

en dibujo técnico de cou, aprendimos una interesante propiedad. desde un punto A de una circunferencia, se trazan dos líneas que forman entre sí un ángulo α. dichas líneas cortan a la circunferencia en los puntos B y C. pues bien, los radios OB y OC formarán un ángulo 2·α, el doble del que formaban las líneas AB y AC que habíamos trazado al principio.

esta propiedad se demuestra de la siguiente manera. los triángulos OAB y OAC -aparte de ser iguales entre sí- son isósceles, ya que dos de sus lados son radios de la circunferencia. tendrán dos ángulos agudos iguales a α/2. sabiendo que los tres ángulos de cualquier triángulo suman 180º, se puede deducir que el ángulo desigual medirá 180–α.

el ángulo formado por OB y la prolongación de OA será el suplementario del ángulo obtuso que acabamos de calcular. y si éste era igual a 180–α, el suplementario será α. y finalmente, el ángulo que forman OB y OC será el doble, es decir 2·α, como queríamos demostrar.

nunca se me olvidará que, en uno de los ejercicios de mi examen de dibujo técnico de selectividad, había que utilizar esa propiedad del ángulo doble. creo que si no te la sabías también podías hacerlo, pero por un camino mucho más largo.

al día siguiente tenía el examen de lengua, la asignatura que menos me gustaba -por una serie de razones que darían para otra entrada-. pero cuando llegué a casa, aún estaba pensando en el examen de dibujo que había hecho un par de horas antes. y me puse a rehacer el ejercicio del ángulo doble.

y cuando me vio mi madre viniéndome arriba con el compás, la escuadra y el cartabón, me dijo con ironía: “oye, mejor estudia lengua, no? ya puestos...”. lógica aplastante! :D tenía toda la razón. las madres son muy sabias, hay que hacerles caso! ;)

rosa y gris

siempre digo que la ropa de verano me gusta más que la de invierno. para el frío tengo lo justo y necesario, me da mucha pereza comprarme ropa nueva. en cambio, en verano siempre estreno alguna prenda un poco atrevida.

ya hablé hace tiempo de lo bien que combinan los colores rosa y gris. en cierto modo, el gris representa la parte más racional y matemática de la vida, mientras que el rosa corresponde a la faceta más emocional y romántica.

y por eso este año he decidido casi sin pensarlo combinar esos dos colores, con una camiseta rosa y unas bermudas de algodón grises. llevaré este conjunto a las quedadas y otras ocasiones especiales. ;)

me faltan unas chanclas para completar el conjunto. he encontrado unas baratas y que tienen las correas de tela como a mí me gusta -las de plástico se me clavan-. no están mal, pero no descarto encontrar otras más bonitas.

complejidad

no puedo negarlo, me gustan los números complejos más que a un tonto un lápiz. y en particular esta fórmula, que me ha dado juego para varias entradas.

e^ix = cos(x) + i·sen(x)

dicha fórmula relaciona las funciones exponenciales con las funciones senoidales a través de los números complejos, y gracias a ella las exponenciales y las senoidales pueden transformarse unas en otras, en ambos sentidos.

algo así como cuando mortadelo se disfraza...

a partir de la mencionada ecuación, vamos a despejar el seno y el coseno, para hallar después la tangente como razón entre ambos. haremos algo parecido a un sistema de ecuaciones, teniendo en cuenta que el seno es una función impar y el coseno es una función par.

ahora vamos a obtener la función inversa de la tangente, es decir la arcotangente. para ello, en primer lugar intercambiamos las variables x, y. a continuación despejamos y, tomando logaritmos.

la derivada de la función arcotangente es 1/(1+x²). por definición, arcotg(x) es el ángulo cuya tangente es x. siempre me ha parecido sorprendente que la derivada de una función trigonométrica -inversa, pero trigonométrica al fin y al cabo- dé un cociente de polinomios.

vamos a demostrarlo derivando la expresión logarítmica que hemos obtenido para la arcotangente. aplicamos las propiedades de los logaritmos y hacemos la suma de las fracciones algebraicas que nos aparecen. y así deducimos que la derivada de arctg(x) es, efectivamente, 1/(1+x²).

las funciones trigonométricas transformadas en exponenciales / logarítmicas -o viceversa- son muy útiles para descubrir y demostrar propiedades. pero son tan irreconocibles como mortadelo disfrazado de señora.