números imaginarios

existen ecuaciones de segundo grado que carecen de soluciones, ya que su resolución conduce a la raíz cuadrada de un número negativo.

el producto de dos números positivos es otro número positivo. el producto de un número positivo por otro negativo o viceversa es un número negativo. y el producto de dos números negativos es un número positivo; es como revertir el efecto.

el profesor de matemáticas que tuve en 7º de egb nos lo explicaba así:

más por más = más (dar salud)

más por menos = menos (dar enfermedad)

menos por más = menos (quitar salud)

menos por menos = más (quitar enfermedad)

así pues, el producto de dos números del mismo signo siempre va a dar como resultado un número positivo. como consecuencia, no existirá ningún número que al elevarlo al cuadrado -es decir, al multiplicarlo por sí mismo- dé un resultado negativo.

una sencilla ecuación de segundo grado como es x²–1=0 se resolvería pasando el término independiente al otro miembro y quedaría así: x²=1. despejando la incógnita, obtendríamos: x=±√1. la raíz cuadrada de 1 obviamente es 1, y cumplirá la igualdad con ambos signos: +1 y –1.

veamos ahora una ecuación similar a la anterior: x²+1=0. operando de manera análoga, la ecuación queda como x²=–1. y por tanto, despejando, x=±√–1.

x es igual a la raíz cuadrada de –1. pero –1 no tiene raíz cuadrada, por lo que hemos explicado. por tanto, esta ecuación no tiene soluciones...

...no tiene soluciones reales. sí tendrá soluciones imaginarias, introduciendo el concepto de unidad imaginaria, que llamaremos i, y que será por definición igual a la raíz cuadrada de –1. i=√–1.

por tanto, las soluciones de la ecuación anterior serán la unidad imaginaria y su opuesta: x=±i.

siempre me ha parecido curioso que se diga que una ecuación no tiene soluciones reales -dando a entender que sí las tiene imaginarias-. si no tiene soluciones reales, es que no tiene soluciones. es como si yo digo en una tienda: “me llevo esto, pero no le voy a pagar con dinero real, mire usted. le voy a pagar con dinero imaginario, que aunque no lo vea físicamente ni aparezca en su contabilidad, es tan bueno como el otro”. :P

leí en un libro de mi abuelo que los números imaginarios tenían un comportamiento sorprendente. y es que, aunque el hecho de que un número elevado al cuadrado sea negativo no parece excesivamente anti-intuitivo, es algo que tiene consecuencias imposibles de concebir para nuestra mente.

por ejemplo, una recta cuya pendiente fuera la unidad imaginaria representada en unos ejes de coordenadas (y=i·x) tendría propiedades sorprendentes. una de ellas es que la distancia entre dos cualesquiera de sus puntos sería nula. tomemos, por ejemplo, el origen de coordenadas (x=0, y=0) y el punto (x=1, y=i). la distancia entre ambos puntos, aplicando el teorema de pitágoras, sería: 1²+i², y conociendo las propiedades de la unidad imaginaria, eso sería igual a 1–1, es decir, a 0.

los números positivos y negativos tienen muchas aplicaciones en la realidad. por ejemplo, subir en un ascensor se puede expresar con un número positivo: el número de plantas que hayas subido precedido del signo más; y bajar, con un número negativo: el número de plantas bajadas, con signo menos. y si ni se sube ni se baja, se indica con el 0, que no tiene signo, no es ni positivo ni negativo.

otro ejemplo clásico es el de tener un balance contable positivo -tienes más de lo que debes-, o negativo -debes más de lo que tienes, estás en números rojos-.

sin embargo, no existe nada en la realidad que se corresponda con los números imaginarios. por eso se llaman imaginarios, podríais decir, y con razón. en el libro del que os hablaba antes se decía que tal vez los números imaginarios representaban alguna realidad profunda del universo...

posiblemente tengan alguna relación con el universo. además, la propiedad que antes comentaba de que la distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta de pendiente imaginaria es cero, se asemeja a la inmutabilidad de un rayo de luz a lo largo del espacio-tiempo. la luz que nos llega desde astros muy lejanos a la tierra tarda más o menos en llegar, pero no se debilita ni envejece. brilla con la misma intensidad que si nos hubiera llegado de manera instantánea.

la luz se desplaza a unos 300,000 kilómetros por segundo. el sol se encuentra a aproximadamente 150,000,000 kilómetros de la tierra, por lo que su luz tarda unos 8 minutos en llegar hasta nosotros. la luz del sol que vemos no es la que tiene en este mismo instante, sino la que tenía hace ocho minutos.

el año-luz se define como la distancia que recorre la luz en un año. si la luz se desplaza a esa velocidad tan enorme, imaginad qué distancia puede recorrer en un año entero... dado que las distancias en el universo son de gran magnitud, se utiliza el año-luz para medirlas. veamos unos pocos ejemplos de diferentes magnitudes de años-luz...

las estrellas del sistema alfa-centauro se encuentran a unos 4.37 años luz de la tierra. si las observamos en una noche en la que el cielo esté despejado, la luz que nos llega de ellas no es de ahora mismo. es de hace unos cuatro años, del año 2008.

la nebulosa del cono se encuentra a unos 2,700 años-luz. eso ya son palabras mayores. si la observamos con un telescopio, la imagen que veremos es en realidad del siglo vii antes de cristo. ha tardado en llegar desde la época de la grecia presocrática hasta ahora.

la galaxia andrómeda, el objeto más lejano visible desde la tierra, se encuentra a unos 2.5 millones de años luz. se comprende que una distancia tan enorme no se puede estimar con mucha exactitud. en cualquier caso, si lográsemos observarla con un potente telescopio, la imagen que nos llegaría de ella provendría de la época del australopithecus, la primera de las especies precursoras de los humanos.

en esta entrada, como veis, he puesto a la misma altura los números imaginarios y los misterios del universo. voy a terminar con una imagen del tomo 4 de la segunda parte de las aventuras de esther -las del lomo azul-. la gran purita campos dibuja fantásticamente cualquier cosa, hasta el firmamento...

otros tiempos

cerca de donde vive mi alumna hay una tienda de juguetes que me puse a mirar un día que había llegado muy pronto y me sobraba tiempo.

en esa tienda tienen maquetas de coches antiguos muy logradas. vi una del seat 124, y al final no he podido resistirme a regársela a mis padres. tuvieron ese coche cuando eran jóvenes. aunque en realidad el suyo era de color azul turquesa, y el modelo era una variante un poco más moderna con cuatro faros cuadrados.

se lo compraron en 1972, año en que se trasladaron a vivir de murcia a madrid, y lo tuvieron hasta 1979. yo tenía sólo dos años, así que apenas lo recuerdo. lo he visto en fotos, eso sí.

pues aquí lo tenéis. os gusta?

pasamos a otro asunto. gen me ha pasado estos bonitos premios blogueros junto con un cuestionario, que procedo a responder. muchas gracias por pensar en mí, gen.

cinco hábitos extraños:

1. no me gusta dormir totalmente a oscuras, siempre me pongo una luz de noche.

2. me lavo el pelo todos los días, con diferentes champús que voy alternando durante la semana.

3. tengo siempre al lado una botella de agua, aunque a veces beba poco o nada.

4. escribo con el bolígrafo casi perpendicular al papel y con el brazo ligeramente enroscado hacia dentro.

5. al leer un libro, intento no dejar nunca un capítulo o epígrafe interrumpido.

una obsesión o manía:

me lavo las manos muchas veces al día, sobre todo cuando vuelvo de la calle.

mi producto estrella:

cola-cao 0% (me sabe mejor que el normal), lo tomo muchas noches.

mi tienda favorita:

una que ya no está, el abac (http://www.tiendasabac.es/) de la calle alcalá de madrid, donde antes estaba el cine benlliure. solía entrar cuando iba a una academia de yoga que hay al lado y me sobraba tiempo. tenían librería, papelería, juguetería... un poco de todo.

cuándo y por qué empecé mi blog:

en julio de 2008 abrí un blog en hotmail, y en mayo de 2009 me pasé a blogger. algunas entradas del antiguo blog las he vuelto a publicar aquí.

mi blog lo definió perfectamente mi amiga rosana en una ocasión en que quedé con ella: escribo sobre curiosidades matemáticas y sobre otros temas que voy mezclando a mi libre albedrío.

mi estilo de vestir:

en otoño-invierno, más clásico y sobrio. en primavera-verano me suelto más el pelo.

pues ya está. los premios y el cuestionario se los voy a pasar a geno. cuando buenamente puedas y te apetezca.

el cono

parece que en los planes de estudios de primaria y e.s.o. se da mucha importancia al estudio del cono. yo pensaba que el cono era una figura geométrica sin mayor importancia que cualquier otra, pero en fin... me tendré que poner al día, por si se lo tengo que explicar a mi alumna.

veamos, un cono se puede definir de manera sencilla como la figura geométrica que se obtiene al hacer girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos.

al cortar el cono por un plano que contenga al eje de revolución, la sección será el triángulo isósceles resultante de juntar el triángulo rectángulo que lo ha generado y su simétrico. y al cortarlo por un plano perpendicular al eje de revolución, se obtendrá una sección circular.

llamaremos R al radio de la base del cono, y h a su altura. R y h son los catetos del triángulo rectángulo generador del cono.

a ver, qué cosas nos pueden pedir sobre un cono? ya sé, su volumen. creo recordar que era igual al producto de su base circular por su altura, y todo eso partido por 3. es decir, π·R²·h/3.

vamos a asegurarnos. lo haremos integrando en coordenadas cilíndricas. integraremos ‘discos’ de un radio genérico ρ y de espesor infinitesimal dz.

tenemos que encontrar una relación entre el radio ρ de cada sección del cono y su coordenada vertical z. sabemos que esta relación es de carácter lineal y conocemos el valor del radio en la base y en el vértice del cono. para z=0, ρ=R (base); y para z=h, ρ=0 (vértice).

así pues, la expresión de ρ en función de z será: ρ=R-(R/h)·z

el volumen del cono será, como decíamos, la integral de los volúmenes de los discos de radio ρ y espesor dz. nuestra variable de integración será la coordenada vertical z, y variará entre la base del cono (z=0) y su vértice (z=h).

el volumen de cada uno de los discos será el producto de su área circular (π·ρ²) por su altura (dz). π se puede sacar de la integral al ser una constante. por otro lado, ρ lo sustituimos por la expresión que hemos obtenido más arriba, de tal modo que podamos integrar en z.

desarrollamos aparte la expresión [R-(R/h)·z]² para poder integrar con más comodidad.

y por fin, integramos. se trata de una integral polinómica cuyo límite inferior (z=0) es nulo, por lo que directamente ponemos su valor en el límite superior (z=h).

que no se nos olvide que habíamos sacado π fuera de la integral. el resultado que hemos obtenido tenemos que multiplicarlo por π. así pues, el volumen del cono será:

curiosamente este valor es un tercio del volumen de un cilindro de radio R y altura h. es fácil comprender que el volumen de un cono es menor que el de un cilindro que tenga la misma base y la misma altura, pero sólo calculandolo hemos podido averiguar cuál es la proporción exacta.

es decir, si imaginamos un cilindro de radio R y altura h y un cono inscrito dentro del mismo con la misma base y altura, el volumen del cono será 1/3 del total, mientras que el volumen de la parte restante, “lo que no es cono”, será 2/3 del total. el volumen del cono es la mitad del volumen del “negativo del cono”. la proporción es 1:2.

disculpadme un momento, que me están diciendo algo por aquí...

me dicen que eso que llaman ‘cono’ que estudian los niños no es el cono como figura geométrica, sino que es una asignatura llamada ‘conocimiento del medio’.

después de todos los cálculos que he hecho... ya me parecía a mí raro. :P

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dejamos por ahora los cálculos matemáticos y los chistes nefastos. :D pasamos a otro asunto: mi amiga anele me ha propuesto un bonito reto que consiste en poner una frase que haya leído últimamente y que me haya llamado la atención. esta propuesta no podía llegar en mejor momento.

la frase es de un personaje ilustre como fue el doctor sigmund freud. más que una frase es un párrafo. creo que no necesita ninguna explicación...

“nunca estamos tan indefensos contra el sufrimiento como cuando amamos; nunca nos sentimos tan desconsoladamente desgraciados como cuando hemos perdido nuestro objeto amado o su amor”.

ahora les paso el testigo a rosana, a wendy y a gen. las tres leéis mucho y sois muy reflexivas, cada una a vuestra manera, y por eso creo que este reto os gustará. :)

verde

el color verde transmite sensaciones positivas. está muy presente en la naturaleza y se asocia con la vida.

en la vegetación predomina el verde. de color verde son las hojas de los árboles. este árbol es un castaño de indias que fotografié en el jardín botánico.

también son de color verde algunos animales, como por ejemplo la rana. no tengo una rana de mascota como zipi y zape, pero os puedo mostrar ésta de peluche que me regalaron. al apretarla croa. :P

verde es el color del gel de baño fa que suelo usar en primavera-verano, con extracto de limones del caribe. para otoño-invierno utilizo el de aloe vera, aunque a veces intercambio los papeles.

el color verde también se utiliza mucho para vestir. a esther le queda muy bien el camisón verde y las zapatillas a juego. es una de las imágenes que más me gustan de ella.

para los jerseys, un día decidí que el verde no estaba mal. éste es el fino, el de entretiempo. tengo otro más grueso en el fondo del armario -de un verde más bonito quizá- pero no os lo muestro porque en esta época daría calor solo con verlo, a mí y a vosotr@s.

esta temporada el verde recibe el nombre de mint. lo he sabido gracias a mis amigas expertas en moda, sadie&gen y lolita butterfly. ;) un día que estuve de compras vi unas bermudas de ese color, pero me las probé y me quedaban pequeñas en la mayor talla que había. :S y además en la etiqueta avisaba de que desteñían. lo dejé correr.

un tiempo después lolita, desde su blog, me animó a que me hiciera con unas bermudas mint. y como tenía ganas de soltarme el pelo y además era una buena manera de tener la mente ocupada en algo y no pensar en males de amor, me fui a por ellas. encontré unas que me quedaban bien y además estaban muy accesibles de precio.

me hice una foto con ellas puestas y la subí a facebook... os gusta? ;)