trueque

hace un par de años, buscando problemas de matemáticas de 1º de eso para una alumna que tuve, encontré por casualidad este curioso problema:

en el mercado del trueque se cambia:

- una sandía y un melón por un queso.

- un queso por tres panes.

- dos melones por tres panes.

cuántas sandías te darán por un queso?

para resolverlo, lo mejor que podemos hacer es un pequeño esquema... suponemos que los intercambios se pueden realizar en ambos sentidos.

dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. puesto que tres panes son intercambiables por un queso o por dos melones, eso quiere decir que un queso equivale a dos melones. por otro lado, sabemos que un queso equivale a una sandía más un melón, y por tanto, dos melones valen lo mismo que una sandía y un melón.

la manera sencilla de resolver este problema es concluir que un melón es intercambiable por una sandía. así pues, a cambio de un queso te pueden dar o bien dos melones o bien dos sandías. la respuesta, por tanto, es que te darán 2 sandías.

a mí se me ocurrió otra idea más complicada, que sin embargo conduce al mismo resultado...

a cambio de un queso te dan dos melones. por éstos, a su vez, te dan una sandía y un melón. lo que queremos son sandías, así que ese melón lo entregamos, y a cambio nos darán media sandía y medio melón, por regla de tres. repetimos el proceso entregando el medio melón, y a cambio recibiremos un cuarto de sandía y un cuarto de melón. ese cuarto de melón lo cambiaremos por un octavo de sandía y un octavo de melón. y así sucesivamente...

este bucle infinito nos lleva a la suma de los términos de una progresión geométrica de razón ½. recordamos la fórmula que deducíamos en esta entrada, y obtenemos que esta peculiar suma de fracciones de sandía es igual a 2 sandías.

como veis, hemos llegado al mismo resultado de antes. la diferencia es que se necesitaría un cuchillo muy bien afilado y una gran pericia para cortar gajos de sandía cada vez más estrechos. al final serían tan finos como el papel de seda. se necesitaría, además, un tiempo infinito, que para que os hagáis idea es un tiempo muy superior al que ha transcurrido desde el big bang. para eso es mejor que nos den las dos sandías enteras directamente. :P

mis primeras lecturas

la primera aventura de mortadelo y filemón que leí fue la caja de diez cerrojos, con cuatro o como mucho cinco años de edad. apenas había aprendido a leer... por eso, muchas de las escenas de este comic las interpretaba a mi manera, y ahora me resulta gracioso recordarlo. os voy a mostrar algunos ejemplos...

en ocasiones, al leer, omitía o añadía erróneamente preposiciones o conjunciones, cambiando el significado de las frases. si a eso añadimos que desconocía el significado de términos como ‘santo y seña’, no es extraño que el verdadero sentido de escenas como la que ahora veréis se distorsionara ligeramente.

yo leía “el santo y seña no entra!”, y claro, pensaba: pobre ‘santo y seña’, que no le dejan entrar. en otra viñeta próxima leía “otra vez el santo y seña se lo va a decir a su tía!”. el tal ‘santo y seña’ iba a contarle a su tía lo que había pasado. ah, y la frase “estaríamos frescos!” la entendía en el sentido literal de encontrarse en un lugar de temperatura agradable y bien ventilado.

en otro episodio, nuestros amigos viajan al desierto. a mortadelo se le ocurre la genial idea de llevarse unos cubitos de hielo envueltos en un pañuelo, que obviamente se le derriten. filemón le pega un guantazo, y cuando mortadelo dice “ya me tiene frito con sus dichosos golpecitos!”, pensaba que los cubitos se habían deshecho al golpearlos, y a esos ‘golpecitos’ se refería mortadelo.

en el capítulo que se desarrolla en el polo sur, mortadelo se lleva por equivocación una maleta con ropa de verano. cuando se da cuenta de su error y exclama “huy, jefe, qué tonto! se va a reír! ja, ja!”, lo interpretaba como que alguien era tonto o lo parecía por el hecho de reírse...

la que viene ahora es buena. cuando viajan al áfrica subsahariana, en su búsqueda de la llave golpean accidentalmente a un nativo. al acercarse a ellos con intenciones poco amistosas, mortadelo pregunta “los ibos son unos negros muy altos, muy altos?”, y filemón responde “sí, por qué?”. al leerlo por primera vez, creía que estaba preguntando por qué eran altos. mortadelo dice “por nada”, y yo lo entendía como que no había ninguna razón que explicara su gran altura.

en el episodio en que les toca navegar, filemón le da un sopapo a mortadelo que le tira al agua, por cometer una de sus pifias. tras el incidente, rema ‘en dirección al sol’ en el sentido más literal, elevándose en el aire, en una nota de humor surrealista por parte de ibáñez. cuando filemón le grita “vuelva al agua, merluzo!”, pensé que le reprochaba volver a montarse en el bote sin su permiso y le ordenaba volver a zambullirse.

la última llave se encuentra escondida en las oficinas de la t.i.a. mortadelo empieza a buscarla en el archivo, descubriendo las aficiones secretas del ‘súper’. éste, ruborizado, lo cierra de un portazo exclamando “deje en paz mi archivo, caray!”. pero yo de pequeño omití mentalmente la coma, y no conocía la interjección ‘caray’. por ello me preguntaba: qué es eso del ‘archivo caray’? ah, y el “blam!” no lo relacionaba con la puerta cerrada de golpe, sino con mortadelo partiéndose de risa.

vosotr@s, en vuestras más tempranas lecturas, también interpretabais las cosas a vuestra manera? o sólo me pasaba a mí? ;)

cicloide

la cicloide es la curva que describe un punto exterior de un círculo que rueda sin deslizamiento.

como explicábamos en esta entrada que mañana cumplirá un año, el movimiento de rodadura sin deslizamiento es la combinación de dos movimientos: una rotación respecto al centro de la rueda y una traslación horizontal.

la velocidad de traslación es tal que el punto de contacto de la rueda con el suelo en cada instante se mantiene inmóvil, y el centro de la rueda se desplaza a una velocidad de valor ω·R, siendo ω la velocidad angular y R el radio.

así pues, las ecuaciones de este movimiento se pueden expresar como sigue. dado que para el caso que nos ocupa podemos prescindir del tiempo, el ángulo ω·t girado lo podemos expresar simplemente como φ.

he dibujado una cicloide sencilla, representando la posición del círculo cada 45º girados. como 45º son π/4 radianes, y la velocidad de traslación hemos dicho que es igual a la velocidad angular por el radio, a cada π/4 de ángulo girado el centro del círculo se desplazará R·π/4 respecto a su posición anterior.

la longitud de la cicloide se puede calcular integrando cada diferencial de longitud. ese diferencial será la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos dx y dy. los diferenciales los obtenemos partiendo de las expresiones de x e y en función del ángulo φ.

integramos sobre φ a lo largo de una vuelta completa, es decir entre 0 y 2π. sacamos de la integral las constantes y empleamos las igualdades que relacionan los cuadrados de las senoidales con el coseno del ángulo doble.

y obtenemos un curioso resultado: la longitud de la cicloide es igual a 8 veces el radio R del círculo, o si se prefiere, 4 veces su diámetro.

también podemos calcular el área encerrada por la cicloide. para ello integramos los rectángulos de base dx y altura y, empleando de nuevo φ como variable de integración entre 0 y 2π.

el resultado es que el área comprendida entre la cicloide y la línea de rodadura es igual a 3 veces el área del círculo, π·R². esta vez sí depende de π.

espero que os haya gustado esta entrada. que por cierto, es la número...

ideas

“nunca he entendido muy bien la electricidad, pero si me la explican bien puede que me acabe gustando. he oído decir que los números complejos se aplican en los circuitos eléctricos.”

esos pensamientos tenía a veces cuando era adolescente, al quedarme mirando una lámpara o un transformador. y no iba desencaminado...

según la ley de ohm, la intensidad de corriente (I) que atraviesa dos nodos de un circuito es igual al cociente entre la diferencia de potencial (V) entre dichos nodos y la resistencia eléctrica (R). I=V/R.

aunque yo prefiero recordarla como V=R·I. y es que en los circuitos de corriente alterna, con bobinas y condensadores, se emplea un concepto denominado impedancia: un número complejo que es como una resistencia generalizada, con una parte real -la resistencia propiamente dicha- y una parte imaginaria -positiva para la bobina y negativa para el condensador-.

pero, mucho antes de estudiar estas cosas en profundidad, simplemente ‘me sonaba’ que para la electricidad se usaban números complejos. y en realidad no son más que un instrumento matemático que no tiene nada que ver con el significado físico del flujo eléctrico, pero yo creía que esos números que nadie puede concebir en su mente reflejaban un fenómeno real.

esas ideas tan ingenuas las tenía en la época en la que nos hicieron a mi hermana y a mí la foto que ahora veréis, junto a la fundación juan march de madrid. esas gafas enormes de montura de pasta transparente las empecé a llevar en 3º de bup, con lo cual deduzco que la foto es de esa época.

(inciso: las siguientes gafas que llevé eran igual de grandes pero con una montura más fina de color caramelo. las estrené con mucha ilusión creyendo que eran más juveniles que las otras, pero a día de hoy no sé yo cuáles eran peores, la verdad).

llevaba en la mano el libro la guerra de los mundos de herbert george wells, que me lo habían regalado. no hay nada como los libros de la colección de clásicos de anaya, que se siguen publicando, aunque ahora en otro formato.

de esa época tengo muchos y muy buenos recuerdos. como nos redistribuyeron en nuevos grupos según las opciones elegidas, hice muchas nuevas amistades. es curioso cómo mucha gente que antes estaba en otras clases y te pasaba totalmente desapercibida, al pasar a tenerles en la misma clase te podías hacer muy amigo de ellos.

en matemáticas, en 3º de bup, había un profesor joven y demasiado inocente, que tenía ciertas dificultades para hacerse respetar. sin embargo, a mí me caía muy bien. fuera de clase le hablaba y le preguntaba curiosidades que tenía.

un día le dije “el logaritmo de un número negativo, es un número complejo?”, y respondió “sí, efectivamente, es un número complejo”. él era licenciado en ciencias matemáticas, por lo que supo responderme sin dudarlo. mucho tiempo después estudié esos temas a más alto nivel y conocí la explicación de aquello que no era más que una intuición mía.

pero no sólo estudiaba y pensaba en números. también me gustaba escuchar música, por ejemplo. en ese curso me dio mucho por dire straits. tenía sus dos discos en directo, alchemy (1984) y on the night (1993). me grabé una mezcla de los dos, en una cinta de 120 minutos, la de mayor duración que había. algunas noches me la ponía en la cama con los auriculares y me dormía...