contrastes

el paseo de la castellana divide madrid, de manera similar a la m-30. al cruzar de un lado a otro se cambia de distrito municipal. la acera de los impares -a la izquierda según se sube- siempre pertenecerá a un distrito, y la acera de los pares -a la derecha- pertenecerá a otro.

• desde colón hasta doctor marañón, a la izquierda es chamberí y a la derecha es salamanca.
• desde doctor marañón hasta nuevos ministerios, a la izquierda sigue siendo chamberí y a la derecha pasa a ser chamartín.
• desde nuevos ministerios hasta la estación de chamartín -casi al final-, a la izquierda es tetuán y a la derecha sigue siendo chamartín.
• y desde la estación hasta el final de la castellana, en un breve tramo la acera de la izquierda es fuencarral, y a la derecha es lo poco que queda de chamartín.

estos días tenía la idea de hacer un recorrido por tetuán, que destaca por sus contrastes. se pueden encontrar altos y modernos edificios, así como zonas de calles irregulares y estrechas con casas antiguas.

en esta foto se pueden ver algunos edificios del moderno complejo ‘azca’ a la izquierda, y el palacio de congresos a la derecha. a mi espalda queda el estadio santiago bernabéu. a continuación os muestro unas fotos más detalladas de ambos lados.

continuamos caminando por la avenida del general perón. llegamos a la esquina con la calle orense, donde hay unos soportales llenos de tiendas.

en gran parte de la acera norte de general perón hay un parque. por cierto, tengo alumn@s que viven muy cerca de aquí.

llegamos hasta el final de esta calle, que en realidad es el principio. la numeración empieza aquí y acaba al llegar a la castellana.

ahora seguimos por la calle de ávila, que es como la prolongación de general perón pero más estrecha.

nos estamos acercando a bravo murillo, el eje divisorio del distrito tetuán y una de las calles más largas de madrid.

ya estamos en bravo murillo. se supone que esta calle separa la zona antigua y la zona moderna de tetuán, quedando en el lado izquierdo la primera y en el lado derecho la segunda.

cruzamos al otro lado y nos metemos por la calle de castilla -nada que ver con la plaza de castilla-, que es prolongación de las anteriores por las que hemos pasado. hasta ahora hemos avanzado en línea recta todo el tiempo.

observamos que, efectivamente, las casas son más bajas y antiguas. y las calles empiezan a ser un laberinto, lo cual puede ser una pesadilla para alguien con poco sentido de la orientación como yo. y he tenido ocasión de comprobarlo...

al llegar aquí, ya no sabía por dónde seguir. pero suponía que avanzando de frente -o lo más parecido a ir de frente que permitieran estas tortuosas calles-, acabaría llegando a la avenida de pablo iglesias, donde acaba el distrito tetuán y empieza el distrito moncloa.

y este cartel señalizando la ciudad universitaria, me confirmaba que había seguido el camino correcto.

ésta es la avenida de pablo iglesias. como decía, a la derecha es tetuán y a la izquierda ya es moncloa. fin del trayecto.

pero no fin de mis problemas. :D y es que al dar la vuelta para volver por donde he venido, no sé qué puñetas he hecho que he vuelto a salir a avda. pablo iglesias. yo quería salir a bravo murillo y coger allí algún metro o autobús.

he encontrado una parada del autobús 45, que me acercaba a mi zona. pero cuando empiezo a desorientarme, suelo entrar en una espiral de despropósitos sin fin. adivináis lo que ha pasado? exacto, lo he cogido en sentido contrario. :P menos mal que me he dado cuenta a la primera parada.

y he tenido la suerte de que, justo donde me he bajado para enmendar mi error y no irme hasta aravaca o vete a saber dónde, había una boca de metro. concretamente la de guzmán el bueno. y por fin he podido volver a mi casa en la línea 7 sin más contratiempos. ^_^

contornos

por el título parece que voy a hablar de contorno de ojos o algo así. ;)

en la aventura el astropitufo, el protagonista levanta una valla para poder construir sin que le molesten la nave espacial con la que viajará a otros planetas. cada uno tiene sus hobbies... el área limitada por la valla del pitufo es cuadrada, o rectangular quizá. si hubiera querido abarcar la máxima área posible con el mismo perímetro -a efectos prácticos, el mismo número de listones de los que está formada la valla-, tendría que haberla construido de forma circular.

pero vayamos por partes. cuanto mayor es el número de lados de un polígono, para un mismo perímetro, mayor será su área. y vamos a demostrarlo. un polígono regular de n lados se puede desgajar en n triángulos isósceles. el área del polígono será la suma de las áreas de estos triángulos. el área de un triángulo es, como sabemos, el producto de la base por la altura dividido entre 2.

la base de cada triángulo es el lado del polígono, l. la altura a -también llamada apotema- no la conocemos, pero la podemos calcular relacionándola con la tangente del ángulo α opuesto a la base -para ser más exactos, la mitad de ese ángulo-. recordemos que en un triángulo rectángulo, la tangente del ángulo es igual al cociente del cateto opuesto entre el cateto contiguo.

vamos a hacer algunos arreglos en la fórmula que acabamos de obtener. el lado lo expresaremos como el perímetro dividido entre el número n de lados, y el ángulo como una vuelta completa (360º, es decir 2·π radianes) dividida también entre el número de lados.

por tanto, nuestra fórmula para el área de un polígono será A = p²/[4·n·tg(π/n)]. el numerador, p², es constante ya que la comparación entre los polígonos de diferente número de lados la hacemos manteniendo constante el perímetro. en el denominador n aumenta, pero por otro lado tg(π/n) se hace cada vez más pequeño cuando más grande se hace n. el decrecimiento de la función tangente ‘puede más’, y por eso el denominador globalmente disminuye con n. si el denominador disminuye el cociente aumenta, y con eso queda demostrado que a mayor número de lados, mayor es el área de un polígono.

cuantos más lados tiene un polígono, más se aproxima a una circunferencia, más se ‘redondea’. por ello, podríamos decir que la línea cerrada que contiene el área máxima es la circunferencia. vamos a calcular el área encerrada dentro de una circunferencia, o dicho de otro modo, el área del círculo. para ello integramos infinitos ‘gajos’ de ángulo infinitesimal dα, que se asemejan a triángulos de base R·dα y altura R -siendo R el radio de la circunferencia-.

el área del círculo expresada en función del perímetro del que disponemos es p²/(4·π), mayor que la de cualquier polígono. en consecuencia, para cualquier acción que vaya desde construir un muro con una cantidad prefijada de materiales hasta sentarse en corro un número determinado de personas, para abarcar la máxima área posible, la forma ideal que debe adoptarse es la circular.

tras estas divagaciones, os deseo unas felices fiestas. no trabajéis demasiado... al menos no tanto como el pitufo, que sólo vive para construir su nave espacial. :P

quien tiene un amigo...

...tiene un tesoro. en lo que llevamos de mes he tenido la suerte de recibir varios estupendos regalos, que han hecho que estos días fríos y lluviosos hayan sido un poco más felices.

ruth me trajo un autobús en miniatura de irlanda -país en el que reside desde hace más de dos décadas-, y varios recuerdos de su reciente viaje a berlín: una postal con un trozo de muro, y otros dos vehículos en miniatura, un volkswagen escarabajo y un trabant -el coche de la antigua alemania oriental-.

durante la cena estheriana que hacemos todos los años a comienzos de diciembre, se acercó a mí la pequeña eva -hija de nuestra amiga laura- para entregarme un paquete. eran los regalos del amigo invisible del foro de esther. eso significaba que la ‘culpable’ estaba entre las asistentes a la cena, y así fue. belén, te pillé, pero no me lo pusiste muy difícil. ;)

belén me trajo un coche de playmobil con su conductor, una pulsera muy chula y unos caramelos de colorines en una botella con tapón mecánico como las de la antigua casera.

conduzcan con precaución...

el resto de personas que acudieron a las quedadas de aquel día también trajeron regalitos muy chulos. gracias a laura, ruth, coti, ana, maria josé, mayca, susana, mari carmen y maria jesús. :* laura, en breve me pondré con el marcapáginas d.i.y. que nos pusiste de deberes. ;)

quiero mencionar también a silvia campos, creadora del personaje pelón. nos trajo varios de sus calendarios benéficos. silvia es ilustradora y licenciada en matemáticas. ella sí es matemática de verdad, no yo. ;)

pero los regalos no acabaron en la cena del día 3. una semana más tarde la lópez, una chica leal y noble como buena asturiana, me trajo este precioso llavero pintado por ella.

mónica, una bella maestra de cantabria, me mandó una postal navideña. tus niños cada vez se parecen más a ti! :)

maría, una abnegada enfermera gallega, amiga en facebook y participante del foro de esther, me envió un mini rojo -del modelo antiguo- en miniatura. es una obra de arte. y además un calendario estheriano de bolsillo.

en la cena estheriana de la que hablaba antes, conocí en persona por primera vez a maria josé, así como a su marido y a su hijo. esta simpatiquísima madrileña residente en murcia me sorprendió ayer enviándome un paquete de tarjetas de gorjuss. como llevo siempre una bolsa en bandolera de gorjuss, sabía que me gustaba. ;)

y por último pero no menos importante... hoy me han llegado los regalos del amigo invisible incorrecto, organizado por nuestra amiga eva en su blog opiniones incorrectas. mi amiga invisible ha sido naar. y el azar ha querido que seamos amigos invisibles mutuos, porque a mí también me tocó regalarle a ella, lo cual me hizo mucha ilusión.

para empezar, fijaos en la caja que contiene los regalos, llena de números y símbolos matemáticos. qué fama tengo! :D

naar me ha enviado una taza de gatos muy simpática, una bolsa de bombones y una tarjeta de navidad...

...y además, dos libros que no tenía y estoy seguro de que me gustarán. mi única duda es por cuál de ellos empezaré, pero tengo claro que será hoy mismo, porque justo ayer terminé el que tenía entre manos.

de nuevo os doy mil gracias a todas las personas a las que he mencionado. por muchos años!! :* y si me he olvidado de alguien, que me disculpe y me lo haga saber para editar la entrada.

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más cosas! una preciosa tarjeta navideña que sin duda es de elaboración propia conociendo a la artista que me la ha enviado. :) muchas gracias, queca!!

números tramposos

mi modesta experiencia como profesor particular me ha enseñado que siempre se debe comprobar que una ecuación de 2º grado está bien resuelta. no hay que confiarse y dar por hecho que está bien sólo porque la raíz cuadrada que aparece en la famosa fórmula nos haya salido exacta.

con un ejemplo se entenderá mejor lo que quiero decir. resolvemos una ecuación de 2º grado y obtenemos dos soluciones...

pero puede que por error cambiemos el signo del ‘discriminante’ -palabra en desuso que se refiere a lo que hay dentro de la raíz cuadrada-, y sumemos cuando tenemos que restar o viceversa. y tal vez se dé el caso de que aunque nos hayamos equivocado nos siga saliendo una raíz exacta. eso no significa que esté bien.

y es que hay números engañosos, números tramposos, que tanto al sumarlos como al restarlos el resultado es un número con raíz cuadrada exacta -lo que en los libros antiguos de matemáticas llamaban ‘cuadrado perfecto’-.

vamos a intentar obtener una fórmula para generar parejas de números enteros que tengan esa propiedad: tanto si se suman como si se restan, el resultado será un número con raíz exacta.

llamaremos a y b a una pareja de esos números. queremos que cuando se sumen el resultado sea un número entero al cuadrado, al que llamaremos c². y cuando se resten, el resultado deberá ser otro entero al cuadrado, que denotaremos como d². operando de manera similar a cuando resolvemos un sistema de ecuaciones, obtenemos que a y b serán respectivamente iguales a la suma y a la diferencia de c² y d² dividida entre 2.

por tanto, ya sólo nos queda dar valores enteros a c y d para obtener esas parejas de ‘números tramposos’. como la fórmula que hemos obtenido va dividida entre 2, queremos asegurarnos de que tanto la suma como la diferencia de c² y d² sean pares, y que de ese modo al dividir entre 2 salga un número entero. y para que la suma o diferencia de dos números sea par, ambos deben ser de la misma paridad: o los dos pares o los dos impares.

no queremos tampoco que ninguno de nuestros números tramposos sea negativo, porque eso crearía confusión y se incurriría en duplicidades. al fin y al cabo, sumar un número negativo es como restar un número positivo, y restar un número negativo es como sumar un número positivo. por ello, impondremos la condición adicional de que c sea mayor o igual que d.

en la tabla que hemos construido, observamos que hay dos tipos de casos obvios:

1) a y b son iguales, y su valor es la mitad de un número con raíz cuadrada exacta. por tanto, su suma será igual a dicho número con raíz exacta, y su resta será cero. en ambos casos son cuadrados perfectos.

2) a es un número con raíz cuadrada exacta y b es igual a 0. tanto si sumas como si restas cero, el resultado será igual al cuadrado perfecto en cuestión.

pero los casos verdaderamente interesantes son aquéllos en los que a y b son diferentes entre sí y ninguno de ellos es cero. y a la vista de la tabla, existe una sucesión infinita de parejas de números tramposos:

(5,4), (10,6), (13,12), (17,8), (20,16), (26,10), (25,24), (29,20), (37,12), (34,30), (40,24), (50,14), (41,40), (45,36), (53,28), (65,16), (52,48), (58,42), (68,32), (82,18), (61,60), (65,56), (73,48), (85,36), (101,20), ...y muchos más...

y se puede comprobar que, efectivamente, tanto si se suman como si se restan el resultado es un número con raíz cuadrada exacta:

con esto creo que ha quedado claro el mensaje para los estudiantes: repasad bien las ecuaciones, porque de eso depende que saquéis una buena nota en el examen. además es más sencillo que repasar los cálculos de un astrónomo. ;)

pesetas

cuando estaba en 1º de bup -es decir, que tenía 14-15 años-, una tarde fuimos varios amigos y yo a un club donde estudiábamos y hacíamos actividades extraescolares.

salimos a merendar a una panadería que había cerca. me compré mi donuts o lo que fuera, y entre el cambio que me dieron había una peseta. no recuerdo si era de las doradas o de las plateadas más ligeras que salieron después, pero era una peseta.

en mi pandilla estábamos todos en modo de hacer el idiota al máximo, y en ese contexto no se me ocurrió otra cosa mejor que decir: “qué hago yo con una peseta? fuera con ella!”, y la lancé por los aires. en ese momento pasaba un señor de mediana edad, que se me acercó muy serio. por un momento me asustó. “irá a echarme la bronca...?”, pensé.

y para mi sorpresa, me dijo en un tono solemne:

“oye... me han dicho que te llaman el tira-pelas”.

y continuó su camino, con expresión de satisfacción por su ocurrencia. mis amigos y yo nos quedamos unos segundos sin saber cómo reaccionar. y entonces uno de ellos se puso a vocear:

“ja-ja-ja!! qué gracioso!! tira-pelas!! cómo me río!! ja-ja-ja!!”.

obviamente no estuvo bien. vale que una peseta no iba a ninguna parte, pero tampoco era para tirarla, aunque fuera por hacer la gracia. además podía haberle dado a alguien. pero en fin, éramos adolescentes, y aunque por lo general todos los de mi entorno éramos buenos chicos, en ocasiones no estábamos exentos de hacer el capullo.

ya digo que no hay que subestimar el valor de una moneda pequeña, como pudiera ser una peseta de las de antes o un céntimo de euro de los de ahora. además, muchas de esas monedas pueden sumar una fortuna... :P

ahora pasamos a otro tema. nuestra querida eva de opiniones incorrectas me ha pasado el premio ‘liebster’, que aunque ya lo tenía, contiene un nuevo cuestionario que paso a responder.

1. ¿Cuándo y por qué empezaste con tu blog?

este blog, técnicamente comenzó en mayo de 2009. aunque es la continuación de otro que tenía en msn-hotmail desde aproximadamente un año antes.

2. ¿Qué esperas de él?

no soy muy de declaraciones de intenciones. supongo que expresarme, compartir vivencias y curiosidades...

3. ¿Qué esperas, o te gustaría encontrar, en los blogs que visitas?

diferentes puntos de vista sobre las cosas, que es algo que siempre te enriquece.

4. ¿Cómo descubres nuevos blogs, a través de qué vías? Si es que los buscas.

a través de amigos comunes. curiosamente empecé a visitar algunos blogs a raíz de conocer en persona a sus autoras -o estar a punto de hacerlo-, como fue el caso de álter ego y naar.

5. ¿Cuál ha sido tu post que más éxito ha tenido? ¿A qué lo atribuyes?

el de los números primos. me parecía demasiado abstracto en ese momento -aunque he llegado a publicar ladrillos mucho peores-, pero se ve que muchos estudiantes lo consultaron.

6. ¿Tus publicaciones están relacionadas con tu profesión (o son directamente parte de tu profesión), o es una afición completamente aparte?

estudié una carrera de ciencias y doy clases particulares de matemáticas, física, química... los temas de ciencias están muy presentes en este blog, aunque también publico anécdotas y tonterías de todo tipo.

7. ¿Crees que blogger puede ser una profesión?

lo que es para mí, si fuera una profesión tendría que darle otro enfoque totalmente distinto.

8. ¿Qué piensas de las "nuevas profesiones", nacidas alrededor de las redes sociales?

algunos youtubers, aunque no se dediquen profesionalmente a ello, hacen videos muy trabajados. me gustan mucho inés me llaman y agripina, por su humor absurdo-surrealista. te alegran el día.

9. ¿Planificas tus publicaciones? Semanalmente, mensualmente... o ¿publicas lo contenidos según los generas?

suelo publicar una vez a la semana en promedio. entre dos entradas consecutivas pueden pasar cinco, seis, siete, ocho días, pero por término medio se puede decir que actualizo semanalmente.

10. ¿Moderas los comentarios que se dejan en tu blog? ¿Por qué?

nunca he tenido puesta la moderación, pero si alguien que no conozco publica spam o cualquier comentario irrespetuoso, lo borro “en cero coma”. tampoco permito anónimos.

11. Para leer, para escribir, ¿papel o electrónico?

quienes me conocéis, sabéis bien que leo en papel. en cuanto a escribir a mano, en las clases lo hago todo el tiempo, y para el blog a menudo escaneo gráficas y cálculos hechos por mí.

les paso el premio y el cuestionario a gen, a pirulí y a ses. ;)