nieve

esta figura es la representación simplificada de la forma que adopta un copo de nieve.

la manera de generarla es sencilla. se parte de un triángulo equilátero. se divide cada uno de sus lados en tres partes iguales, y desde cada uno de los tramos medios resultantes de esta división se construye un nuevo triángulo equilátero.

hemos obtenido algo similar a una estrella de david. sobre cada una de las líneas rectas de la estrella podemos repetir el proceso: las dividimos en tres partes iguales, y sobre cada tramo medio trazamos nuevos triángulos equiláteros.

y así se podría seguir indefinidamente. no continuamos el proceso, porque el número de nuevos triángulos generados va aumentando exponencialmente, y su tamaño cada vez más pequeño hace difícil dibujarlos.

se puede obtener una ley recurrente para calcular el perímetro y el área de la figura tipo ‘copo de nieve’ que se obtiene al realizar sucesivamente el proceso de construir triángulos sobre los tramos medios de sus lados.

el perímetro del triángulo equilátero del que se parte es igual a 3 veces la longitud de su lado. y su área será, como para todo triángulo, la mitad del producto de su base por su altura. la altura de un triángulo equilátero es su lado multiplicado por √3/2.

en la primera fase del proceso, cada tramo medio del triángulo equilátero lo hemos sustituido por los dos lados de un nuevo triángulo cuya longitud es 1/3 del lado inicial. es decir, 2/3 del perímetro inicial lo hemos dejado como estaba, y 1/3 del mismo lo hemos duplicado. esto da como resultado multiplicar el perímetro inicial por 4/3 (ver los cálculos en el escaneado).

el perímetro así obtenido será igual a 4 veces el lado inicial, o bien igual a 12 veces por 1/3 de este lado. la ‘estrella de david’ tiene 12 lados o líneas rectas.

así sucederá en todas las fases del proceso. siempre multiplicaremos el perímetro que teníamos en la fase anterior por 4/3. y los lados de las figuras obtenidas, puesto que vamos dividiendo su longitud entre 3 cada vez, irán divididos entre las potencias de 3: 1/3, 1/9, 1/27, 1/81...

en cuanto al área, será igual a la del triángulo inicial más la de los 3 triángulos que hemos generado. dado que el área de un triángulo depende del cuadrado de su lado, si el lado del nuevo triángulo es 1/3 del lado del triángulo inicial, su área será (1/3)*(1/3)=1/9 del área del triángulo inicial.

en la segunda fase, el perímetro pasará a ser el de la primera multiplicado por 4/3, lo que da como resultado 16/3 del lado del triángulo inicial, o bien 48 por 1/9 de dicho lado, que es la longitud de los lados de los triángulos que hemos generado esta vez.

el área será igual a la obtenida en la primera fase más la de los 12 nuevos triángulos -tantos como líneas rectas tenía la estrella de david de la fase anterior-, cuyo lado es 1/9 del lado inicial. su área será (1/9)*(1/9)=1/81 del área del triángulo inicial.

vamos a aplicar el proceso de generar nuevos triángulos una vez más. no he dibujado la figura resultante, pero nos la podemos imaginar.

el nuevo perímetro será igual a 4/3 por el perímetro obtenido en la segunda fase, y eso es igual a 64/9 por el lado del triángulo inicial. o bien, 192 veces por el lado de los nuevos triángulos generados, cuya longitud será 1/27 del lado inicial.

la figura obtenida en la segunda fase tenía 48 líneas rectas, y por tanto se habrán generado 48 nuevos triángulos. el área de cada uno de ellos será (1/27)*(1/27)=1/729 del área del triángulo inicial.

veamos la expresión general del perímetro y el área de la figura obtenida cuando realizamos este proceso un número genérico n de veces.

el perímetro final será igual a 4/3 elevado a n por el perímetro inicial. dado que 4/3 es un número mayor que 1, cuando n tiende a infinito el perímetro se hace infinito también.

el área final será igual a la suma de las áreas obtenidas en cada fase. observamos que a partir de la primera fase se sigue una progresión geométrica de razón 4/9. para hallar su valor cuando n tiende a infinito, emplearemos esta conocida fórmula: la suma de los términos de una progresión geométrica de razón r<1 es igual a 1/(1-r).

así pues, al aplicar el proceso de generar triángulos en los tramos medios infinitas veces, la figura obtenida tendrá un área igual a 8/5 (es decir, 1.6) por la del triángulo inicial.

ahí está la gran paradoja de la figura del copo de nieve: su perímetro puede crecer hasta el infinito, mientras que su área siempre es finita.

boda

la primera entrada que escribí en mi antiguo blog de hotmail fue una crónica de la boda de una amiga mía. la escribí como lo habría hecho en un diario, sin pensar que nadie la iba a leer. pasado un tiempo, le pasé el enlace a la interesada, la leyó y me aseguró que le gustó mucho. me tranquilizó tener su aprobación.

hoy me ha parecido un buen día para recuperar esta entrada. eso sí, he modificado muchas cosas, he borrado algunas frases que no me sentía cómodo leyendo... y no lo he modificado más todavía para que no perdiera su esencia. espero que os guste y que no os riáis mucho de mí. ;)

22.06.2008

llegué a la iglesia sobre las once, y en seguida encontré a gente conocida, por lo que no me sentí incómodo. no tardaron en llegar los novios, que estaban tan simpáticos, tan sencillos y tan campechanos como son ellos siempre. ella iba muy guapa. llevaba un traje color blanco-hueso realmente bonito y se había rizado el pelo, le quedaba muy bien. la misa fue breve. el cura hizo varios comentarios simpáticos a lo largo de la celebración. las peticiones las leyeron varios niños -sobrinos de él y de ella, supongo- que lo hicieron muy bien, se notaba que habían ensayado.

tras la misa, nos dirigimos hacia el restaurante donde se celebraba la comida, repartidos en varios coches. el menú en general gustó bastante. hubo algún "vivan los novios!" y algún "que se besen!" (petición que fue concedida). nos repartieron unas hojas en las que venían unas 'normas de convivencia' humorísticas a seguir durante la celebración. fue ella quien las redactó, es una chica muy ingeniosa. posiblemente hizo varias versiones. la que entregaron en nuestra mesa contenía alusiones a cosas que habíamos estudiado en la carrera. eran cosas del tipo: "prohibido calcular el volumen del plato de setas...", "prohibido minimizar el tiempo de la comida y maximizar el tiempo del baile...".

los niños que había allí repartieron por las mesas cajas de caramelos, una para cada uno. ese tipo de detalles son muy simpáticos y se agradecen. también nos repartieron unos boletos de la o.n.c.e. de estos en los que aparecen varias cantidades en euros tras rascar los círculos. si salía tres veces la misma cantidad, te tocaba un premio por ese importe. me salió 100 euros dos veces, por poco...

los novios tuvieron el buen criterio de ponernos juntos en la misma mesa a todos los del grupo de amigos. éramos tres solteros -dos chicas y yo- y una pareja ya casada, a cuya boda asistimos hace tres años. la chica casada nos estaba comentando que no hay que precipitarse, que la persona adecuada llegará cuando menos lo esperemos... yo les conté algo que nunca les había contado antes, y es que mi abuela materna siempre me decía que esperase a encontrar a la chica adecuada, que tenía que ser la que me gustara a mí y no la que les gustara a mis padres ni a nadie... ésas fueron las últimas palabras que me dijo antes de que nos dejara, y por eso las considero una especie de profecía...

cuando acabamos de comer, pasamos a la pista de baile. al principio me dio un poco de apuro bailar, pero pronto me animé, ya que mis amigas me alentaron a que demostrara mis conocimientos adquiridos en las clases de baile. y es que he estado un año asistiendo a clases de salsa, porque aunque no me entusiasme la música latina, resulta divertido, es una manera de relajarse, y además es un ejercicio físico. la verdad es que las canciones que pusieron, de salsa tenían poco. pero algunas de ellas, con buena voluntad, se podían bailar con pasos de salsa.

pusieron canciones de ayer y de hoy: desde el chiki chiki de eurovisión, que no podía faltar, hasta salta! de tequila, pasando por la divertida aquí no hay playa. me llamó la atención que pusieron algunas canciones que parecían pasadas de moda y olvidadas, como por ejemplo yo quiero bailar toda la noche, de sonia y selena creo que se llamaban, y la gente no sólo las recordaba sino que además las coreaba a voz en grito.

al llegar las ocho de la tarde nos teníamos que ir porque el local estaba reservado para otro evento. la fiesta continuaba en un bar en la zona centro de madrid. como sobraba tiempo, acompañé a una de mis amigas a su casa a cambiarse de zapatos. llegamos al garito tras dar muchas vueltas para aparcar. una vez allí, esperamos a que llegaran los novios para pasar un rato más con ellos, despedirnos y darles las gracias por habernos invitado y por haber cuidado tanto los detalles para que la gente pasara un buen rato.

sin duda, un día para recordar.

fotos guardadas

para mis amigas de la cornisa cantábrica...

tenía ganas de recordar algunas fotos que hice el verano pasado y que no había publicado aún. hacer fotos me relaja, y por eso tengo ganas de volver a viajar fuera de madrid, que lo tengo muy visto. yo mismo no sé qué es lo que hace que para mí una foto sea agradable a la vista y me transmita sensaciones positivas, pero cuando eso ocurre lo tengo muy claro.

el verano pasado hice algunas fotos desde la ventana del salón al amanecer, ya que siempre me despertaba muy pronto. estas dos son las que quizá mejor me quedaron.

también hice fotos desde algunos puntos de la playa de peligros/magdalena, con marea alta y con marea baja. no era fácil tomarlas exactamente desde el mismo lugar y con el mismo enfoque, pero trataba de aproximarme lo más posible.

y estas otras fotos son de una excursión que hicimos a carranza y a limpias. esta última localidad ha adquirido cierta fama por sus picatostes con chocolate a la taza, pero fuimos a una hora a la cual aún no los servían, y habríamos tenido que esperar mucho. otra vez será.