líneas

tenía la idea de hacer un dibujo marcando los contornos básicos a lápiz, luego rellenándolo con líneas finas de diferentes colores, y por último borrando el lápiz.

un rotulador de punta fina, está claro que no es el instrumento más adecuado para colorear. pero, si nos fijamos en una persona en una postura determinada, podemos identificar líneas imaginarias según cómo tenga tensados los músculos, según las arrugas de la ropa... y no digamos el pelo, que está formado por miles de líneas onduladas que se entrecruzan.

sabiendo eso, con los rotuladores se pueden marcar primero los contornos y después las líneas interiores que marcan las direcciones principales. y ya todo lo que quedaría es ir rellenando los huecos entre medias.

he elegido una foto de paula echevarría, sentada en cuclillas y comiéndose un cupcake...

y éste ha sido el resultado. es una chapuza, pero lo he hecho en poco más de una hora. y para una vez que se me ocurre una idea un poco diferente para una entrada... :)

aventuras

se acerca la primavera. he ido a dar un paseo a un pequeño parque cerca de la plaza de manuel becerra de madrid. no tiene mucho de especial, pero a mí me gusta.

aunque el día estaba seminublado, se nota que los árboles han empezado a florecer, como corresponde a la estación que se aproxima.

la zona que hay alrededor de ese parque me trae muchos recuerdos. hubo una época en la que iba a yoga y a clases de baile, y ambas academias estaban cerca de allí. lo del yoga prosperó bastante más que lo otro: decididamente, no tengo el ritmo en el cuerpo. ;)

tras la visita al parque, he ido a una tienda de libros y comics antiguos que también está en esa zona. he encontrado un super humor antiguo que no tenía, en buen estado y muy barato. es el nº7 de la colección.

y luego he ido a comprarme un pantalón corto de algodón, como los que mucha gente usa para yoga, ya que hablaba de eso antes. me vendrá bien para casa cuando haga más calor.

dr jekyll y mr hyde

el extraño caso del dr jekyll y mr hyde de robert louis stevenson es una de esas novelas que leí por primera vez cuando era adolescente, y que releo cada cierto tiempo.

el respetable médico henry jekyll descubre una pócima que permite separar o escindir la naturaleza malvada de la persona que la toma. al probarla por primera vez, se transforma en un hombrecillo de pequeño tamaño y aspecto desagradable que carece por completo de escrúpulos.

el experimento se le escapa de las manos al dr jekyll, pues su alter ego comete actos de gran crueldad. y lo que es peor, llega un momento en que la transformación es cada vez más difícil de revertir. para protegerse crea una identidad diferente para su yo malvado, adoptando el nombre de edward hyde.

todas las personas tienen una parte buena y una parte mala, mientras que mr hyde es mal en estado puro. por ello, no es de extrañar el rechazo que provoca en todos aquellos que se cruzan en su camino. si dicen que la cara es el espejo del alma, cómo será el rostro de alguien que no posee ningún buen sentimiento?

a veces he pensado que en las historias ficticias -ya sean películas, novelas o comics-, los ‘buenos’ tienen también sus pequeños defectos, mientras que los ‘malos’ lo son en todo el sentido de la palabra.

como la novela del dr jekyll y mr hyde es bastante breve -se dice que le fue inspirada a stevenson en un sueño-, en la edición que tengo vienen dos relatos más, que hasta ahora nunca me había animado a leer, y no sabría explicar por qué. se titulan olalla y markheim.

olalla trata sobre un caballero inglés que, por recomendación de su doctor, se va a vivir durante un tiempo como huésped a la casa de una familia española de ascendencia noble venida a menos -en recursos y en nivel cultural-.

markheim cuanta la historia de un hombre que tiene la intención de asaltar una tienda de antigüedades, y el mismo diablo se le aparece para aclarar sus dudas y animarle a seguir adelante con sus planes.

os recomiendo con énfasis el dr jekyll y mr hyde, que se sigue publicando en la colección de clásicos de anaya, aunque ahora en pasta blanda y sin incluir los otras dos historias. quizá se puedan encontrar en alguna recopilación de relatos cortos de stevenson...

signos

esta viñeta de la aventura ‘periplo búlgaro’ de superlópez podría servir como ejemplo de cómo funcionan los signos negativos en matemáticas. al igual que el antídoto contra el veneno que hace volverse la piel verde, los signos menos actúan siempre en sentido contrario. si van delante de algo que es positivo, lo hacen negativo. si van delante de algo negativo, lo vuelven otra vez positivo.

sin embargo, las implicaciones de los signos en matemáticas no siempre son tan sencillas...

pensemos en la curva definida por la ecuación (x/a)²+(y/b)²=1. se trata de una elipse de semiejes a y b.

está dibujada a mano alzada, reconozco que de manera un poco chapucera. se pueden marcar puntos por donde pasa la elipse, y cuantos más tengas, con mayor precisión la podrás trazar.

la elipse se define como la curva formada por los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. sabiendo esto, desde un foco se puede trazar un arco de circunferencia del radio que queramos, llamémoslo R. desde el otro foco se traza otro arco de radio 2a–R, y el punto de corte será un punto de la elipse. y hecho eso, aprovechamos para hallar los simétricos de ese punto respecto a los ejes horizontal y vertical.

lo que pasa es que hacer eso es un poco pesado y lioso. se te llena el dibujo de arcos de circunferencia, y al final no sabes cuál es cuál. con los cuatro vértices y los otros cuatro puntos hallados aplicando una vez ese procedimiento, ya nos da para tener una aproximación de la elipse.

ahora supongamos que cambiamos el signo del segundo término de la ecuación de la elipse, de manera que se transformará en (x/a)²–(y/b)²=1.

esto ya no es una elipse, de hecho es otra curva que no puede ser más diferente. se trata de una hipérbola. es una curva con dos ramas simétricas que a medida que se alejan del centro se van aproximando a dos rectas llamadas asíntotas.

a es ahora la mitad de la distancia entre los vértices de la hipérbola. la pendiente de las asíntotas vendrá dada por el cociente b/a. si es menor que 1, las ramas de la hipérbola serán más cerradas, y si es mayor que 1, serán más abiertas. si es igual a 1, se denomina hipérbola equilátera.

dado que una circunferencia es una elipse con los dos semiejes a y b iguales, podríamos decir que una hipérbola equilátera, en la cual también se cumple que a=b, en cierto modo es la figura opuesta a una circunferencia.

una hipérbola es la curva formada por los puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante. los focos son los puntos marcados en rojo. la definición es análoga a la de la elipse, pero la curva obtenida es totalmente distinta.

para encontrar puntos por donde pasa la hipérbola, hay que hacer algo parecido a lo que hacíamos con la elipse. desde un foco trazamos con el compás un arco de un radio cualquiera R, y desde el otro foco trazamos otro arco de radio 2a+R. por el punto de corte pasa la hipérbola. y de paso, marcamos los simétricos de ese punto respecto a los ejes.

las dos ramas de la hipérbola se pueden aproximar sabiendo que pasan por los vértices y por los puntos adicionales que hemos encontrado, y que cada vez se pegan más a las asíntotas.

veamos ahora qué ocurre si cambiamos el signo del primer término de la ecuación de la elipse, con lo que pasará a ser –(x/a)²+(y/b)²=1.

lo que obtenemos es otra hipérbola en la cual las dos ramas son imágenes especulares respecto al eje horizontal, mientras que en el caso anterior lo eran respecto al eje vertical. y si antes las ramas eran más bien cerradas, ahora al contrario, son más abiertas.

los parámetros a y b han intercambiado los papeles. ahora b es la mitad de la distancia entre los vértices, y el cociente a/b es el que define la forma de la las ramas de la hipérbola: menor que 1, cerradas; mayor que 1, abiertas.

bien, y qué ocurre si cambiamos los signos a los dos sumandos de la ecuación de la elipse? la ecuación ahora será –(x/a)²–(y/b)²=1.

tanto (x/a)² como (y/b)² son siempre positivos por estar elevados al cuadrado, y por tanto si les cambiamos el signo serán negativos y nunca podrán sumar 1. así pues, como no hay puntos que cumplan esa condición, tampoco habrá curva. la gráfica de esa ecuación será la nada absoluta.

ésta es la que más fácil de dibujar me ha resultado. :D sobre todo después de haber dibujado las hipérbolas, que no hacía ninguna desde cou... no me gustan demasiado.