átomos

no hace mucho tuve un sueño sorprendentemente real. figuraba que estaba en la universidad, y le explicaba a alguien que nunca había sido capaz de entender de verdad la naturaleza de la electricidad, algo presente en varias asignaturas de la carrera. en mi caso no muchas, al no haber sido mi especialidad.

y efectivamente, siempre ha sido así. en general, lo que ocurre a escala atómica no sólo “no lo veo” en el sentido literal de la expresión, sino que me cuesta mucho imaginármelo del todo, se me escapa.

por ejemplo: nos explican que el átomo está constituido por un núcleo y unos electrones orbitando a su alrededor. el núcleo a su vez está formado por protones y neutrones. los protones tienen carga positiva; los neutrones tienen una carga neta neutra -a nivel elemental se dice que carecen de carga, pero no es exactamente así-. los electrones, por su parte, tienen carga negativa.

las cargas de signo opuesto (positiva-negativa) se atraen; las cargas del mismo signo (positiva-positiva o negativa-negativa) se repelen. se trata de una fuerza, atractiva o repulsiva según el caso, directamente proporcional al producto de los valores de las cargas eléctricas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. como vemos, se trata de una fuerza muy similar a la gravitatoria.

con esta fórmula que determina el valor de la fuerza entre las cargas lo tenemos todo hecho para resolver los problemas. pero podríamos preguntarnos cuál es la naturaleza de esa fuerza. y para empezar, qué es la carga eléctrica. porque se nos habla del efecto que produce -una fuerza de atracción o de repulsión- pero no se nos explica lo que es en esencia.

mi ceguera para los fenómenos a escala atómica tiene su lado bueno, y es que tratar de aproximarme cada vez más a su comprensión, para mí es un reto. de vez en cuando busco alguno de los libros antiguos de física que tenemos en casa -los libros antiguos son los mejores- y leo los capítulos que tratan sobre los átomos y la electricidad, con la esperanza de haber alcanzado la madurez intelectual necesaria para entender esas cosas que antes no entendía.

últimamente he logrado aproximarme un poco más, he sacado algunas cosas en claro. vayamos por partes...

el núcleo del átomo, como decíamos antes, está constituido por protones y neutrones. los neutrones están formados por diferentes subpartículas, unas con carga positiva y otras con carga negativa, que se atraen unas a otras. estas cargas se anulan entre sí, siendo la carga neta neutra.

los protones, al tener todos ellos carga positiva, se repelerían entre sí y saldrían disparados en todas las direcciones, si no fuera por la presencia de los neutrones, que los mantienen cohesionados. esta acción se lleva a cabo gracias a la atracción que ejercen sobre los protones las cargas negativas contenidas en los neutrones.

por otro lado, los electrones -de carga negativa- giran alrededor del núcleo -de carga neta positiva- debido a la fuerza atractiva ejercida por éste. se puede demostrar que la trayectoria que sigue una partícula sometida a una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al punto desde donde se genera la fuerza, es una elipse en la que uno de los focos es el punto origen de la fuerza. esto ocurre cuando dicha partícula está dotada de una velocidad inicial cuya dirección no coincide con la de la fuerza.

así sucede con las fuerzas gravitatorias, y por eso las trayectorias de los planetas son elipses en las que uno de los focos es el sol. sin embargo, en el caso de los electrones orbitando alrededor del núcleo del átomo, las cosas no funcionan así. cuando se trata de partículas elementales, entramos en el terreno de la mecánica cuántica, donde ya no sirven las reglas de la mecánica clásica.

el diámetro de un electrón es aproximadamente la diezmilésima parte del diámetro del átomo. si el átomo fuera una de las bolas del atomium de bruselas y tuviera, por tanto, 18 metros de diámetro, el electrón sería una perla chiquitita de tan sólo 1.8 milímetros. eso indica que la materia en realidad es muy ‘hueca’, y su aspecto aparentemente compacto se debe al constante movimiento al que están sometidas las partículas que la forman.

los electrones giran alrededor del núcleo con una velocidad de rotación de de unos 6,000 billones de vueltas por segundo. el concepto de ‘vuelta’ en este caso es peculiar. como decíamos, no se trata de órbitas circulares ni elípticas. la trayectoria del electrón tan sólo se puede estimar estadísticamente entre una nube de trayectorias. éste es uno de los principios de la mecánica cuántica.

lo cierto es que los electrones giran a velocidades equiparables en orden de magnitud a la velocidad de la luz (300,000 km/s), por lo que en este sentido también falla la mecánica clásica. se hace necesario emplear las ecuaciones relativistas introducidas por albert einstein, que partían de la premisa de que la velocidad de la luz era constante desde cualquier sistema de referencia, y trataban el espacio y el tiempo como un todo.

en los átomos hay un gran cantidad de energía acumulada: por un lado, la energía necesaria para mantener a los protones (que, como hemos dicho, tienden a repelerse) próximos unos a otros. por otro lado, la energía cinética de los electrones girando a enormes velocidades alrededor del núcleo.

en cualquier cuerpo, por pequeño que sea, hay miles de millones de átomos. así, no es una sorpresa que todo cuerpo contenga una energía (E) -una especie de energía interna- de magnitud igual al producto de su masa (m) por la velocidad de la luz (c) elevada al cuadrado. esta igualdad, conocida como ‘equivalencia masa-energía’ constituye la ecuación más célebre de la teoría de la relatividad de einstein.

como consecuencia, destruyendo átomos de una pequeñísima cantidad de materia, se puede liberar una cantidad de energía de un enorme poder destructor. el conocimiento de este hecho, lamentablemente dio lugar a la invención de la bomba atómica, de cuyos devastadores efectos todos hemos oído hablar...

en fin, volviendo a lo que comentaba al principio, quizá no lleguemos a saber realmente lo que son las cargas eléctricas -al menos yo-, pero sí nos podemos aproximar a saber cómo se comportan y las consecuencias que este comportamiento tiene. si esta pequeña redacción que he escrito sobre el tema os ha servido para saber un poquito más y os ha entretenido, me daré por más que satisfecho. :)

patitos

los patos son unos animales muy simpáticos que a casi todo el mundo le gustan. además, nuestra esther es muy amiga de los patos. son innumerables las viñetas en las que aparece hablando con ellos o echándoles comida. y no es necesario rebuscar mucho en los tomos para encontrar la primera de ellas, ya que esther declara su simpatía hacia estas aves desde la primera página de sus aventuras.


me gusta fotografiar los patos que veo en los estanques, en parte porque los asocio con esther. tengo varias fotos que hice en santander en anteriores veranos, que hasta ahora no os las había mostrado.

estas fotos son del estanque que hay en los jardines de pereda. hice unas cuantas, y me quedé con las que mejor se veían.

estas otras son del parque de la magdalena, y en lo que a patos se refiere, son mejores que las anteriores. se les ve en todo su esplendor. :)

una tarde en la que estaba en este pueblo de cantabria, algo aburrido y sin conexión a internet, se me ocurrió hacer un montaje con una imagen de esther y una de las fotos de patos que había hecho.

en el disco duro de mi portátil encontré una bonita imagen de esther y su amiga rita, que estaba en una página escaneada del bruguelandia dedicado a purita campos, la dibujante de esther. en esa página se explicaba el proceso que seguía purita para hacer sus dibujos de cuerpo entero.

la foto que elegí fue la última de las que he mostrado. la convertí en un mapa de bits de 256 colores, para que tuviera un aspecto más parecido al de un dibujo. y hecho eso, incrusté la imagen de esther y rita. tras los retoques pertinentes, éste fue el resultado.

el montaje quedaba bonito con la imagen en blanco y negro, pero quería probar a colorearla. guardé el trabajo y al día siguiente continué. les puse a esther y a rita los colores que pensaba que mejor les iban, según lo que me sugería esa imagen, en la que esther está tristona, mientras que rita está alegre y la anima.

este montaje lo he utilizado para hacer tarjetas impresas, cuando mando algún regalito por correo. ;) para ello, una posibilidad es: voltear horizontalmente una de las dos versiones del montaje -la que está en blanco y negro, por ejemplo-, obteniendo de esa manera su imagen especular; y juntar las dos imágenes, la de colores y la blanca y negra volteada, de tal manera que quedan simétricas entre sí. se imprime en una cartulina, y por el eje central se dobla.

os ha gustado? ésta ha sido una entrada relajada y sin números ni gráficas, para no pasar directamente y sin anestesia de ibáñez a lo que se me pueda ocurrir después. ya veremos. :D

ibáñez

ayer 15 de marzo de 2011, el gran francisco ibáñez cumplía 75 años. coincidiendo con tan especial conmemoración, he decidido rescatar la entrada que escribí hace unos dos años y medio, después de haber tenido la oportunidad de ver en persona a ibáñez en un coloquio que ofreció en santander.


08.08.2008

el pasado miércoles 6 de agosto acudí a la charla abierta con francisco ibáñez que tuvo lugar en el palacio de la magdalena de santander. ibáñez es el autor de comics que quien más, quien menos, ha leído alguna vez en su vida: los popularísimos mortadelo y filemón, el botones sacarino, pepe gotera y otilio, rompetechos, 13 rue del percebe,...

como mis tebeos de mortadelo y filemón los tengo en mi casa de madrid, me compré el album venganza cincuentona en tapa dura, que no lo tenía, para que me lo firmara. se trata de un album conmemorativo en cierto modo, ya que aparecen buena parte de los ‘malos’ de sus aventuras de todas las épocas, y por eso era muy apropiado para tenerlo firmado. me llevé mi relativamente nueva cámara digital, con la que tomé varias fotos.

destacaría especialmente lo gracioso que es ibáñez y lo que nos hizo reír a todos los que estábamos allí. parace mentira que a sus 72 años tenga tanta energía. habla como una ametralladora y dice cosas graciosísimas. por ejemplo, comentó que los dibujos animados de mortadelo y filemón de estudios vara eran "dibujos desanimados", y que al parecer los habían realizado en china, y que entendía que los dibujos animados eran un trabajo de chinos, pero que para eso no hacía falta irse a hacerlos a la china. :D algo así dijo, con mucha más gracia que como lo cuento yo. ;)

en el coloquio, me atreví a hacer la primera pregunta para romper el hielo: cuál era su historia larga favorita de mortadelo y filemón. respondió hablando del proceso creativo de sus albumes, pero se evadió de mi pregunta, ya que no dijo cuál era su aventura favorita. ;) después, como quedaba tiempo y nadie más se animaba a intervenir, le hice otra pregunta sobre las portadas mudas de los antiguos albumes ‘ases del humor’ de mortadelo y filemón (una verdadera obra de arte, aquellas portadas).

en cuanto finalizó la charla, todo el mundo fue disparado hacia la mesa para que le firmara algún album. a mí me hizo un dibujo de mortadelo disfrazado de fantasma. qué ilusión!! :)

número áureo (2)

era cuestión de tiempo que hablara de la célebre sucesión de fibonacci. la pauta de esta sucesión numérica es que cada término se obtiene como la suma de los dos anteriores. fue ideada por leonardo de pisa -conocido por el sobrenombre de fibonacci- con el objetivo de estimar el número de ejemplares de una población de conejos formada a partir de una pareja.



veamos cómo se forma esta sucesión. llamaremos f(n) a cada término, siendo ‘n’ un número entero que indica el lugar que ocupa en la sucesión. como se ha explicado antes, cada término se obtiene sumando los dos anteriores. al término 0 (en las sucesiones numéricas a menudo se le da al primer término el subíndice 0) y al término 1 se les asignarán los valores 0 y 1, respectivamente. a partir de ahí ya se puede aplicar la regla de sumar los dos anteriores.

f(0)=0
f(1)=1
f(2)=f(0)+f(1)=...........0+1=....1
f(3)=f(1)+f(2)=...........1+1=....2
f(4)=f(2)+f(3)=...........1+2=....3
f(5)=f(3)+f(4)=...........2+3=....5
f(6)=f(4)+f(5)=...........3+5=....8
f(7)=f(5)+f(6)=...........5+8=...13
f(8)=f(6)+f(7)=..........8+13=...21
f(9)=f(7)+f(8)=.........13+21=...34
f(10)=f(8)+f(9)=........21+34=...55
f(11)=f(9)+f(10)=.......34+55=...89
f(12)=f(10)+f(11)=......55+89=..144
f(13)=f(11)+f(12)=.....89+144=..233
f(14)=f(12)+f(13)=....144+233=..377
f(15)=f(13)+f(14)=....233+377=..610
f(16)=f(14)+f(15)=....377+610=..987
f(17)=f(15)+f(16)=....610+987=.1597
f(18)=f(16)+f(17)=...987+1597=.2584
f(19)=f(17)+f(18)=..1597+2584=.4181
f(20)=f(18)+f(19)=..2584+4184=.6765
f(21)=f(19)+f(20)=..4181+6768=10946
f(22)=f(20)+f(21)=.6768+10949=17711
f(23)=f(21)+f(22)=10949+17717=28657
f(24)=f(22)+f(23)=17717+28666=46368
f(25)=f(23)+f(24)=28666+46383=75025

como se puede apreciar, esta sucesión crece muy rápidamente. hemos mostrado tan sólo 25 términos, y con uno más que añadiéramos ya nos situaríamos en las centenas de millar.

el crecimiento de esta sucesión es tan pronunciado que se asemeja a una exponencial. qué es una exponencial? es una función en la que un número constante va elevado a una potencia, que es la variable. k^x es una exponencial. k es la base, y es una constante. x es el exponente, y es la variable. cuando k, la base, sea un número mayor que 1, la función tendrá un crecimiento muy pronunciado para valores de x -el exponente- de 1 en adelante.

por otro lado, se cumple una interesante propiedad. vamos a hallar el cociente incremental de la función para dos valores: uno, el inicial; y otro, el inicial más una cantidad: x; x+Δx. recordemos que para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes.

k^x+Δx/k^x = k^Δx

el resultado de ese cociente, como vemos, es la base elevada a la cantidad en que se incrementa la variable. en caso de que la sucesión de fibonacci se asemeje a una exponencial, los incrementos de la variable para nosotros serán 1 siempre, porque al tratarse de una sucesión de números enteros, se va saltando de 1 en 1. así, por tanto, Δx será 1, y cualquier base elevada a 1 es la misma base. buscamos que al dividir cada término entre el anterior se obtenga algo parecido a una constante, que será la base de la exponencial a la que se aproximará la sucesión.

así pues, partiendo de los datos de la tabla anterior, vamos a calcular el cociente entre cada término y el anterior, y veamos qué se obtiene.

f(2)/f(1)=..........1/1=1
f(3)/f(2)=..........2/1=2
f(4)/f(3)=..........3/2=1.5
f(5)/f(4)=..........5/3=1.66666666667
f(6)/f(5)=..........8/5=1.6
f(7)/f(6)=.........13/8=1.625
f(8)/f(7)=........21/13=1.61538461538
f(9)/f(8)=........34/21=1.61904761905
f(10)/f(9)=.......55/34=1.61764705882
f(11)/f(10)=......89/55=1.61818181818
f(12)/f(11)=.....144/89=1.61797752809
f(13)/f(12)=....233/144=1.61805555556
f(14)/f(13)=....377/233=1.61802575107
f(15)/f(14)=....610/377=1.61803713528
f(16)/f(15)=....987/610=1.61803278689
f(17)/f(16)=...1597/987=1.61803444782
f(18)/f(17)=..2584/1597=1.61803381340
f(19)/f(18)=..4181/2584=1.61803405573
f(20)/f(19)=..6765/4181=1.61803396317
f(21)/f(20)=.10946/6765=1.61803399852
f(22)/f(21)=17711/10946=1.61803398502
f(23)/f(22)=28657/17711=1.61803399018
f(24)/f(23)=46368/28657=1.61803398821
f(25)/f(24)=75025/46368=1.61803398896

os habéis fijado en que el valor de la relación entre cada término y el anterior, aumenta y disminuye alternativamente, pero esas ‘oscilaciones’ se van haciendo cada vez menores, hasta que por fin parece estabilizarse en torno a un cierto valor? vamos a tomar el último resultado de la tabla, que si bien no es el número exacto al que convergen estos cocientes (para eso se necesitarían infinitos términos), lo suponemos lo suficientemente aproximado.

1.61803398896. este número no nos suena de algo? no se parece al número áureo? vamos a calcular su valor exacto con ayuda de la calculadora para salir de dudas. recordemos que el número áureo era (1+√5)/2. el resultado es...

1.61803398875. pues sí! al dividir cada término de la sucesión de fibonacci por el anterior se obtiene un valor que se aproxima cada vez más al número áureo, cuanto más avanzados sean los términos que tomemos. el número áureo también está detrás de la sucesión de fibonacci.

llamaremos Φ al número áureo, como hicimos en la entrada anterior dedicada a este tema. podemos concluir que la función exponencial a la que se asemeja la sucesión de fibonacci es la que tiene por base el número áureo, es decir, Φ^x? pues casi. lo más probable es que esté multiplicada por una constante que no esté afectada por el exponente x. tendrá, por tanto, la forma C·k^Δx.

efectivamente, se sigue cumpliendo la misma regla de que el cociente incremental es igual a la base elevada al incremento de la variable. la constante C se cancela en el numerador y en el denominador. este caso no lo habíamos contemplado antes para no descentrarnos de la idea que queríamos transmitir, pero ahora conviene tenerlo presente.

(C·k^x+Δx)/(C·k^x) = k^x

para hallar el valor de esta constante multiplicativa que diferencia a la sucesión de fibonacci de la exponencial cuya base es el número áureo, vamos a comparar los valores de la sucesión y de la función. se comprueba fácilmente que los valores de la exponencial son mayores que los de la sucesión, por lo que calcularemos el valor del cociente entre la primera y la segunda. lo haremos así, simplemente porque se tiende a dividir lo más grande entre lo más pequeño, y al obtener como cociente un número mayor que 1, será más fácil identificarlo como la raíz cuadrada de un número entero, o cualquier otra cosa que pueda salir.

n....f(n)....Φⁿ..............Φⁿ/f(n)
1........1...1.61803398875...1.61803398875
2........1...2.61803398875...2.61803398875
3........2...4.23606797750...2.11803398875
4........3...6.85410196625...2.28470065542
5........5...11.0901699438...2.21803398876
6........8...17.9442719101...2.24303398875
7.......13...29.0344418539...2.23341860414
8.......21...46.9787137640...2.23708160780
9.......34...76.0131556179...2.23568104757
10......55...122.991869382...2.23621580693
11......89...199.005025000...2.23601151684
12.....144...321.996894382...2.23608954431
13.....233...521.001919382...2.23605973982
14.....377...842.998813764...2.23607112403
15.....610...1364.00073315...2.23606677564
16.....987...2206.99954692...2.23606843658
17....1597...3571.00028007...2.23606780215
18....2584...5777.99982699...2.23606804448
19....4181...9349.00010706...2.23606795192
20....6765...15126.9999341...2.23606798727
21...10946...24476.0000412...2.23606797377
22...17711...39602.9999753...2.23606797893
23...28657...64079.0000165...2.23606797696
24...46368...103681.999992...2.23606797772
25...75025...167761.000009...2.23606797742

de manera similar a como ocurría en la tabla anterior, los términos que obtenemos oscilan al comienzo para estabilizarse después en torno a un cierto valor. tomamos el último de ellos, que suponemos lo bastante aproximado a juzgar por la escasa diferencia en decimales obtenida respecto a los términos anteriores más próximos.

2.23606797742. se parece bastante a la raíz cuadrada de 5, cifra que nos suena al haber tenido que hallar el valor del número áureo con la calculadora: (1+√5)/2. pero, por si queda alguna duda, calculamos √5, y nos sale: 2.23606797750.

por tanto, cuando se toma un número de términos lo suficientemente alto, la exponencial cuya base es el número áureo se aproxima a la sucesión de fibonacci multiplicada por la raíz cuadrada de 5.

Φ^x ≈ √5·f(n)

o bien, para referir esta igualdad a la sucesión de fibonacci, podemos decir que la sucesión es igual a la exponencial dividida entre la raíz cuadrada de 5.

f(n) ≈ Φ^x/√5

en la siguiente tabla comparamos los valores de la sucesión de fibonacci y de la exponencial del número áureo dividida entre raíz de 5, y comprobamos que a los pocos términos se hacen muy próximas. si se quisiera representar en dos gráficas superpuestas la sucesión y la función, la diferencia sería muy difícil de apreciar.

n....f(n)....Φⁿ/√5
1........1...0.72360679775
2........1...1.17082039325
3........2...1.89442719100
4........3...3.06524758425
5........5...4.95967477527
6........8...8.02492235950
7.......13...12.9845971348
8.......21...21.0095194943
9.......34...33.9941166290
10......55...55.0036361231
11......89...88.9977527524
12.....144...144.001388875
13.....233...232.999141628
14.....377...377.000530503
15.....610...609.999672132
16.....987...987.000202636
17....1597...1596.99987477
18....2584...2584.00007740
19....4181...4180.99995217
20....6765...6765.00002957
21...10946...10945.9999817
22...17711...17711.0000113
23...28657...28656.9999931
24...46368...46368.0000046
25...75025...75025.9999973

en esta gráfica he representado de forma aproximada la sucesión de fibonacci, basándome en la similitud con la exponencial de la que hemos hablado. pinchando sobre ella se puede ver ampliada. como vemos, es una gráfica extremadamente estrecha y alta, lo que da una idea del ritmo de crecimiento de esta sucesión.

así pues, ya hemos descubierto el secreto de cómo evoluciona el número de conejitos de una camada. de vez en cuando nace un ejemplar con cualidades excepcionales, pero esos fenómenos ya no se explican con la sucesión de fibonacci ni con el número áureo... o sí? ;)

p-d: la viñeta de ‘alicia en el país de las maravillas’ es de la gran trini tinturé. y la primera ilustración que aparece en la entrada, alguien es capaz de adivinar de quién es? es de otro famoso dibujante español, si queréis os iré dando más pistas... ;)

--------------------------------------------------------------------------------------------

y ahora pasamos a otro tema. cloti me ha concedido hace poco este bonito premio con forma de copa deportiva. está acompañado de un entretenido meme que consiste, esta vez, en contar siete secretos sobre uno mismo. paso a hacerlo a continuación. gracias, cloti, por pensar en mí!! :)

1. no sólo me gustan los coches antiguos, sino que tengo el sueño recurrente de que los veo y me da pena no llevar la cámara para fotografiarlos. :P

2. cada vez tengo más vértigo y más acrofobia. si tuviera hijos acabaría loco de estar todo el día tras ellos diciéndoles “no te subas ahí”, “no te arrimes allá”...

3. desde que salí de la universidad y abandoné la rutina de los exámenes en febrero, junio y septiembre, a veces pierdo la noción del tiempo y me quedo por un instante preguntándome en qué época del año estamos. :S

4. me canso mucho más caminando despacio o estando de pie que caminando deprisa.

5. la electricidad y el electromagnetismo en física son temas que nunca entendí del todo, aunque supiera hacer los problemas. no “veía” el sentido físico de aquello, y sigo sin verlo... es un tema para una próxima entrada.

6. me gusta hacer mis propias recopilaciones de grandes éxitos de grupos de los que soy muy fan, para mí mismo o para regalar a alguien.

7. tengo varias chicas por ahí que me hacen tilín. no quiero fijarme exclusivamente en una, en la variedad está el gusto. ;)

bien, ahora debo pasar este premio a quien yo quiera. en esta ocasión, se lo voy a conceder a wendy. te ha tocado!! y seguro que das respuestas interesantes al meme, si te animas a hacerlo. :)

bucles infinitos

hay una cosa que siempre me ha llamado la atención sobre los quesitos de ‘la vaca que ríe’. y es que la vaca lleva unos pendientes con la misma forma y el mismo dibujo de las cajas de quesitos de esta marca. en los pendientes aparece la misma vaca, que a su vez lleva unos pendientes que tendrán dibujada a la propia vaca con los pendientes... y así hasta el infinito.

la vaca con los pendientes en los que aparece de nuevo la propia vaca con los mismos pendientes, y así sucesivamente... también está dibujada en cada una de las porciones de queso. es decir, que este proceso habrá que multiplicarlo por 8, por 16 o por 24, dependiendo de que la caja de quesitos sea de 1 piso, de 2 o de 3. no quiero ni imaginármelo.

otro bucle similar, pero bastante menos apetitoso, y desde luego menos divertido para quienes no estén prevenidos contra las malas pasadas que pueden jugar los números, es el que se da al realizar determinadas divisiones. por poner el ejemplo más sencillo, analicemos la división de 1 entre 3. el dividendo es menor que el divisor, pero se pueden sacar decimales, y por tanto eso no es problema, en principio.

al ser 1 menor que 3, ponemos un 0 seguido de un punto decimal en el cociente. 0 por 3 es 0. de 0 a 1 va 1. 1 en el resto y le añadimos un 0. 10 entre 3 cabe a 3. 3 en el cociente. 3 por 3 es 9. de 9 a 10 va 1. 1 en el resto y le añadimos un 0. 10 entre 3, a 3. 3 en el cociente. 3 por 3, 9. de 9 a 10, 1. 1 en el resto, y otro 0. esto no es lo mismo de antes?? pues sí, y me temo que por mucho que lo repitamos, no van a salir otras cifras mágicamente... :S

otro ejemplo de bucle infinito, que seguro que todos conocemos por experiencia, es el de dos espejos frente a frente. un espejo refleja al otro, y el otro a su vez refleja al primero, que contiene su propia imagen reflejada... el resultado, fácilmente visible, es una serie infinita de espejos paralelos. quién no ha fantaseado de pequeño con entrar a través de esos espejos?

esta foto la hice en el balneario de fortuna (murcia), en el viaje del que hablé en esta entrada. quería fotografiar un espejo que había allí porque me gustaba, pero había otro enfrente. al descargar la foto, decidí que un túnel infinito de espejos no era exactamente el tipo de foto que buscaba en ese momento, y por otro lado el flash de la cámara reflejado tampoco resultaba muy estético, y por eso la descarté para publicarla en aquella entrada... :P

seguro que hay muchos más bucles infinitos como éstos en la vida real... se os ocurre alguno??