parábolas

el viernes de la semana pasada tuve una cena de antiguos alumnos del colegio. como suele ocurrir con este tipo de encuentros, tuvo una magia especial. parece que no ha pasado el tiempo...

me hizo ilusión que muchos me recordaran por ayudarles con las matemáticas y la física. mi amigo ernesto tuvo palabras especialmente halagadoras que me animaron mucho.

recuerdo que en una ocasión le expliqué algo a ernesto sobre el tiro parabólico. y por eso se me ha ocurrido escribir una entrada sobre ese tema y dedicársela.

cuando lanzamos un cuerpo por el aire con una velocidad inicial oblicua, lo que ocurrirá es que se elevará hasta alcanzar un punto de altura máxima y volverá a caer. la curva que describe se denomina parábola.

llamaremos x₀, y₀ a las coordenadas de la posición inicial del cuerpo que se lanza. v₀ es el vector que representa a la velocidad inicial, y sus componentes horizontal y vertical se denotarán como v_0x, v_0y.

si ignoramos la resistencia del aire, la única aceleración que interviene es la gravedad, vertical hacia abajo. sabemos que la aceleración es la derivada de la velocidad, y la velocidad es la derivada del desplazamiento. aplicando como condiciones iniciales los valores descritos en el párrafo anterior, obtenemos las ecuaciones para las componentes horizontal y vertical de la velocidad y del desplazamiento en función del tiempo.

el tiro parabólico es la combinación de un movimiento horizontal rectilíneo uniforme -es decir, con velocidad constante-, y un movimiento vertical de un cuerpo que asciende y va disminuyendo su velocidad por la gravedad, hasta que vuelve a caer.

hay un caso particular curioso, y es el de velocidad inicial horizontal. sería el caso de una carga que se deja caer desde una avioneta que va volando, como ocurre en la aventura ‘la isla negra’ de tintín.

si fijamos el eje y de coordenadas en la vertical de la avioneta en el instante inicial -justo antes de soltar el saco-, y el eje x coincidente con el suelo, las condiciones iniciales serán las siguientes: x₀ es 0; y₀ es la altura de vuelo, que la podemos llamar h; y v_0y es 0, ya que vuela en horizontal.

la componente horizontal de la velocidad del saco que se deja caer será igual a la velocidad que lleve la avioneta en ese momento. por eso, cae como si fuera sujeta a la avioneta por un hilo que se va desenrollando. desde el aparato se verá caer verticalmente, y desde el suelo se verá formando un arco de parábola.

vidriera

recientemente hemos tenido un divertido concurso en el foro de esther y su mundo. quien quería enviaba a candela, la administradora, una foto de un rincón de su casa. después ella publicaba las fotos para que los demás adivináramos de quién era cada una.

yo elegí para fotografiar una ventana traslúcida que tenemos en el hall, al otro lado de la cual está la cocina. como tengo cierta fama de que me gustan las matemáticas y en particular la geometría (me pregunto en qué lo habéis notado!), pensé que alguien podría identificar esta foto como mía al tratarse de una vidriera con motivos geométricos.

y así fue: coti adivinó que era mi foto, exactamente por las razones citadas. y además acertó varias más, lo que le sirvió para ganar el concurso. enhorabuena de nuevo, coti! :)

se me ocurrió dibujar esta vidriera con los instrumentos de dibujo tradicionales: lápiz, compás, escuadra y cartabón. para ello era necesario identificar la proporción entre las diagonales de los rombos y el radio de la semicircunferencia.

un rombo se puede ver como dos triángulos yuxtapuestos. la diagonal menor del rombo será la base del triángulo: d=b. y la diagonal mayor del rombo será dos veces la altura del triángulo: D=2·h. nos será más cómodo trabajar con la base y la altura.

trazamos el diámetro horizontal del arco. observamos que abarca cinco veces la base del triángulo, más dos mitades de dicha base. en total, 5+2·(1/2)=6. como el radio es la mitad del diámetro, podemos decir que el radio contiene 3 bases del triángulo: R=3·b.

ahora situamos mentalmente un radio vertical, y nos damos cuenta de que cubre en total 3 alturas del triángulo. así pues, R=3·h.

no caigamos en la trampa de pensar que estos triángulos son equiláteros. aparte de que se ve a simple vista que no lo son, es que su ley de proporcionalidad es base=altura. eso los hace más “estrechos y largos” que un triángulo equilátero, en el cual la altura es ligeramente menor que la base... pensadlo. ;)

ahora ya podemos empezar a dibujar la vidriera. hay varias semicircunferencias concéntricas, pero nos interesaba conocer el radio en proporción con los triángulos para la primera de ellas, la más interior. los radios de las siguientes se pueden estimar de manera más libre.

me he animado a colorear el dibujo. pero eso sí, escaneando antes el original en blanco y negro, por si acaso lo fastidiaba y me quedaba sin nada decente para poner en la entrada. me he tomado la licencia de pintar de azul clarito el marco, para que resalte más sobre el blanco de la pared.

edades

los seres humanos no somos tan longevos como los pitufos. pero nuestra vida sí es lo bastante larga para que muchas cosas vayan cambiando en nosotros. una de ellas, la noción del tiempo.

alguna vez se me ha ocurrido pensar: estas personas que llegan a superar el centenar de años, y que salen en el telediario, se pasan casi la mitad de su vida en la vejez. pero en realidad no es así, ya que los primeros años de vida tienen más peso. en ellos experimentamos más cambios, y de hecho se nos hacen más largos.

por ejemplo, entre 1º de egb y cou pasan doce años. durante ese período cambiamos mucho. pasados otros doce años después de abandonar el colegio también cambiaremos, pero ya no tanto. y seguiremos acordándonos del colegio como si hubiera sido ayer, porque las primeras experiencias son las que más nos marcan.

se me ocurrió que la percepción de lo que dura un año según nos vamos haciendo mayores se podría representar mediante una gráfica logarítmica. el logaritmo se caracteriza por crecer desde –∞ hasta 0 en un intervalo muy reducido, y a partir de ahí seguir creciendo de manera más moderada. el logaritmo siempre crece, pero cada vez crece menos.

el valor ‘subjetivo’ de un año se podría asemejar al incremento de la función logarítmica entre dos valores separados entre sí una unidad. es decir, la distancia entre las líneas horizontales discontinuas de color azul claro en la gráfica anterior.

en la novela momo de michael ende, le preguntaban a la protagonista su edad. ella no lo sabía, y afirmaba haber existido siempre. esa sensación de no recordar el comienzo de nuestra vida todos la tenemos. el tiempo que ha pasado entre nuestro nacimiento y nuestro primer año de vida -o la edad hasta donde alcance nuestra memoria- es algo inabarcable para nosotros. por ello, el hecho que exista una diferencia infinita entre los valores de la función logarítmica en 1 y en 0 tiene sentido para nuestros propósitos.

una vez pasada esa etapa inicial de la que tenemos un recuerdo tan vago, cuando todavía somos pequeños un año sigue siendo una eternidad para nosotros. después se nos va haciendo cada vez más corto...

ahora que ya nos hemos hecho mayores, tenemos la sensación de que los años se nos echan encima demasiado rápido, cada vez más. por tanto, ha de haber un momento intermedio de nuestra vida en el que percibamos la duración de un año en su justa medida.

ese momento he elegido situarlo al pasar de los 17 a los 18 años. en el colegio, un año se nos hace largo, nos ocurren muchas cosas y al final somos más maduros de lo que éramos al comienzo. en la universidad, en cambio, los años empiezan a pasar más rápido de lo que deberían. después de los exámenes de febrero, descansas un poco y ya tienes encima los de junio. y si pierdes algún año por el camino -como es mi caso-, llegas a los 25 sin haberte dado cuenta y aún no has acabado la carrera.

así pues, vamos a construir una función logarítmica ‘corregida’, de tal manera que su incremento entre los valores de la variable 17 y 18 sea justamente igual a 1. antes de esas edades, un año se nos hacía más largo de lo que era (mayor que 1). y después, se nos hará más corto de lo que debería (menor que 1).

nuestra función tendrá la forma de una constante k multiplicada por el logaritmo neperiano (lnx). obligamos a que la diferencia entre sus valores para x=17 y x=18 sea 1, y sabiendo que la diferencia de logaritmos es igual al logaritmo del cociente, calculamos el valor de k como se indica.

de ese modo, obtenemos la fórmula que utilizaremos para calcular el incremento de la función entre dos valores distantes entre sí una unidad: [ln(x+1)/x]/ln(18/17). ése será el valor subjetivo de la duración de un año para cada edad.

he calculado algunos valores. como vemos, un año para un niño de primaria dura como dos o tres años ‘normales’. poco a poco se va reduciendo, y pasando el punto crítico del final del colegio, nuestros años los percibiremos como ‘fracciones de año’.

 edad---valor de un año

 0--------infinito

 1-----12.12677424

 2------7.09370819

 3------5.03306606

 4------3.90394933

 5------3.18975886

 6------2.69690269

 7------2.33616337

 8------2.06064213

 9------1.84330720

10------1.66747419

11------1.52228467

12------1.40036615

13------1.29653654

14------1.20704664

15------1.12911673

16------1.06064213

17------1.00000000

18------0.94591885

19------0.89738834

20------0.85359549

21------0.81387870

22------0.77769412

23------0.74459054

24------0.71419047

25------0.68617567

a partir de los 30 paso a contar de cinco en cinco, porque como en toda función logarítmica, el crecimiento se va haciendo cada vez menor. además ya estaba cansado de darle a la tecla de la calculadora, para qué vamos a engañarnos. ;)

 edad---valor de un año

 30-----0.57366572

 35-----0.49285617

 40-----0.43200311

 45-----0.38452618

 50-----0.34645166

 55-----0.31523803

 60-----0.28918406

 65-----0.26710804

 70-----0.24816355

 75-----0.23172838

 80-----0.21733493

 85-----0.20462499

 90-----0.19331950

 95-----0.18319787

100-----0.17408340

105-----0.16583287

110-----0.15832902

115-----0.15147486

120-----0.14518952

aproximadamente a los 35, un año se nos reduce a la mitad, a seis meses. entre los 50 y 55 pasa a ser un tercio de año, es decir, cuatro meses. en torno a los 70 se queda en un cuarto, o sea en tres meses. y para las personas de más de 100, ya sólo es un sexto, dos meses.

no toméis esto muy en serio. la percepción del tiempo es algo muy subjetivo que no se puede medir. pero todas estas cifras sirven para ilustrar la idea que todos tenemos de que el tiempo pasa cada vez más rápido.

y como suelo decir en estos casos: puedo muy bien haberme equivocado al calcular o al transcribir alguna cantidad. si queréis, podéis hacer todos los cálculos por vuestra cuenta, y si encontráis algún error me lo decís. pero creo que preferís fiaros de que están bien. ;)

más gaviotas

este pasado verano hice varias fotos más de gaviotas. cuando iba a la playa me llevaba siempre la cámara en la bolsa. al quedarse quietas en un sitio, parecen estar diciendo “fotografíame”.

aquí tenéis una que oteaba el horizonte desde lo alto del muro que hay al final de la playa.

ésta paseaba por el puerto. no echaba a volar pero tampoco se estaba quieta, así que necesité varias tomas. :)

y esta otra nadaba al estilo pato. nadan muy rápido, mueven las patas a una velocidad endiablada. por eso hay que sacarlas cuando están cerca de la orilla, antes de que se alejen.

decimos que las gaviotas nadan como los patos, pero quizá son los patos los que nadan como las gaviotas. sería cuestión de averiguar quién apareció antes en la evolución de las especies...

párvulos

ir a preescolar me hizo mucho bien. durante mucho tiempo lloraba antes, durante y después de las clases. pero eso sirvió para que no llorase cuando empecé en 1º de egb. ir al colegio ya no me daba ningún miedo.

hubo tres años de preescolar, aunque los dos primeros los tengo entremezclados en mi memoria. las dos primeras profesoras que tuve eran jóvenes, y las recuerdo como muy bruscas. me sentía bloqueado y no quería hacer nada. había que escribir letras o números o no sé qué, y yo sólo hacía unos garabatos sin sentido...

en el tercer año tuve a otra profesora que, aunque entonces yo no distinguía mucho, recuerdo que era más madura. con ella sí que aprendí a leer, a escribir y a sumar a la perfección. conste que era severa, pero se ve que sabía decir las cosas de otro modo, y con ella sí estuve motivado.

anécdotas y recuerdos de esos años, tengo unos cuantos. yo iba a comer a casa, pero un día decidí sobre la marcha quedarme a comer allí. a mis amiguitos les pareció una idea genial cuando se lo hice saber. pero mi madre se llevó un buen susto al no encontrarme en la puerta del colegio cuando fue a buscarme. al final todo se aclaró...

también recuerdo que una compañera de clase me invitó a su fiesta de cumpleaños. hicieron una representación con guiñoles y todo. era una niña rubita, y aún recuerdo cómo se llamaba. pero tanto su nombre como su apellido son muy comunes, lo que hace difícil encontrarla en facebook. ;)

qué años tan felices... del golpe de estado ni me enteré, aunque supongo que ese día no fui al colegio. y luego, del mundial de fútbol algo me sonaba porque naranjito estaba en todas partes, pero vamos...