el número opuesto a uno dado, por definición, es otro número
del mismo valor absoluto pero con el signo cambiado.
si se representan los números en una recta, el opuesto de un
número determinado será su imagen especular respecto al origen de coordenadas.
la suma de dos números opuestos siempre da 0. y 0 es el opuesto de sí mismo.
el significado de los signos se podría explicar con este
ejemplo: si avanzamos el signo será positivo (+) y si retrocedemos será
negativo (–). y el valor absoluto será el número de unidades de longitud que
avanzamos o retrocedemos.
veamos ahora otro concepto un poco más complicado: el de
números inversos.
el número inverso a uno dado -expresado como una fracción-,
es otro número -también fraccionario- cuyo numerador será el denominador del
primero, y cuyo denominador será el numerador del primero. es decir, dado un
número fraccionario, si invertimos el orden de su numerador y su denominador,
obtenemos su inverso.
en el caso de los números enteros, consideramos su
denominador como unitario. el producto de un número y su inverso será 1. el 1
es inverso de sí mismo. y el 0 no tiene inverso, o bien podemos decir para
entendernos que su inverso es infinito (∞).
un número fraccionario se puede visualizar como la pendiente
de una línea recta. al desplazarnos por una cuesta, las proporciones que siguen
el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal que realizamos vendrán representadas por el numerador y el denominador de la fracción,
respectivamente.
si la pendiente de la línea que recorremos es 0, quiere
decir que es horizontal. si es menor que 1, es inclinada pero “más horizontal
que vertical”. si la pendiente es 1, la línea forma exactamente 45º con el
suelo, coincide con la bisectriz de los ejes coordenados. si es mayor que 1, es
“más vertical que horizontal”. y si es ∞, quiere decir que la línea es
totalmente vertical.
una línea de una determinada pendiente se puede representar
con ayuda de un triángulo rectángulo en el que el cateto horizontal es el
denominador de la fracción que representa la pendiente, y el cateto vertical es
el numerador. la recta seguirá la dirección de la hipotenusa de ese triángulo.
si representamos las fracciones como líneas que tengan las pendientes asociadas a ellas, la inversa de una fracción/pendiente cualquiera
será su imagen especular respecto a la línea de pendiente 1.
en el dibujo he representado unas pocas fracciones para
ilustrar esta idea. así como los números enteros son un conjunto numerable, no
sucede así con las números racionales. entre dos fracciones que tomemos, por
próximas que estén, habrá infinitas fracciones.
así pues, existe un paralelismo entre las operaciones de
obtener el opuesto y el inverso de un número. en el primer caso el elemento central
es el 0 y en el segundo es el 1. 0 es opuesto a sí mismo, es el punto de
simetría de dos opuestos entre sí, y es el resultado de sumarlos. por otro
lado, 1 es inverso de sí mismo, es el eje de simetría de dos inversos entre sí,
y es el resultado de multiplicarlos.
tal como hemos representado los inversos, parece intuitivo
que desde la horizontal hasta la bisectriz y desde la bisectriz hasta la
vertical hay la misma cantidad de pendientes posibles. infinitas, pero con el
mismo grado de “infinitud”, por decirlo de alguna manera. y sin embargo, el
análisis de las fracciones/pendientes que se encuentran en uno y otro sector
parece decirnos algo muy distinto: en el primero se encuentran las comprendidas
entre 0 y 1, y en el segundo están todas las demás, desde 1 hasta ∞. se trata
de una gran paradoja.
para terminar, y ya que hemos hablado de imágenes
especulares, os doy un consejo por si vais al campo. ya sabéis, debajo de un
árbol nunca si hay tormenta, y menos con un espejo. que luego el rayo puede
hacer que el reflejo cobre vida, como le ocurrirá al pitufo.
