polinomios

uno de los temas que más me gusta explicar es la factorización de polinomios. las raíces de un polinomio son aquellos valores de x que lo hacen igual a cero.

un polinomio genérico de grado n se puede expresar como:

a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1 + ... + a₂·x² + a₁·x + a₀

con carácter general tendrá n raíces -tantas como su grado-, aunque puede darse el caso de que tenga menos. su factorización tomará la siguiente forma:

a_n·(x–raíz₁)·(x–raíz₂)·...·(x–raíz_n)

como ejemplo, vamos a analizar el caso de un polinomio de grado 3. primero tenemos que encontrar una raíz por tanteo y dividir el polinomio por x menos esa raíz, por ruffini o si se quiere por división polinómica normal. hecho eso, pasamos a tener una ecuación de grado 2, que resolveremos por la conocida fórmula. y de esa manera obtendremos las otras dos raíces.

un polinomio de grado impar siempre tendrá como mínimo una raíz -otra cosa es que sepamos calcularla-. sin embargo, no podemos asegurar lo mismo de un polinomio de grado par. a veces nos encontramos con un polinomio irreducible, que no tiene raíces.

la factorización de polinomios se asemeja a la descomposición en factores primos para los números enteros. te puedes encontrar con un factor primo muy grande y feo, tipo 31 ó 47, que ya no se puede descomponer más. pues algo parecido ocurre con los polinomios. en la factorización te puedes topar con un polinomio ‘primo’, que a pesar de ser de grado 2 -o incluso grados pares superiores- ya no se puede descomponer.

a mis alumn@s les digo que un polinomio irreducible es como una piedra que no se puede partir, de ahí la viñeta que he puesto al principio. :P veamos un ejemplo de otro polinomio de grado 3 que tiene una solución fácil de encontrar por tanteo, pero tras dividir por ruffini pasamos a un polinomio de grado 2 sin soluciones. éste se incorporará tal cual a la factorización, dado que no se puede ‘trocear’ más.

como decimos, hay polinomios de grado par que no tienen raíces... reales. sí tendrán raíces complejas, algo vetado en cursos en los que aún no se dan los números complejos. pero se puede llegar más lejos y factorizar el polinomio del ejemplo anterior mediante sus raíces complejas.

gracias a los números complejos, logramos factorizar polinomios que eran irreducibles si nos ceñíamos a las soluciones reales. después de todo, sí que se podía partir el pedrusco que poníamos como símil. es algo parecido a usar como herramienta de corte un diamante, que es más duro que cualquier material y puede crear fisuras sobre el mismo, logrando romperlo.

cuatro caminos

hace poco vi en la tele un programa sobre el madrid antiguo en el que hablaban del distrito tetuán. contaban que lo que hoy es la calle bravo murillo, antiguamente era la carretera de francia. también he oído decir que en el siglo xix, cuatro caminos -un lugar relativamente céntrico- se consideraba como las afueras de madrid.

tenía ganas de recorrer la calle bravo murillo entera. tiene más de 300 números. empieza en la glorieta de quevedo como una calle vertical más del distrito chamberí, y a partir de la glorieta de cuatro caminos se convierte en la calle principal del distrito tetuán, al mismo tiempo que se va curvando gradualmente hasta llegar a la plaza de castilla.

comenzamos nuestro recorrido en quevedo, como ya hemos dicho.

hay una acera bien ancha para pasear, como veis.

llegamos al cruce con josé abascal / cea bermúdez. enfrente tenemos el museo del canal de isabel ii.

y más de cerca, la estatua de juan bravo murillo, impulsor de la creación del canal, y a quien se dedicó la calle que nos ocupa.

en la acera de enfrente hay un parque, por lo que este tramo es bastante luminoso.

esto es el cruce con ríos rosas -derecha- y con islas filipinas -izquierda-. por aquí pasaba el autobús de mi cole.

ya estamos en cuatro caminos, un punto estratégico de madrid. en esta plaza convergen bravo murillo, raimundo fernández villaverde, reina victoria y santa engracia. pero como bravo murillo la atraviesa en sentido norte-sur, en realidad no son cuatro caminos, serían cinco, no?

a partir de aquí, bravo murillo forma parte del distrito tetuán. pasa a ser una especie de gran vía en medio de un entramado de tortuosas calles. destaca su actividad comercial: hay gran cantidad de tiendas antiguas y modernas -un contraste muy propio del mencionado distrito-.

a partir de aquí la calle empieza a curvarse un poco. en los mapas se ve que describe un arco muy pronunciado, pero sobre el terreno se percibe de forma gradual.

por aquí la calle se hace un poco más luminosa que en el último tramo recorrido.

mirad qué larga es mi sombra, a una hora del día en la que el sol no debería tener tanta inclinación. un efecto del cambio horario, sin duda. :P

ahora estamos en el cruce con sor ángela de la cruz. parece que por aquí la calle se tuerce en sentido contrario, como si quisiera ‘enderezarse’ y volver a la orientación que tenía. por cierto, hay una paloma volando por el cielo. ;)

por aquí se vuelve a torcer para dirigirse a la plaza de castilla, que ya se encuentra próxima. se puede ver una de las torres kio.

el final se acerca...

en la parte derecha de la foto podéis ver la última placa de la calle bravo murillo.

y por fin estamos en la plaza de castilla. tiempo de coger el metro para volver a casa. espero que os haya gustado este paseo. :)

más historias absurdas

esta entrada es la continuación de otra que escribí hace dos años y medio, nada menos. os haré un resumen: antes de empezar la carrera, un amigo y yo hicimos un curso de introducción -bastante bueno, hay que reconocerlo- en un centro del opus. posteriormente, dos miembros de ese centro que estudiaban en nuestra escuela y estaban en cursos superiores, nos ‘apadrinaron’ para ayudarnos en alguna asignatura... y para hacer proselitismo, básicamente.

al año siguiente, cuando estábamos en segundo, nos utilizaron para ayudarles en sus labores de captación. como mi amigo y yo éramos muy empollones -yo había aprobado todo entre junio y septiembre y él casi también-, nos pidieron que fuéramos al club un par de tardes a la semana para resolverles dudas a dos chavales de primero que habían hecho aquel curso introductorio.

uno de ellos parecía listo, captaba bien las cosas. el otro, a quien llamaré flan y en quien me voy a centrar más, era duro de mollera. cualquier razonamiento mínimamente complejo le parecía una idea feliz. pero era muy persistente y no dejaba de darle vueltas a algo hasta que lo entendía. al final en los exámenes le fue bastante mejor a flan que al otro chico -que acabó dejando la carrera-.

recuerdo que en una conversación con él le dije que mis métodos de estudio eran muy anárquicos, y que había tenido mucha suerte al aprobar todo. y lo peor es que no era falsa modestia, realmente me lo creía. qué idiota era por no valorarme a mí mismo. le daría un capón a mi ‘yo’ de aquella época.

las ‘clases particulares’ en el club se las dimos durante buena parte de aquel año. y después de aquello, cuando me cruzaba con flan por la escuela, a veces nos parábamos a hablar. pero poco a poco se fue distanciando, cada vez me saludaba con menos ganas, hasta que al final pasaba sin mirarme como si no me conociera de nada. le echamos una mano en su época de novato, y después, si te he visto no me acuerdo. muy mal por él, pero tampoco hay que olvidar que en esa aventura nos metieron los del club del opus.

años más tarde, empecé a trabajar en una empresa. el primer día me presentaron a todos los compañeros del departamento, y uno de ellos era flan. el que nos presentó dijo “creo que habéis estudiado en la misma escuela”, y él respondió “sí, la cara me suena”. y tanto que la cara, la tuya que es de hormigón armado! tengo que reconocer que luego no fue mal compañero... un poco ‘workaholic’ y pelota con el jefe, pero conmigo personalmente fue correcto. en cualquier caso, encontrarme con él en mi primer día de trabajo fue un shock.

en fin, que lo pasado, pasado está. pero me ocurren unas cosas que... manda huevos. :P

donuts

la característica forma del donuts tiene un nombre técnico en matemáticas: es una figura geométrica de revolución denominada toro. se forma cuando un círculo de radio r minúscula gira sobre un eje situado a una distancia R mayúscula del centro del círculo.

el volumen del toro se puede calcular integrando discos de radio r y grosor infinitesimal R·dφ, siendo φ el ángulo de giro. al dar una vuelta completa, dicho ángulo variará entre 0 y 2π. hecho este cálculo, la expresión del volumen será 2·π²·r²·R.

llama la atención que aparezca π elevado al cuadrado. si lo pensamos, es lógico que dependa doblemente de π, ya que en esta figura la forma circular se encuentra tanto en la sección de radio r como en la revolución de la misma alrededor del eje situado a distancia R.

aquí tenéis el toro o donuts representado en perspectiva diédrica. en planta y ‘de canto’, para entendernos.

el donuts que he comprado en una panadería para ilustrar esta entrada, luego me lo he comido, no lo iba a dejar ahí. :P que no se os olvide llevarlos para merendar!

vecinos

mi actual vecina de arriba -es decir, justo encima de mi piso- es una chica más o menos de mi edad, que ha heredado el piso de su padre. sus progenitores estaban separados, por lo que antes vivía con su madre en otra casa. con lo cual, es una vecina relativamente nueva para mí.

se comentaba que había tenido “problemas de convivencia” con otros vecinos, y pensé: heyy, me gustan las mujeres con carácter!! :D pero leí detenidamente el acta de la reunión, y lo que ocurrió es que los inquilinos del piso encima del suyo hacían mucho ruido, y ella se había quejado a la comunidad. es decir, que no se pegó con nadie ni nada de eso. :P

el otro día subí al ático a grabar un video con el móvil -de esos que sufrís quienes me tenéis en facebook-, pero no me gustó el resultado y por eso no lo compartí. bajé andando, y justo en ese momento salía de su casa esa chica. intercambiamos un correcto “buenos días”. he visto que un compañero de mi colegio la tiene en su facebook. qué pequeño es el mundo! ya tengo tema de conversación para cuando la vea.

en mi casa no ha habido muchas chicas de mi edad a las que yo recuerde. quizá cabría mencionar a la única chica de cinco hermanos muy peculiares. eran todos muy puritanos y santurrones, no podías ni decir una palabrota delante de ellos. ahora la opinión que tengo de ellos es buena en conjunto, porque la nostalgia hace que nos quedemos con lo positivo, pero la actitud de “yo soy más santo que tú” la suelo llevar mal.

• el mayor de todos -un año mayor que yo- era muy empollón y repelente. siempre intervenía en los asuntos de los mayores. ahora se ha vuelto muy pasota, vive en su mundo y apenas se le ve. las últimas veces que le vi estuvo bastante simpático.
• al segundo -un año menor que yo- le ha pasado al revés. era el más accesible dentro de lo puritanos que eran, pero ahora se ha vuelto el peor. jamás lleva otra ropa que no sea traje y corbata -desde muy joven además-, y es muy estirado.
• el tercero -dos años menor que yo- era muy serio, casi malencarado, pero ahora es muy campechano y agradable. está casado y tiene tres hijos. es el que más se deja ver de todos los hermanos. de vez en cuando nos paramos a hablar.
• la chica -tres años menor que yo-, es quizá la más díscola. hace muchísimo que no la veo, no sé qué es de su vida. cuando estaba en cou me invitó a su fiesta de cumpleaños. entonces yo era un empollón y pasaba bastante de chicas, pero ahora me habría puesto las botas. ^_^
• y por último, el pequeño -cinco años menor que yo-, es un poco como el mayor, va y viene a su bola. es el único de los hermanos al que le he visto llevar pantalones vaqueros. parece un chico tranquilo, pero dicen que tiene mal genio si le pinchan.

con la madre me llevo estupendamente, y de vez en cuando nos escribimos e-mails. el padre es que era muy mayor, llegó a ser nonagenario. tuvo a su primer hijo con más de cincuenta años. eso demuestra que los tíos como yo que aún no hemos dejado descendencia en el mundo, no debemos perder la esperanza. :O

habéis tenido vecinos que os hayan dejado huella y os despierten cierta nostalgia? y algún chico o chica -según el caso- que os guste un poquito y a quien hayáis ido a pedir sal? ;)