más parábolas

sí, es que ya escribí una entrada sobre parábolas, desde el punto de vista físico...

una parábola es la curva formada por los puntos equidistantes de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.

la ecuación general de una parábola en el sistema de coordenadas cartesianas es:

y = ax²+bx+c

el coeficiente a es el que determina la forma de la parábola:

- si a es grande en valor absoluto, la parábola será más cerrada. si a es pequeño, será más abierta.

- si a es positivo, la parábola tendrá las ramas hacia arriba. si a es negativo, tendrá las ramas hacia abajo.

por otro lado, b y c nos informan de la posición de la parábola en los ejes de coordenadas. vamos a calcular la posición del foco y de la directriz de una parábola dependiendo de su coeficiente de segundo grado, que como decimos es el que define su forma.

para ello nos será más sencillo trabajar con una parábola cuyo vértice esté situado en el origen de coordenadas:

y = ax²

un punto cualquiera de la parábola -llamémoslo P-, estará definido por sus coordenadas (x, y), es decir, (x, ax²).

el foco F estará situado sobre el eje vertical, y su distancia al origen será f, cuyo valor queremos calcular. las coordenadas del foco serán (0, f).

y la recta directriz r será paralela al eje horizontal, a una distancia f  por debajo del mismo.

hay dos distancias que necesitamos: desde el punto genérico P hasta el foco F, y desde el punto P hasta la directriz r.

la distancia entre P y F la hallamos por el teorema de pitágoras, restándole a las coordenadas de un punto las coordenadas del otro, y calculando la raíz de la suma de los cuadrados de esas diferencias.

la distancia entre P y r es más sencilla de obtener: simplemente la suma de la coordenada vertical del punto y la distancia f a la que se encuentra la directriz del eje vertical.

igualamos esas dos distancias, y haciendo algunos cálculos obtenemos el valor f = 1/4a.

f es inversamente proporcional al coeficiente de 2º grado a. esto quiere decir que:

- cuanto mayor sea a -parábola más cerrada-, menor será f: más cerca del vértice se encontrarán el foco y la directriz.

- cuanto menor sea a -parábola más abierta-, mayor será f: más lejos del vértice estarán el foco y la directriz.

visualmente, me lo imagino así: si la parábola fuera una barra flexible, al doblarla se acercarían el foco y la directriz, y al enderezarla se alejarían.

esto me recuerda a un relato de sherlock holmes en el que un individuo se presenta en su consulta con objeto de amenazarle para que no investigue un caso que le acaban de encomendar. este sujeto agarra un atizador de chimenea y lo dobla para hacer una exhibición de su fuerza. pero cuando se marcha sin haber logrado intimidar a holmes, éste lo endereza sin gran dificultad, demostrando poseer la misma fuerza física. y es que se necesita la misma energía para doblar una barra de hierro que para desdoblarla...

rotación y traslación

el otro día una amiga de facebook preguntaba si alguien tenía el catálogo de juguetes del corte inglés de las pasadas navidades. encontré el que teníamos en casa y le escribí un mensaje. veremos qué me contesta cuando se vuelva a conectar.

el caso es que algunas fotos que contiene me han venido bien para esta entrada. últimamente me he estado fijando en que algunos carritos de bebé -ya sean de verdad o de juguete-, tienen un par de ruedas más grandes que el otro par. por ejemplo, en el de esta foto las ruedas traseras son más grandes que las delanteras.

cuando empujamos el carrito, los centros de todas las ruedas se desplazan a una misma velocidad lineal. sin embargo, al ser las ruedas de diferente tamaño, sus velocidades angulares serán diferentes. las ruedas más grandes girarán más lentamente y las más pequeñas lo harán más rápidamente.

en el dibujo se representa esquemáticamente un vehículo con ruedas de diferentes radios...

la velocidad lineal (v) es igual al producto de la velocidad angular (ω) por el radio (R). obligando a que ambas velocidades lineales sean iguales, se obtiene una relación de proporcionalidad inversa entre las velocidades angulares y los radios.

por otro lado, la longitud recorrida (L) por cada rueda es igual al ángulo girado (φ) por el radio (R). la relación de proporcionalidad entre los ángulos girados es la misma que para las velocidades angulares. sustituyendo, obtenemos que las longitudes recorridas por ambas ruedas son iguales.

así pues, en los vehículos con ruedas de diferentes radios, las más pequeñas se desgastan más porque dan más vueltas. aunque todas recorren la misma distancia, para las pequeñas representa un mayor ángulo girado, y por tanto una mayor proporción de su longitud.

esto también sucede con las ruedas de apoyo que llevan las bicicletas para niños. recuerdo que cuando aprendíamos a montar en bici de pequeños, primero lo hacíamos con las dos ruedecitas de atrás, luego sólo con una, y al final, quitábamos las dos. o se acababan soltando solas por desgaste, no sé muy bien...

la bicicleta constituye un perfecto ejemplo de la transformación de movimiento de rotación en movimiento de traslación. al pedalear, a través de la cadena de transmisión, comunicamos un giro a la rueda trasera. como ésta rueda sin deslizamiento, hace que todo el conjunto se desplace.

los piñones de transmisión a los que va conectada la cadena giran más rápido que las ruedas de la bici, por ser de menor radio, por lo que explicábamos antes. es decir, que si un ciclista va pedaleando muy rápido, los piñones giran a una velocidad endiablada. por eso la cadena sufre un desgaste considerable. además, conviene engrasarla para que no se bloquee la transmisión.

pasar lista

los números racionales son aquéllos que se pueden expresar como un cociente entre dos números enteros. dicho de otro modo, son las fracciones de toda la vida.

entre dos números racionales, por cercanos que puedan estar entre sí, hay infinitos números racionales intermedios. sin embargo, había oído decir que el conjunto de las fracciones era ‘numerable’, es decir, que hay algún criterio para ir enumerando de manera continua todas las fracciones que existen sin omitir ninguna, aunque no estén ordenadas por su valor numérico.

mi primera idea fue ordenarlas por denominadores, contando sólo las fracciones irreducibles para evitar repeticiones, claro está. las de denominador 1 -que no son otra cosa que los números enteros- serían 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... y así hasta el infinito. las de denominador 2 serían 1/2, 3/2, 5/2, 7/2... hasta el infinito. las de denominador 3 serían 1/3, 2/3, 4/3, 5/3, 7/3... hasta el infinito. y así sucesivamente...

pero esa manera de contar las fracciones no es continua, ya habréis notado que va como “a trompicones”. pensando en ello, se me ha ocurrido construir una tabla de fracciones ordenada según los numeradores por columnas y según los denominadores por filas. si recorremos sus diagonales en sentidos alternos -en zigzag, podríamos decir-, vamos barriendo todas las fracciones sin dejar ninguna.

y de esa manera podemos enumerar de manera ininterrumpida todas las fracciones. si vamos siguiendo las diagonales, quedarían ordenadas así:  1,  2,  1/2,  1/3,  3,  4,  3/2,  2/3,  1/4,  1/5,  5,  6,  5/2,  4/3,  3/4,  2/5,  1/6,  1/7,  3/5,  5/3,  7,  8,  7/2,  5/4,  4/5,  2/7,  1/8,  1/9,  3/7,  7/3,  9,  10,  9/2,  8/3,  7/4,  6/5,  5/6,  4/7,  3/8,  2/9,  1/10, ...

es como si estuviéramos ‘pasando lista’ de todas las fracciones que existen. algo parecido a cuando se pasa lista en el colegio.

más raro es que se pase lista en la universidad, sobre todo en una pública. pero un profesor que tuve en 6º, el último curso, lo hacía. el primer día dejó claro que valoraba la asistencia a clase y que influiría en la calificación, añadiendo la coletilla de “esto no es la uned”. haciendo comentarios despectivos sobre otras universidades, elegancia ante todo.

no pasaba lista de todos los matriculados, pues de hacerlo así no habría quedado tiempo para dar clase. nombraba sólo a unos cuantos al azar, pero no podías arriesgarte a hacer pellas y que te nombrara y tomara nota de tu ausencia.

a final de curso, cuando los exámenes se acercaban y la gente prefería ir a la biblioteca a estudiar, mientras pasaba lista algunos se ponían detrás de una columna, con la mochila preparada. si les nombraba hacían notar su presencia, y si no se marchaban sigilosamente por la puerta de atrás. no sé qué me parecía más ridículo, el pasar lista a unos tíos hechos y derechos, o las picarescas de adolescente a las que recurrían algunos. lo segundo era consecuencia de lo primero, supongo.

6 de enero

...es que tengo la costumbre de que no haya dos entradas de mi blog con el mismo título, y como ‘reyes magos’ y ‘regalos de reyes’ ya los utilicé en años anteriores, y ‘sus majestades’ me sonaba un poco pomposo...

me han traído un recopilatorio de whitney houston, varias novelas juveniles y un libro ilustrado sobre el antiguo egipto -que me dará muchas ideas sobre la geometría de las pirámides para aburriros en futuras entradas-.

a mis padres y mi hermana les he regalado un estuche de colonia y jabón, un libro de gloria fuertes y un calendario de esther encuadernado.

y además, para las mujeres de la casa, una camiseta de peppa pig y una bolsa con bordado de cerezo en flor. ambas son creaciones de fieltro danais, una chica de jaén muy simpática y habilidosa. :)

poco después del día de reyes se reanuda el curso escolar. esto era especialmente duro en la época universitaria. mientras que en el colegio los exámenes se hacían antes de navidades, y podían salirte bien o mal pero podías olvidarte de ellos durante las fiestas, en la universidad los primeros parciales comenzaban a últimos de enero. eso hacía que tuvieras el run-run mental de “tengo que estudiar”, que no te dejaba disfrutar de la navidad.

recuerdo una tarde del primer día lectivo después de las fiestas, en la que merendé un café con leche y un polvorón de los que todavía quedaban, para a continuación ponerme a estudiar unos apuntes ininteligibles de no recuerdo qué asignatura... muy deprimente. menos mal que eso ya pasó...

mañana tendré clases por la mañana y por la tarde. pero debo decir que las niñas que van a recibirlas tienen suerte, porque mis clases son distendidas y siempre tienen una pequeña dosis de risas y humor. en cambio, estudiar en soledad ciertas asignaturas es algo en lo que resulta difícil encontrar el humor. “para estas cosas no hay humor”, como decía una canción de presuntos implicados... y que durante mucho tiempo se me metió en la cabeza que era de marta sánchez, no sé por qué.

feliz día de reyes a tod@s! qué os han traído...?