sueños dorados tontos

con este precioso dibujo de la gran trini tinturé que tengo la suerte de poseer, cerramos este año 2014 para dar paso al 2015.

tenía en mente escribir una entrada titulada así, sueños dorados tontos, y no necesariamente para acabar el año. es decir, la podía haber publicado en cualquier otra época.

esa combinación de palabras se me ocurrió por casualidad y me sorprendí a mí mismo. se trata de un sustantivo -sueño- seguido de de dos adjetivos -dorado y tonto-. la lengua se me daba bien cuando estaba en el colegio, y de vez en cuando tengo que dar alguna clase de esa asignatura. a nivel de primaria/eso sí me atrevo, aunque no sea mi campo...

el adjetivo dorado es figurado en este caso, y sirve básicamente para intensificar o magnificar al sustantivo. el propio sustantivo es figurado, porque no hablamos de sueño literalmente como la actividad mental que tenemos mientras dormimos, sino de un deseo que esperamos que se cumpla.

por el otro lado, el adjetivo tonto significa en este caso algo de poco importancia. así pues, un sueño dorado tonto sería un intenso deseo que tenemos a pesar de su escasa trascendencia objetiva.

me parece gracioso diferenciar entre sueños dorados ‘listos’ y ‘tontos’. me hace pensar en las rosquillas de san isidro, que las hay de dos tipos: con cobertura de azúcar glaseado -las listas- y sin cobertura -las tontas-. aunque en realidad, viéndolas en las pastelerías a mediados de mayo, creo recordar que había más de dos modelos...

tal vez se me pueda acusar de ser un mal madrileño, pero no me vuelven loco las rosquillas de san isidro. puedo picar alguna en un momento dado, pero vamos...

volviendo a los sueños, calificarlos de ‘listos’ o ‘tontos’ es relativo, porque muchas cosas importantes en la vida surgen a partir de casualidades, de sucesos fortuitos.

tenéis algún sueño dorado tonto? yo sí, por ejemplo volver a encontrarme con una chica con la que coincidí en cierta época y a la que no tuve tiempo de conocer bien...

espero que el próximo año se cumplan todos vuestros sueños, tantos los listos como los tontos. ;)

plástica

hace poco participé en xmas postcrossing, una iniciativa de la gran ilustradora cucatraca. se trataba de recuperar la costumbre de enviar tarjetas postales por correo ordinario. debías enviar una tarjeta a la persona que se te asignara, algo similar al ‘amigo invisible’.

me atreví a crear la mía propia. decidí hacer algo alrededor de una estrella pentagonal, y de ese modo tendría una base geométrica, terreno en el que me defiendo mejor. el pentágono está estrechamente relacionado con la proporción áurea, al igual que la espiral logarítmica. y por eso se me ocurrió juntar ambas cosas.

primero dibujé las figuras a lápiz, con todos los trazos auxiliares que fueran necesarios. después remarqué los contornos con rotulador amarillo y borré todo lo hecho a lápiz. finalmente coloreé de amarillo el interior del pentágono y la espiral de anchura creciente.

el fondo lo pinté con pastel azul. y el hueco que quedaba lo rellené con un adorno navideño... lástima de bolas que parecen ovillos de lana más que otra cosa, uno hace lo que puede. ;)

para darle a la tarjeta forma de díptico, uní la imagen escaneada del dibujo original y su imagen especular, convertida en mapa de bits de 16 colores para que fuera un poco diferente. sólo quedaba doblarla por el eje de simetría, escribir un texto para la destinataria y enviarla.

no ha sido la única manualidad que he hecho últimamente. en el foro de trini tinturé se nos propuso elaborar un adorno de navidad. mi idea fue muy sencilla: dibujar una estrella con su cola -esta vez a mano alzada, sin instrumentos de dibujo técnico- unida a una imagen escaneada de violeta, una simpática hada creada por trini.

la imagen digital del conjunto la aproveché para imprimir tarjetas navideñas, rellenando el fondo de diferentes colores con el ‘bote de pintura’ del paint. os la muestro en verde como ejemplo, también utilicé azul, fucsia y naranja.

para construir la estrella de adorno propiamente dicha, imprimí sobre una cartulina la imagen original por una cara, y la imagen especular girada 180º por la otra, de manera que encajaran exactamente. recorté el dibujo por los contornos, lo recubrí con forro adhesivo por ambos lados, y así me quedó.

por cierto, esa estrella ya no la tengo, ayer se la mandé por correo junto con otras cosas a una amiga. así que si quiero tener otra igual tendré que imprimirla y recortarla de nuevo.

las manualidades que hago, como veis, son propias de la asignatura de ‘plástica’ de algún curso de primaria, de ahí el título de esta entrada. ;) felices fiestas a tod@s!!

llamada

hace tiempo se me ocurrió buscar en google el nombre y los dos apellidos de un profesor que tuve en 4º de egb, y del que hablé alguna que otra vez. lo único que encontré fue su dirección y su número de teléfono en las páginas blancas digitales.

tenía en mente la idea de llamarle, a ver qué pasaba. como por lo visto vive en mi barrio, es posible que alguna vez me haya cruzado con él. me dio clase en el curso 1986-87, por lo que la edad mínima que debía tener entonces para que ahora sea sexagenario era de 33 años. y creo que alguno más tenía, así que...

era mediano de estatura, con el pelo castaño oscuro y ligeramente ondulado, y la cara ovalada. supongo que ahora tendrá el pelo más gris y más escaso, y es posible que lleve gafas aunque no las llevara entonces. hoy en día mucha gente usa gafas. supongo que la vida moderna hace que se deteriore más la vista.

hoy he llevado a la práctica mi loca idea de llamarle. pensaba que quizá podría hacerle ilusión que un antiguo alumno suyo se acordara de él. pero le he encontrado muy ausente. no es tan mayor como para dudar de su lucidez, y por eso supongo que simplemente se ha sorprendido y no ha sabido qué decir. además por teléfono siempre es más difícil comunicarse...

lo ha cogido él directamente. se oía de fondo la tele, quizá estaba viendo algo y le he interrumpido. su voz era como la recordaba, aunque más ‘cascada’ como es lógico. me ha agradecido escuetamente la llamada y las amables palabras que le he dedicado. tampoco parecía molesto ni desconfiado ni nada por el estilo... más bien ausente, como decía antes. no hemos hablado ni un minuto, la verdad.

qué mal llevo la sensación de hablar y no recibir respuesta de mi interlocutor... claro que eso me ha ocurrido muchas veces en otras situaciones que no tenían los atenuantes de estar hablando por teléfono con un señor mayor que no esperaba una llamada como la mía.

creo que será mejor dejar el teléfono para otras cosas... para quedar con alguna amiguita y cosas así. :)

primera toma

estos días he estado explicando a mi alumna de 2ºeso el tema de los polinomios. cuando pongo ejercicios inventados por mí, a veces peco de ponerlos demasiado elegantes y simétricos. por ejemplo, divisiones de polinomios preparadas para que den resto cero.

el otro día mi alumna me dijo “ponme una maligna!”, refiriéndose a que los polinomios tuvieran coeficientes positivos y negativos que no siguieran ninguna pauta, y que diera resto distinto de cero. da gusto que sea autoexigente. :)

los polinomios que me vienen a la mente con más facilidad son los desarrollos del binomio de newton. cuando se va elevando a sucesivos exponentes la suma de dos términos, los coeficientes siguen una pauta regular.

esos coeficientes se obtienen de manera sencilla mediante lo que se llama el triángulo de pascal: es una serie de números enteros, dispuestos en forma triangular, en la que cada término se calcula como la suma de los dos que tiene justo encima. viendo la figura lo entenderéis mejor que con cualquier explicación...

así pues, según se va recorriendo el triángulo fila por fila a partir del vértice superior, los conjuntos de coeficientes {1 2 1}, {1 3 3 1}, {1 4 6 4 1}, {1 5 10 10 5 1},... corresponden al desarrollo del binomio de newton para los exponentes 2, 3, 4, 5,...

los coeficientes del binomio de newton, en realidad son números combinatorios. en concreto son combinaciones de n elementos (siendo n el exponente), tomados de 2 en 2, de 3 en 3... el tema de la combinatoria me lo tengo que repasar, lo tengo un poco olvidado.

y para repasar temas de matemáticas, no me va a faltar bibliografía. nos han traído a casa unos libros de mi abuelo materno, que era muy amante de las ciencias. éstos que veis aquí son sólo una pequeña parte.

he llamado a esta entrada ‘primera toma’ porque todas las cosas que veis en las imágenes están hechas al primer intento y así las he dejado, aunque sean mejorables...

el dibujo que hay al principio de la entrada pretendía ser el símil geométrico del triángulo de pascal. en realidad tendría que haberlo dibujado con todos los triángulos mirando hacia abajo, me di cuenta después. pero como había tardado un rato en hacerlo y me había quedado bien, lo dejé así. parece una vidriera. :P

el triángulo de pascal propiamente dicho, lo de los números que se van sumando para obtener las filas inferiores, en algunos libros lo ponen en forma de colmena para que quede más bonito: cada número en un cubículo hexagonal. pero eso era muy laborioso de hacer.

en cuanto a la foto de los libros, también me quedé con la que me salió al primer intento, aunque podía haberla preparado un poco más para que se vieran los libros más vistosos...

aquí los pitufos están colocados de una manera que recuerda un poco al triángulo de pascal. lástima de cámara sin rollo, habría quedado una foto fantástica a la primera toma. ;)

hacerse mayor

hay quien dice: “me siento viejo cuando los chavales me hablan de usted!”. a mí particularmente no me importa demasiado, porque entiendo que es normal que un adolescente me vea como a un señor...

tampoco me preocupa mucho si me trata de usted una persona mayor, porque la gente de cierta edad a veces es algo ceremoniosa. tal vez pueda denotar distanciamiento deliberado, y eso ya me gusta menos, aunque es otro tema que no tiene que ver con sentirse viejo.

a mí lo que me mata es que me trate de usted alguien que tenga una edad próxima a la mía. está claro que hay situaciones que exigen un trato formal, por ejemplo en prácticamente todos los trabajos de cara al público. pero cuando me habla de usted alguien que, mientras yo estaba haciendo el capullo en el patio del colegio, él/ella estaba haciendo lo mismo, eso me hace sentir que el tiempo ha pasado muy rápido.

a los compañeros del colegio les has visto crecer, y ellos a ti. por mucho que nos hagamos mayores, siempre existirá una complicidad especial y pensaremos por dentro “no te hagas el serio ahora, que te conocí de adolescente y eras un gamberro”. :P con los compañeros de universidad puede ocurrir algo parecido pero en una medida mucho menor, porque les conociste a los 18 años como poco, y a esa edad la gente ya es bastante formal. sobre todo donde yo estudié...

a estas alturas de la vida, cuando te encuentras con alguien que no conoces, por mucho que pueda ser del mismo año que tú, habéis tenido vidas que no han coincidido en ningún punto. o quizá sí, pudo ser aquel niño/a petardo con el que tenías que jugar mientras tus padres estaban de palique con los suyos, y ya no te acuerdas. pero si no os conocéis, al principio habrá que guardar las distancias. estamos en el mundo de los adultos...

cada año que pasa lleva consigo hacerse más viejo. para que el 2015 se nos haga más llevadero, aquí os dejo enlazado el calendario con imágenes de esther que hago todos los años. espero que os guste.

[portada] – enero – febrero – marzo – abril – mayo – junio

julio – agosto – septiembre – octubre – noviembre – diciembre

campos y ondas

el otro día me salió en un sueño la asignatura de campos y ondas. no fue de las que peor se me dieron de la carrera, pero era el no va más de asignatura abstracta y sin conexión aparente con la realidad.

dentro de la cátedra de física había tres asignaturas: física general en primer curso, mecánica en segundo, y campos y ondas en tercero.

la física de 1º tenía un temario similar al de cou, pero con un enfoque totalmente distinto, mucho más abstracto. la mecánica de 2º ahondaba en los temas que más nos gustan a la mayoría: cinemática, dinámica, trabajo y energía... y en 3º, campos y ondas estaba dedicada al electromagnetismo, básicamente.

las tres asignaturas tenían cinco horas de clase a la semana y un temario infinito, por mucho que las estudiaras nunca te las sabías del todo. y las tres tenían el mismo modelo de examen: diez cuestiones que se podían sacar si te habías estudiado muy bien la teoría, y un problema largo en el que tenías que arañar lo que pudieras.

en clase apenas se hacían problemas, sólo algunos de exámenes de convocatorias anteriores, uno por tema. y sabías que el que te iban a poner en el examen sería totalmente distinto a todos los que habías hecho en clase.

en definitiva, física, mecánica y campos eran como una trilogía. aunque yo personalmente prefiero otro tipo de trilogías, como la del círculo secreto de libba bray. :P

como aquellas tres asignaturas iban acumulando repetidores, y era necesario aprobar cada una de ellas para poder examinarte de la siguiente, al final en campos y ondas había matriculada gente cercana a la treintena...

el electromagnetismo es algo que nunca llegué a entender del todo. sabía hacer los problemas pero no entendía su verdadero sentido físico. recuerdo que en la semana santa de cou nos fuimos de viaje, y me llevé el libro de física para ir leyendo el tema de electromagnetismo hasta que me entrara en la cabeza, intentando que me gustara y todo. qué moral tenía entonces... de vez en cuando descansaba escuchando una cinta de aerosmith -su recopilatorio big ones, que lo habían lanzado en esa época- en un radiocassette cutre que llevaba siempre.

en el sueño que mencionaba al principio, pensaba para mí que en la asignatura de campos y ondas entendía cada paso que se daba -porque todo eran desarrollos matemáticos-, pero no entendía el significado global de todo aquello...

algo así como cuando conoces la derivada de una función -cómo varía en cada punto-, pero no conoces la propia función. habría que hallarla integrando, que no siempre es fácil.

esa situación también es similar a cuando conoces la velocidad de una partícula subatómica en un momento determinado, pero por el principio de indeterminación de heisenberg no conoces su posición. sabes hacia dónde se dirige, pero no sabes exactamente dónde está.

como digo, campos y ondas no se me dio demasiado mal, dentro de lo que cabe... y es que donde haya números y símbolos matemáticos me siento como pez en el agua, ésa es la verdad.

hablando de peces, este dibujo lo hice el fin de semana pasado por encargo, para el diseño del marcapáginas de una pequeña librería. el pez tiene que ver con el nombre de la librería en cuestión. os gusta? me inspiré en la portada de el tesoro de rackham el rojo de tintín.

y también he hecho este otro dibujo para otra librería del mismo grupo. está basado en una foto antigua de mi abuela paterna.

ya veremos si al final la cosa cuaja y los utilizan. de momento me lo he pasado muy bien haciéndolos. cuando era más jovencillo y estudiaba campos y ondas, no me habría imaginado a mí mismo haciendo estas cosas. ;)

gráficos

la misma reflexión que hace benito boniato cuando le toca hacer de canguro y el niño al que cuida se empeña en ver la tele, la hago yo cuando recuerdo las cosas que veía de pequeño. también soportaba cada tostón...

allá por 1987-88, cuando estaba en 5º de egb, daban un programa que se llamaba “...y usted qué opina?”. no me ha sido fácil encontrar referencias en la red, y del periodista que lo presentaba tampoco se ha vuelto a saber mucho...

en cada programa planteaban una pregunta sobre algún tema que estuviera de actualidad entonces. realizaban un sondeo telefónico, y de vez en cuando un oyente entraba en antena. mientras tanto, tenía lugar un debate moderado por el presentador, en el que la mitad de los invitados defendía una postura y la otra mitad la postura contraria.

cada cierto tiempo ofrecían los resultados parciales de la encuesta, en gráficos de barras. al final del programa, los resultados definitivos los presentaban en un gráfico circular. para el ‘sí’ empleaban el color verde, para el ‘no’ el rojo, y para el ‘no sabe / no contesta’ el amarillo.

recuerdo que el radio horizontal derecho del gráfico separaba el sí y el no. el sí abarcaba el ángulo girado en sentido antihorario, y el no el ángulo en sentido horario desde la misma referencia, quedando el ns/nc entre medias. de pequeño, claro, desconocía esta terminología, aunque por intuición veía cómo estaba hecho.

he dibujado algunos ejemplos de estos gráficos, con números aleatorios generados en excel, para que veáis cómo eran. el ‘no sabe / no contesta’ lo he acotado a no más del 10%, porque interesa que la gente se moje, ea. :P aun así, demasiado alto lo he puesto, porque en las encuestas de ese programa la cuña del ‘ns/nc’ solía ser muy fina.

recuerdo algunas de las preguntas que formularon. una de ellas era delicada, planteaban si las huelgas médicas podían poner en peligro la salud pública, o algo por el estilo. hoy en día la sanidad sufre los recortes... lo dicho, un tema delicado.

otro día preguntaron a los oyentes si les molestaría tener a su lado en la playa a personas desnudas... a mí no es un tema que me obsesione, ni para bien ni para mal. supongo que si no quieres ver a gente como vino al mundo, lo tienes fácil: no vayas a playas nudistas y problema resuelto.

a veces las preguntas no se respondían con un ‘sí’ o un ‘no’, sino que ofrecían dos respuestas excluyentes. como un día que preguntaron quién conducía mejor, los hombres o las mujeres. en cuestión de pericia para la conducción, supongo que habrá de todo. en cuanto al comportamiento, me da a mí que los hombres son (o somos) más agresivos.

a pesar de todo lo que he contado, el recuerdo que tengo de aquel programa que me tragaba de pequeño es borroso. ahora soy incapaz de ver programas en los que la gente llama para opinar. me produce sensaciones contradictorias. por un lado, cuando llama alguien que dice tonterías y además se enrolla y no va al grano, me da vergüenza ajena. pero por otro lado, cuando el presentador les corta de forma grosera también me incomoda: si no queréis escuchar a la gente y el tiempo del programa es tan limitado, no paséis llamadas en antena.

volviendo al programa “...y usted qué opina?”, me sirvió para aprender lo que era un gráfico estadístico. eso me ha tocado explicarlo a mis alumnos en alguna ocasión. y para el proyecto de fin de carrera, hice algunos en excel.

en un gráfico circular o ‘de tarta’, el ángulo abarcado por cada opción se puede calcular como la cifra porcentual dividida entre 100 y multiplicada por el ángulo completo, 360º. es decir, (%/100)·360. la comprobación de que se ha hecho bien es que todos los ángulos sumen 360º.

para los problemas de fracciones, otro tema recurrente en mis clases particulares, conviene hacer un gráfico de tarta para visualizar lo que estamos calculando. las fracciones que se dan como datos son cuñas de ese gráfico, y todas ellas juntas representan el total.

así que ya sabéis, si un problema de fracciones no lo veis claro, lo que no os fallará nunca es hacer una tarta. eeeh, esperad, que no me refiero a esto! :O

viernes

ya tengo la novela esther cumple cuarenta! salió a la venta ayer, y hoy he ido a por ella a la casa del libro. una amiga en facebook me ha hecho recordarlo...

y ya que estaba, me he dado una vuelta por esa zona...

hay una calle estrecha y muy cortita, de una sola manzana -unimanzanal, podríamos decir-, donde vivía un compañero del colegio que me invitó a su cumpleaños en 3º de egb o por ahí.

y justo al lado, hay una tienda de la cadena de jugueterías así. no sé desde cuándo está, pero a juzgar por lo nueva que parece la fachada, debe de llevar pocos años.

en la fiesta de cumpleaños de mi amigo pusieron una tarta de chocolate muy rica, que según nos informó su madre, era de la pastelería viena capellanes.

también he pasado por allí, y me he comprado una palmera de chocolate. me he comido la mitad y estaba buenísima. he guardado la otra mitad para mañana.

llovía y no llevaba paraguas, confiando en que hoy no llovería más. pero no me he mojado mucho...

en cuanto pueda me pondré a leer la novela de nuestra amiga esther.

número áureo (4)

mi amiga geno me regaló este libro sobre la proporción áurea. no sé cómo pudo imaginarse que me gustaban estos temas, pero acertó plenamente. ;)

hace tiempo publiqué en este blog tres entradas relacionadas con el número áureo: la primera era sobre los pentágonos, la segunda sobre la sucesión de fibonacci, y la tercera sobre las espirales.

leyendo el libro de national geographic, he aprendido algunas cosas que no sabía...

veis este bucle infinito de fracciones? si se lo pongo a alguno de mis alumn@s, pensará que he perdido el juicio.

si hacemos el inverso de este mamotreto, nos damos cuenta de que es igual a la serie original -a la que llamamos x- menos una unidad. desarrollando la ecuación, obtenemos que x no es otra cosa que el número áureo, al que se suele denotar con la letra griega Φ.

y qué os parece esta serie infinita de raíces? da miedo, y casi ningún adulto se acuerda de cómo se resolvían las raíces cuadradas...

si elevamos al cuadrado este engendro, observamos que es igual al original más una unidad. eso nos conduce de nuevo a la ecuación de segundo grado cuya solución es el número áureo.

otro concepto que he aprendido es el de gnomon. se denomina gnomon de una figura geométrica a aquélla que yuxtapuesta a la primera nos dará una nueva figura de la misma forma y proporciones que la original.

con ejemplos se verá más claro. aquí tenemos un rectángulo áureo, cuyos lados miden 1 y Φ. la proporción entre el mayor y el menor es Φ, la proporción áurea.

si le añadimos un cuadrado cuyo lado sea de longitud Φ -el lado mayor del rectángulo original-, obtendremos un nuevo rectángulo áureo de mayor tamaño que el primero.

veamos ahora el triángulo áureo, que es como se denomina al triángulo isósceles formado por un lado de un pentágono regular y dos de sus diagonales. su ángulo más cerrado es de 36º, y los más abiertos son de 72º.

pensemos ahora en otro importante triángulo isósceles, el formado por dos lados del pentágono y una de las diagonales. tiene un ángulo obtuso de 108º y dos ángulos agudos de 36º.

si tomamos un triángulo de este tipo cuyos lados iguales tengan la misma longitud que los lados iguales del triángulo áureo del que hablábamos, y lo unimos al primero como se indica en la figura, obtendremos un nuevo triángulo áureo. así pues, el segundo triángulo es el gnomon del primero.

y a todo esto, vaya palabra, gnomon. no era así como se llamaba a una especie de enanitos que vivían en el bosque...? ;)

risas y lloros

el otro día me acordé de una historieta de zipi y zape que merece dedicarle una entrada...

calculo que es del año 1985, más o menos, y por aquel entonces josé escobar, el dibujante de zipi y zape, ya era un hombre mayor (nació en 1908). las risas enlatadas en las series cómicas de la tele, que es de lo que trata la historieta, debían de ser algo muy novedoso para él.

zipi y zape se sienten desconcertados ante las risas de fondo que incitan a reír al espectador, y deciden acudir a los estudios de televisión proponiendo que se introduzcan llantos en las series dramáticas. como en los tebeos todo es posible, la sugerencia es aceptada y llevada a la práctica de inmediato.

escobar, que tenía un humor surrealista muy peculiar, lo que trataba de plantear era: si añadir lloros de fondo en los dramas nos parece absurdo, por qué en cambio aceptamos que haya risas en las comedias?

supongo que a los que hemos crecido con ello no nos importa, porque ya estamos acostumbrados. de pequeño veía a veces series como ‘las chicas de oro’ o ‘la hora de bill cosby’, que tenían risas enlatadas. aun así, seguramente no pillaba ni la mitad de los chistes...

al principio de esta historieta, los padres de zipi y zape se disponen a ver una serie de terror calificada con dos rombos. ♦♦ aunque hoy día los rombos los asociamos ya sabemos a qué... ;) en realidad significaban que el filme no era apto para menores por las razones que fueran, entre las que se podía incluir la violencia de sus escenas.

recuerdo que en mi colegio nos daban cada mes un listado de las películas que se iban a emitir por televisión, con una calificación por edades. en esa época ya había más de dos canales, pero muchos menos de los que hay ahora...

empleaban las letras A, B, C y D. la A significaba ‘para todos los públicos’, la B y la C eran intermedias, y la D era ‘absolutamente desaconsejable’. y claro, qué hacían los chavales? pues irse derechitos a buscar las películas calificadas con una D. supongo que los profesores que tuvieron esa genial idea se dieron cuenta, y decidieron mandar la hoja de las pelis por correo para que la recibieran los padres, en vez de dárnosla a nosotros.

en fin, aquí os dejo la historieta de zipi y zape. espero que os guste tanto como a mí. hoy, por ser halloween, quizá den alguna película terrorífica. pero tampoco mucho, porque esta festividad tiene un amplio público infantil...

divisores

no, decididamente no... a la hora de explicar a los niños el tema de los divisores de un número entero, ponerles como ejemplo a un grupo de bandidos fugados de la cárcel repartiéndose el botín del atraco a un banco, no es muy pedagógico. mejor poner ejemplos de situaciones que estén dentro de la legalidad. :P

para los problemas en los que hay que calcular el máximo común divisor o el mínimo común múltiplo, es necesario saber descomponer los números enteros en sus factores primos sin equivocarse.

para ello, siempre les insisto a mis alumnos en que lo hagan de manera metódica: que vayan dividiendo por los sucesivos números primos en su debido orden (primero el 2, luego el 3, luego el 5...), y que dividan por cada uno de ellos hasta ‘agotarlo’, hasta que ya no se pueda dividir más por él, y sólo entonces que pasen al siguiente.

he intentado reflejar esto en un diagrama de simulación, algo que di al final de la carrera. recuerdo que las preguntas que se planteaban -para hacer una u otra cosa según la respuesta- se ponían dentro de un rombo, y las instrucciones a llevar a cabo, dentro de un rectángulo.

el diagrama que he hecho se basa en esta idea: si un número es múltiplo de un factor primo, lo dividimos por dicho factor. si después de dividirlo sigue siendo múltiplo de ese factor, volvemos a dividir por él, y si no probamos con el siguiente.

sabemos a simple vista si un número es o no múltiplo de 2: lo es si es par, no lo es si es impar. para saber si es múltiplo de 3 hay que pensar un poco más: la suma de sus cifras debe dar un múltiplo de 3. y saber si es múltiplo de 5 es sencillo: debe acabar en 5 o en 0. en el diagrama, como sólo probamos con el 5 cuando ya hemos agotado el 2 previamente, el caso de acabar en 0 en realidad no se va a dar al llegar a esa etapa, pero aun así no he querido dejar de mencionarlo...

también hay criterios de divisibilidad para el 7 y para el 11, pero a los niños de e.s.o. les pueden resultar un poco liosos. por ello prefiero recomendarles que prueben a hacer la división por esos factores y comprueben si les da resto 0 -en ese caso son múltiplos- o distinto de 0 -siendo así no lo son-. y lo mismo para todos los factores primos siguientes (13, 17, 19...).

pues aquí lo tenéis. se lo llevaré el martes a la niña de 1º de e.s.o. que está dando estos temas ahora, y me mirará con cara de “te mato”. :D

come, reza, ama

come, reza, ama es uno de esos libros que pedí al círculo de lectores y los he tenido muchísimo tiempo pendientes de leer, sin quitarles el plástico siquiera...

se trata de una historia autobiográfica de la escritora elizabeth gilbert. tras un divorcio y una complicada relación posterior, decide emprender un largo viaje a modo de terapia. visitará tres países, cada uno de los cuales le aportará cosas diferentes: italia, india e indonesia, en este orden.

el libro está estructurado en tres partes, dedicadas a su estancia en cada uno de los tres países. a su vez, cada parte está dividida en 36 breves capítulos o epígrafes. todo muy regular y equilibrado. en total, 3 por 36 hacen 108 capítulos.

una de las cosas que se me han quedado grabadas al leer esta novela es una teoría oriental según la cual, si de las tres cosas que más deseas en la vida una se encuentra en desarmonía con las otras dos, te espera la infelicidad.

no soy muy amigo de ese tipo de aforismos y prefiero no pensar mucho en ello, no vaya a descubrir que justo eso me pasa a mí. ;) pero es una teoría interesante. en principio podría parecer -y esto es de mi cosecha- que italia está un poco en discordia con los otros dos países. italia es europea, india e indonesia son asiáticas...

pero no es así. desde cualquier punto de la india hasta bali -que realmente es el único lugar de indonesia visitado por la autora- hay una distancia considerable. además de que las diferencias étnicas, culturales y religiosas entre el subcontinente indio y el archipiélago indonesio son muy grandes.

las tres palabras del título resumen la experiencia de la autora en cada uno de los países: hedonista en italia (come), espiritual en la india (reza), y de reencuentro con el amor en indonesia (ama).

en italia, la protagonista aprende otra teoría interesante: cada ciudad del mundo tiene una palabra que la define. cada persona individual también tiene la suya propia, pero una entidad colectiva de gran tamaño como es una ciudad, en promedio tiene un comportamiento que predomina.

ya lo decía arthur conan doyle por boca de su célebre detective sherlock holmes: cada persona individual es una incógnita, un misterio, pero el ser humano en conjunto es perfectamente predecible.

la autora, cuyo propio carácter ella misma define como muy extrovertido y locuaz, en la india se propone convertirse en una persona muy silenciosa y dedicarse por completo a la meditación. pero le hacen comprender que debe seguir siendo ella misma. de hecho, le encomiendan una labor de coordinación en la que necesita emplear sus habilidades sociales.

una vez más se confirma que eso de cambiar drásticamente de personalidad es imposible. eso no existe en la realidad, por suerte. hay otra frase citada en esta novela que se me ha quedado grabada: “el sabio se parece a sí mismo”.

en bali -lugar que en todo momento se trata casi como un país independiente-, la protagonista descubre una sociedad totalmente estructurada, en la que nadie puede salirse de unos cánones establecidos. allí encuentra el equilibrio tras haber alimentado sus sentidos en italia y su espíritu en la india.

me decidí a leer esta novela con ciertas dudas de que me fuera a gustar. pero al final me ha parecido muy amena, por las reflexiones de la autora y por las muchas cosas interesantes que cuenta sobre la historia y la cultura de los lugares que visita.

habéis leído el libro o visto la película? sobre la película no puedo opinar porque no la he visto...

lazos

cómo se hacía esto de trazar una línea tangente a una circunferencia desde un punto exterior? -me preguntaba el otro día en la ducha al quedarme mirando el desagüe, que tiene forma circular. :P

la línea tangente, por definición toca a la circunferencia en un solo punto. no vale que la atraviese cortándola en dos puntos -lo que se denomina secante-, ni que pase sin rozarla. y en realidad se pueden trazar dos líneas tangentes desde un punto, una por cada lado.

trazarla de manera aproximada, ‘a ojo’, no es lo correcto. existe una construcción geométrica para ello. para poder comprenderla hay que tener presentes dos propiedades de las circunferencias.

la primera, que la línea tangente es perpendicular al radio al cual pertenece el punto de tangencia. es algo fácil de intuir si lo pensáis.

la segunda, un poco más compleja: en una semicircunferencia, las líneas que unen cualquier punto de la misma con los extremos de su diámetro son siempre perpendiculares entre sí. una semicircunferencia trazada con este propósito se denomina arco capaz de 90º.

así pues, nos interesará construir una semicircunferencia cuyos extremos sean el punto exterior y el centro de la circunferencia objeto del problema. de ese modo nos aseguramos de que un radio de la circunferencia y la línea trazada desde el punto exterior se encuentren bajo un arco capaz de 90º. el punto de tangencia será la intersección del arco capaz con nuestra circunferencia.

esto de trazar la tangente a una circunferencia desde un punto que puede estar tan lejano como se quiera, de alguna manera me recuerda a los cowboys del oeste echando el lazo. tintín lo intenta en su viaje a américa, al perseguir a un gansgster.

en realidad el far west es historia reciente. los verdaderos nativos de estados unidos son los indios. y de canadá los inuit, y de australia los aborígenes, y de nueva zelanda los maoríes... un día podría escribir una entrada sobre pueblos indígenas que todavía existen.