impresiones

el filósofo escocés david hume vivió en el siglo xviii, y su pensamiento pertenece a la corriente del empirismo.

su convicción de que todo conocimiento empieza y acaba en los sentidos, aparentemente no lleva a ninguna parte. sin embargo, hume hizo algunas aportaciones interesantes. una de ellas, la división de los contenidos de la mente en impresiones e ideas.

las impresiones son datos percibidos a través de nuestros sentidos. pueden ser simples, como por ejemplo un color o un sonido aislados; o complejas, como es el caso de la impresión global que percibimos de una persona que tenemos delante, de una casa que visitamos...

las ideas son las reproducciones que hacemos en nuestra imaginación de las impresiones que hemos recibido en un momento determinado. al igual que éstas, las ideas pueden ser simples o complejas.

y aquí viene lo interesante: podemos formarnos una idea compleja de algo que no existe en la realidad -como podría ser un animal mitológico, por ejemplo-. pero esa idea compleja irreal siempre estará formada por ideas simples que se corresponden con impresiones que hemos tenido en la realidad en algún momento. de la misma manera que cualquier color en el que podamos pensar siempre será una combinación de los tres colores primarios.

los sueños toman ideas individuales almacenadas en la mente, y las asocian de manera extraña y a veces sin sentido aparente. algo parecido sucede con las fantasías. siempre están basadas en cosas que nos han sucedido, en conversaciones que hemos tenido...

a medida que crecemos, vamos acumulando mayor cantidad de impresiones e ideas, y lo que es igual de importante, sabemos cómo conectarlas. por eso, nuestras predicciones son más certeras y nuestras fantasías más realistas.

es como si tuviéramos un juego de construcción -como el tente o el lego-, y cada vez dispusiéramos de una mayor variedad de piezas, teniendo además mayor intuición a la hora de juntarlas.

o, de manera similar, en un juego de recortables tendríamos más muñecas y más prendas y accesorios para vestirlas...

voces

el tema de las voces es muy interesante. se puede estudiar desde el punto de vista de la acústica -las propiedades de las ondas sonoras-, desde el punto de vista de la música -los tipos de voces para el canto-,...

los sonidos tienen tres propiedades fundamentales:

• la intensidad, definida por la amplitud de las ondas sonoras (A). los sonidos fuertes se caracterizan por ondas de altas crestas, mientras que los sonidos débiles son de ondas más achatadas.
• el tono, que viene dado por la frecuencia (υ) de las ondas. la frecuencia es la inversa del período (T). los sonidos agudos son de alta frecuencia, lo que quiere decir que los máximos de onda se suceden con más rapidez. los sonidos graves son de baja frecuencia, es decir, la onda tarda más en recorrer un ciclo completo.
• el timbre, que es lo que permite diferenciar dos sonidos de una misma intensidad y frecuencia.

al pasar de la niñez a la adolescencia la voz cambia, sobre todo en el caso de los chicos. a algunos les cambia de manera muy drástica en poco tiempo, mientras que para otros el proceso es más gradual. mi caso fue el primero...

en la adolescencia, los chicos pasan a tener una voz más grave que, aunque seguirá evolucionando a lo largo de la vida, se puede decir que es la ‘definitiva’. a medida que se va madurando, la voz se hace más profunda y ronca. tal vez eso tenga más que ver con el timbre. la onda sonora no será una curva tan ‘suave’ como se representa en las gráficas, sino que tendrá ‘rugosidades’.

en el caso de las chicas, también se aprecia que en la adolescencia empiezan a tener una voz más ‘de mujer’. quizá ese cambio no sea tan fácil de expresar en términos de frecuencia de onda. nuevamente, se trata de un cambio más de timbre que de tono.

de todos modos, resulta curioso cómo las voces masculinas y femeninas siempre se identifican como tales sin posibilidad de error. por ejemplo, por mucho que un cantante tenga una voz chillona y cante en falsete, siempre tiene ‘algo’ que hace que se note que el que canta es un hombre.

en cuanto a la edad representada por la voz, quizá se pueda engañar un poco más, pero hasta cierto punto. un adolescente difícilmente podrá aparentar ser un adulto por teléfono, y menos tapándose la nariz. a benito boniato -personaje de comic de bruguera-, le funciona para hacer pellas, pero en los comics puede pasar de todo. en la realidad ese truco no cuela. :D

partículas

hace poco he terminado de leer el libro que me quedaba de los que ha escrito sonia fernández-vidal hasta la fecha.

la puerta de los tres cerrojos y quantic love eran novelas que trataban de acercar al público más joven al mundo de la física cuántica, especialidad en la cual la autora está doctorada.

desayuno con partículas es un ensayo clasificado como de divulgación científica, aunque después de haberlo leído no lo veo tan claro. en realidad está formado por un conjunto de relatos ficticios protagonizados por sonia y por el periodista francesc miralles, así como varios intercambios de e-mails entre ambos.

en algunos capítulos, ella le explica los principales conceptos de la mecánica cuántica, y él responde con bromas cuando le resultan difíciles de comprender. los diálogos son muy divertidos. en otros capítulos la fantasía va más lejos, y ambos amigos viajan a épocas pasadas, para observar en persona a diferentes científicos que han pasado a la historia.

la física cuántica nunca se llega a entender del todo, aunque estas lecturas ayudan a acercarse poco a poco a ella. tras leer este libro, me ha quedado la sensación de que todas las ideas del filósofo aristóteles -que me parecía el más lógico y razonable de los filósofos que estudiábamos en cou- han sido rebatidas por los descubrimientos científicos.

en la antigua grecia se creía que la tierra estaba en el centro del universo, y esta idea se mantuvo hasta la edad moderna. copérnico, galileo y kepler elaboraron modelos físicos basados en la idea de que la tierra giraba alrededor del sol. aunque fue el pobre galileo quien se las tuvo que ver con la inquisición...

cuando se descubrió el átomo, quedó demostrado que la materia no se podía dividir indefinidamente, como se creía en la época de los filósofos griegos. posteriormente se ha descubierto que existen partículas menores que el átomo, pero de todos modos dividir un átomo no es algo que se pueda hacer sin un gran desprendimiento de energía.

el principio de no-contradicción de aristóteles, que parecía tan obvio, también ha sido cuestionado. según la teoría cuántica, no podemos conocer simultáneamente la posición y la velocidad de una partícula en un instante dado. cuanto mayor sea la precisión con la que conozcamos una de ellas, más desconocida nos será la otra.

las partículas que forman los átomos pueden ocupar varias posiciones o seguir varias trayectorias al mismo tiempo. este fenómeno se denomina superposición. tan sólo cuando observamos la partícula es cuando ‘se decanta’ por una de las posiciones o trayectorias posibles. decimos entonces que se ha producido un colapso de la superposición.

el hecho de que el comportamiento de las partículas quede determinado por nuestra observación parece difícil de intuir. en un capítulo del libro, a modo de símil, se explica cómo en la vida real las personas rinden mejor en sus tareas y tienen más éxito cuando previamente se les ha hecho ver su valía. ahora entiendo algunas cosas...

en definitiva, desayuno con partículas tiene como tema central la física, pero trata muchos otros temas y resulta muy accesible y ameno. una vez más, sonia fernández-vidal nos ha ofrecido una obra única.

filtros

sé que en principio no parece un tema muy romántico... :P

los números racionales son aquellos que se pueden expresar como cociente entre dos números enteros. se incluyen dentro de este conjunto los propios enteros, los decimales exactos, y aquellos cuya parte decimal se repite periódicamente.

los números irracionales son todos los demás, los que tienen infinitos decimales que nunca siguen una pauta periódica.

ambos conjuntos forman el de los números reales. los números racionales -o fraccionarios- son tan sólo una pequeña parte de los números reales. al mismo tiempo, entre dos fracciones, por próximas que estén entre sí, habrá infinitas fracciones intermedias.

así pues, si representáramos sobre una línea recta todos los números racionales o fracciones, obtendríamos una línea porosa. si hiciéramos lo mismo con los números irracionales, también nos saldría una línea porosa, pero más densa que la anterior, mucho más.

si superpusiéramos ambas líneas, encajarían exactamente porque los puntos de una coinciden con los huecos de la otra. y formarían la recta de los números reales. en esta ilustración se refleja: la recta racional es de color gris clarito, la irracional es de un gris más oscuro, y cuando se superponen forman la recta real, que es negra.

haciendo otro símil, el conjunto de los números racionales se asemeja a una tela fina y vaporosa; el de los números racionales es una tela más gruesa; y el de los números reales es totalmente impermeable.

los filtros del café, como los que habéis visto en la foto que hay al principio de esta entrada, tienen poros. de otro modo no sería posible hacernos el café por la mañana. ahora bien, conviene que tenga pocos o muchos poros?

si la superficie del filtro es muy porosa, el agua lo atravesará sin tiempo apenas para disolver el café. por tanto, nos saldrá un café muy claro (algo que yo personalmente no soporto). en cambio, si tiene pocos poros, el agua lo traspasará con mayor dificultad. obtendremos una cantidad menor de café, pero más cargado.

vamos a hacer un análisis similar para las bolsas de té...

si la bolsa que introducimos en el agua hirviendo es muy fina y porosa, permitirá una mayor interacción entre el agua y las hierbas, y éstas se disolverán mejor en el agua. pero si la bolsa tiene pocos poros, la solubilidad será menor, y la infusión nos saldrá muy aguada.

en conclusión, los filtros de café es mejor que sean irracionales -poco porosos-. por el contrario, para las bolsas de té se recomienda que sean racionales -muy porosas-.

esther y rita, suponemos que están tomando té porque son inglesas. no importa, tanto el café como el té son ideales para la sobremesa del domingo.

pitágoras

he mencionado en muchas ocasiones el teorema de pitágoras, pero nunca había escrito una entrada sobre su formulación y demostración. el famoso teorema dice así: en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

un triángulo rectángulo es aquél en el cual uno de los ángulos es recto. los catetos son los lados que forman entre sí ese ángulo recto. la hipotenusa es el lado restante, y será siempre el más largo de los tres.

en cualquier triángulo, los tres ángulos suman siempre 180º. dado que en un triángulo rectángulo uno de los ángulos es de 90º, los otros dos ángulos deberán sumar entre sí 90º, es decir, serán complementarios. llamaremos α y β a los ángulos que forman, respectivamente, el cateto menor y el cateto mayor con la hipotenusa.

se denomina altura de un triángulo a la línea trazada desde un vértice que corta perpendicularmente al lado opuesto. para demostrar el teorema de pitágoras, trazaremos una altura desde el vértice donde se forma el ángulo recto, la cual cortará perpendicularmente a la hipotenusa.

de esa manera, hemos dividido nuestro triángulo original -de color verde- en dos triángulos yuxtapuestos -de colores rosa y azul-. estos dos triángulos tienen la particularidad de ser semejantes entre sí, y ser a su vez semejantes al triángulo original.

qué quiere decir que dos triángulos sean semejantes entre sí? quiere decir que sus lados guardan la misma proporción, como si fueran dos copias a diferente escala del mismo triángulo. eso implica que sus ángulos deberán ser iguales; pensadlo...

al trazar esa altura sobre el triángulo del que partíamos, hemos obtenido dos triángulos rectángulos. en el rosa, el ángulo α nos es conocido y no ha sido modificado al realizar la división. y como se trata de un triángulo rectángulo, el otro ángulo no-recto ha de ser β, complementario de α. análogamente, en el triángulo azul conocemos a priori el ángulo β, y como también es un triángulo rectángulo, el ángulo que nos falta por conocer debe ser su complementario, α.

ahora ya tenemos claro que los tres triángulos, el pequeño, el grande y la unión de ambos, son semejantes. por tanto, sus lados seguirán las mismas proporciones y podremos establecer una serie de reglas de tres con ellos.

primero, igualaremos la proporción entre el cateto menor y la hipotenusa para los triángulos rosa y azul con esa misma proporción para el triángulo verde. de esa manera podremos expresar las distancias que hemos llamado h y x en función de los lados a, b y c de nuestro triángulo original.

a continuación, igualaremos la proporción entre el cateto mayor y la hipotenusa para los triángulos rosa y azul. sustituiremos h y x por las expresiones que hemos obtenido en el paso anterior.

ya tenemos una igualdad en función de a, b y c, y tan sólo nos queda hacer unas sencillas operaciones y despejar. hemos llegado a donde queríamos: la suma de los cuadrados de los catetos (a²+b²) es igual al cuadrado de la hipotenusa (c²).

se ha descubierto que el teorema de pitágoras ya había sido formulado con anterioridad en la antigua india, por un matemático de nombre baudhayana que vivió alrededor del año 800 a.C. esto sirve como ejemplo de que las más antiguas manifestaciones científicas y culturales no provienen solamente de los pueblos de alrededor del mediterráneo.

siendo así, el teorema de pitágoras debería llamarse teorema de baudhayana. aunque creo que nos costaría acostumbrarnos... en cualquier caso, esto lo leí en un libro de historia de las matemáticas que me trajeron los reyes el año pasado. veremos qué tal se portan este año.

feliz noche de reyes para tod@s!!