un amigo mío del colegio, cuando estábamos en 2º de bup, me
contó una vez que existía una fórmula matemática que sólo conocía un número muy
reducido de personas en el mundo. sonaba muy misterioso... la fórmula en
cuestión decía así:
eπ·i+1=0
es decir: si al número de euler elevado al producto de pi
por la unidad imaginaria se le suma una unidad, el resultado es cero.
esta fórmula incluye los cinco números más importantes de
las matemáticas: 0, 1, i, e y π. así me lo explicó mi amigo, y en eso tenía
toda la razón. en cambio, en lo del secretismo que rodeaba a la fórmula de
marras, obviamente me tomó el pelo. :)
pero se lo perdono. era un chico con mucha personalidad, al
que admiraba y trataba de imitar. una vez fui a su casa porque teníamos que
hacer un trabajo en grupo, y a la habitación donde estudiaba la llamaba su
‘despacho’. lo decía de un modo que resultaba simpático.
la fórmula de la que me habló, en realidad es un caso
particular de otra fórmula más general, que relaciona las funciones exponenciales
con las senoidales.
las funciones senoidales -el seno, el coseno y sus opuestas-
son cíclicas, y siempre tienen la misma forma, sólo que están desplazadas
respecto al eje horizontal.
estas funciones se generan unas a otras por derivación. la
derivada del seno es el coseno; la derivada del coseno es la opuesta del seno;
la derivada de la opuesta del seno es la opuesta del coseno; y la derivada de
la opuesta del coseno vuelve a ser el seno, de donde habíamos partido. es
decir, las derivadas de las funciones senoidales siguen un patrón cíclico.
vamos a buscar una expresión en forma de polinomio de
infinitos términos para el seno y para el coseno, basándonos en el carácter recurrente de sus derivadas. mediante una demostración
similar a
la que hicimos para la función exponencial (que no la vamos a
reproducir esta vez porque es muy pesada), llegaremos a las siguientes
expresiones:
vemos que el seno sólo tiene términos de grado impar, y el
coseno sólo tiene términos de grado par. en ambos casos los coeficientes son
iguales a la unidad dividida entre el factorial del grado de cada término, con
signos alternados.
esto nos recuerda a la expresión polinómica de la
exponencial. de hecho da la sensación de que, si no fuera por los signos
alternados, podríamos obtener la exponencial por combinación del seno y el
coseno, verdad?
haremos una cosa: en el desarrollo polinómico de la
exponencial, sustituiremos la variable
x por
i·x, siendo
i la
unidad imaginaria.
debemos recordar que al elevar i a los sucesivos exponentes
enteros, seguirá un patrón cíclico -similar, por cierto, al que seguían las
derivadas de las funciones senoidales-. por definición, i2=–1, y a
partir de ahí se puede deducir el valor que tomará cualquier potencia de i.
desarrollamos la expresión de la exponencial de i·x.
separamos los términos reales y los términos imaginarios, y nos damos cuenta de
que la parte real coincide con la expresión que habíamos hallado para el
coseno, y la parte imaginaria es idéntica a la expresión para el seno.
así pues, hemos llegado a la fórmula que relaciona la
función exponencial con las funciones senoidales:
el número i es la raíz cuadrada de –1. sus implicaciones son
fascinantes, y una de ellas es la de relacionar cosas tan diferentes como la
función exponencial -que tiene un crecimiento constante y muy pronunciado a
partir de ciertos valores de la variable- y las funciones senoidales -que
son cíclicas y nunca se salen de un reducido intervalo de valores-.
en la fórmula general que hemos hallado, podemos darle a
x
el valor
π. sabemos que
π radianes equivalen a
180º, y por tanto su coseno
valdrá
–1 y su seno
0. operamos, pasando el
–1 al otro miembro con signo
+ para
darle mayor elegancia a la expresión y que aparezcan en ella los cinco números
fundamentales de las matemáticas.
así hemos llegado a la fórmula de la que hablábamos al
principio. la fórmula misteriosa que me enseñó mi amigo, y que años más tarde
descubrí cómo se podía llegar a ella. aunque no por ello deja de ser
misteriosa. e es igual a 2.71828182... π es igual a 3.14159265... i a saber lo
que es, no se puede expresar como un número real porque no lo es. el hecho de que e
elevado a π·i sea –1 no es lo más intuitivo del mundo, a fe mía. :P
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cambiamos de asunto.
ses, desde su ingenioso y divertido
blog, me ha pasado un par de cuestionarios, uno de ellos con premio incluido.
gracias por pensar en mí! procedo a responderlos.
El último libro que has leído.
mi libro de química de
cou. quería recordar algunas cosas...
¿Qué es lo que más odias de la gente?
que me hagan sentir
ridículo.
¿Sin qué dirías que no puedes vivir?
sin muchos de mis
libros y comics.
¿Recuerdas tu vida sin internet?
sí. en el colegio, ni
falta que me hacía. en la universidad, me habría distraído de estudiar.
¿Por qué empezaste a escribir un blog?
para contar cosas
que antes contaba en e-mails colectivos a mis amig@s y no me contestaba ni
rita.
Confiesa: tu mayor defecto.
soy demasiado susceptible a
veces.
No te gustaría morir sin haber...
viajado a inglaterra.
Imagina que tienes delante a la persona que más odias.
bueno,
era un jefecillo de departamento de estos que se creen que la empresa es suya,
y... mejor no sigo.
¿A qué dirías que eres adict@?
al cola cao, la mayoría
de las noches lo tomo.
¿A qué huelen las nubes?
no lo sé, pero supongo que no
son inodoras del todo. el agua de lluvia es ligeramente ácida.
vaya vaya, siete pecados capitales de la lectura! aquí hay
que pensar más... ;)
Avaricia: ¿Cuál es tu libro más caro? ¿Y el más barato?
tengo una recopilación en tres tomos de las obras completas
de freud. ya no me acuerdo de cuánto costaron porque hace muchos años, pero
cada tomo en promedio era caro, lo cual no es de extrañar porque son muy
extensos.
en un mercadillo encontré el gato mog de la colección ‘el barco de vapor’ a 3 euros, y estaba
en perfecto estado.
Ira: ¿Con qué autor tienes una relación amor-odio?
hace tiempo dediqué una entrada a espido freire, lo cual
significa que me gusta. pero la prefiero como ensayista que como novelista. algunas de sus
novelas son un poco crípticas.
Gula: ¿Qué libro te devoras una vez tras otra?
la máquina del tiempo
de h.g.wells, por mi gusto lo leería una vez al año mínimo.
Pereza: ¿Qué libro no has leído por flojera?
reconozco que no he llegado a leer el quijote entero, pero
creo que ahora sabría valorarlo más que cuando estaba en el colegio.
Orgullo: ¿De qué libro hablas para sonar intelectual?
me gusta decir que he leído parte de las obras de freud,
pero no por sonar intelectual, sino porque me interesan los temas que trataba:
los sueños, el subconsciente, la somatización...
Lujuria: ¿Qué encuentras atractivo en los personajes
femeninos o masculinos?
la introversión, el misterio de qué es lo que pasa por sus
mentes.
Envidia: ¿Qué libro te gustaría recibir como regalo?
todos me hacen ilusión, como los que he recibido en el amigo
invisible del día del libro. gracias, remi y sonia!!
os paso estos ‘retos’ a
anele, a
merchi y a
elanor-arien. sólo
si os apetece, y además tampoco hay que contestarlo todo. ;)
