interés

lo que os voy a contar es un supuesto que viene en muchos libros de matemáticas, aunque yo le he dado mi toque personal...

al recibir un préstamo por un importe C₀, al final de la vida del mismo hay que devolver dicho importe más los intereses. el valor de los intereses será igual al producto del montante inicial por el tipo de interés: C₀·i. por tanto, el montante final a devolver será igual a la suma de C₀ y C₀·i, es decir, C₀·(1+i).

el tiempo durante el cual disponemos del préstamo se puede dividir en n períodos. por ejemplo, un año se puede dividir en 12 meses, en 4 trimestres, o de cualquier otra manera.

se puede calcular la cantidad que debemos al final de cada período, aunque no tengamos que pagar hasta el final de la vida del préstamo. a estas cantidades las llamaremos C₁, C₂, C₃,... hasta C_n, siendo n el número de períodos.

en capitalización simple, el tipo de interés de cada período es igual al tipo de interés durante la vida del préstamo dividido entre el número de períodos: i_n=i/n. se puede comprobar que el montante final será C₀·(1+i), como cabía esperar.

en capitalización compuesta, los intereses acumulados en cada período se incorporan al montante, y sobre el total de capital más intereses se calcularán los nuevos intereses en sucesivos períodos.

el interés de cada período se calcula a través de esta ecuación: (1+i_n)ⁿ=(1+i). despejando, i_n=(1+i)^1/n–1. el interés del período en capitalización compuesta será siempre menor que el correspondiente en capitalización simple, como se puede observar en la siguiente tabla comparativa. los valores se han calculado para un tipo de interés unitario.

    n---cap.simple---cap.compuesta

 1---1.00000000---1.00000000

 2---0.50000000---0.41421356

 3---0.33333333---0.25992105

 4---0.25000000---0.18920712

 5---0.20000000---0.14869836

 6---0.16666667---0.12246205

 7---0.14285714---0.10408951

 8---0.12500000---0.09050773

 9---0.11111111---0.08008974

10---0.10000000---0.07177356

sin embargo, el montante final será C₀·(1+i_n)ⁿ, que por lo que explicábamos antes es igual a C₀·(1+i). como vemos, no depende del número de períodos en que dividamos la vida del préstamo.

imaginemos a un prestamista tan usurero que aplica lo peor de las dos clases de capitalización: en cada período aplica el tipo de interés de la capitalización simple, pero al mismo tiempo los intereses se van incorporando al montante, como en capitalización compuesta.

no contento con esto, divide la vida del préstamo en el máximo número de períodos, de tal manera que se generen intereses a cada segundo si hace falta.

el montante acumulado tras cada período según el método de este usurero se calcularía como se indica. observamos que esta vez el montante final sí depende del número de períodos. por eso en principio le convendrá, como decíamos, subdividir la vida del préstamo tanto como sea posible.

para simplificar, supongamos que el importe del préstamo es de 1 unidad monetaria (podemos hablar de miles de euros o lo que queramos) y que el tipo de interés aplicado es del 100%: por cada euro prestado tendré que devolver ese euro y otro más. así pues, el montante final será igual a (1+1/n)ⁿ. el techo que puede alcanzar esa cantidad estará determinado por el límite de la citada expresión cuando n tiende a infinito.

nuestro usurero se pone a calcular a cuánto asciende el montante final según aumenta el número de períodos en los cuales se van generando intereses.

    n---montante final

1---2.00000000

2---2.25000000

3---2.37037037

4---2.44140625

5---2.48832000

6---2.52162637

7---2.54649970

8---2.56578451

9---2.58117479

como se está incrementando de manera muy lenta, decide contar el número de períodos de diez en diez.

10---2.59374246

20---2.65329771

30---2.67431878

40---2.68506384

50---2.69158803

60---2.69597014

70---2.69911637

80---2.70148494

90---2.70333246

esto no termina de despegar, piensa. ahora pasa a contar de cien en cien.

100---2.70481383

200---2.71151712

300---2.71376516

400---2.71489174

500---2.71556852

600---2.71602005

700---2.71634274

800---2.71658485

900---2.71677321

el hombre está totalmente desconcertado. ahora cuenta de mil en mil, pero ya se ha dado cuenta de que va a ser inútil.

 1000---2.71692393

 2000---2.71760257

 3000---2.71782889

 4000---2.71794212

 5000---2.71801005

 6000---2.71805554

 7000---2.71808764

 8000---2.71811196

 9000---2.71813080

10000---2.71814593

nuestro prestamista pensaba que iba a hacerse rico, pero por mucho que subdivide la vida del préstamo hasta la milésima de segundo, su ganancia no supera en una gran cantidad la que habría conseguido aplicando capitalización simple o compuesta. el montante final se acerca asintóticamente a una cantidad que viene a ser 2.718...

no nos resulta familiar este número? pues sí, se trata del número e, del que hablé dos entradas más abajo.

así pues, el límite cuando n tiende a infinito de (1+1/n)ⁿ es el número e, y este supuesto de matemáticas financieras así lo ilustra.

por cierto, todas las cantidades las he calculado una por una con mi calculadora y las he transcrito manualmente, con objeto de que se apreciara el lento crecimiento de esta expresión según aumentábamos n. puede haberse colado más de una cifra errónea en el proceso. si queréis, podéis calcularlas todas y comprobarlas, aunque algo me dice que no os atrae mucho esa idea y preferís confiar en que están bien. :D

michael ende

momo y la historia interminable son las dos novelas más celebres del escritor alemán michael ende. la primera se publicó en 1973, y la segunda un 1979. ambas han tenido adaptaciones cinematográficas.

las dos me gustan, pero debo reconocer que yo soy más de momo. la leí por primera vez con catorce años, y como suele ocurrir con las cosas que se descubrieron en la adolescencia, se me quedó muy grabada. al releerla me siento como en casa, yo me entiendo...

en cambio, la historia interminable la leí ya en edad adulta, y además es más extensa y con una trama mucho más complicada que momo. por eso necesitaré muchas más lecturas hasta familiarizarme del todo con ella.

momo y la historia interminable reflejan para mí lo conocido y lo que está por conocer. releer momo para mí es revisitarla, revivir viejos y buenos recuerdos. en cambio, releer la historia interminable supone el reto de comprenderla un poco mejor. es una historia autocontenida en sí misma, y esa clase de tautologías siempre me parecen interesantes de analizar.

ambas novelas tienen en común el transportarte a mundos fantásticos y el hacerte pensar sobre el significado del tiempo. las paradojas temporales están muy presentes.

habéis leído momo o la historia interminable, o habéis visto alguna de sus películas? con cuál de las dos obras os identificáis más?

número de euler

tenía pendiente hablar del número e, también llamado número de euler. es tan importante en las matemáticas -y en definitiva en la naturaleza- como π o como el número áureo.

para ello hay que recordar el concepto de derivada. la derivada de una función es otra función que viene a representar su variación en cada punto, su pendiente.

el crecimiento de una función entre dos puntos viene representado por el cociente entre la diferencia de ordenadas y la diferencia de abscisas. si la diferencia de abscisas la reducimos a un valor infinitesimal Δx, la derivada será por definición el límite cuando Δx tiende a 0 de la diferencia entre los valores que toma la función en x y en x+Δx dividida entre la longitud del intervalo, Δx.

existe alguna función para la cual su derivada sea igual en todos los puntos a la propia función? la respuesta es afirmativa. y sabemos que esa función va a ser una exponencial del tipo k^x, siendo k un número constante y x la variable.

cuando aplicamos la definición de derivada a una función de este tipo, y sabiendo que el producto de potencias de la misma base es igual a la suma de exponentes, obtenemos que la derivada es igual a un cierto límite cuando Δx tiende a 0 -que será una constante-, multiplicado por la función inicial k^x.

la derivada de una función exponencial, por tanto, es igual a una constante multiplicada por esa función exponencial. la constante es un límite que depende de k, la base de la exponencial. podemos suponer que existirá un valor de la base para el cual el valor de la constante C será 1, y por tanto la derivada de la función será igual a la propia función.

llamaremos a esa función que buscamos e^x. e es un número que sabemos que existe, pero aún no conocemos su valor.

toda función puede aproximarse mediante una serie polinómica infinita del tipo a₀+a₁·x+a₂·x²+a₃·x³+... los coeficientes a_n, o bien tendrán signos alternados -unos suman y otros restan-, o bien, en caso de que sean todos del mismo signo, tendrán valores decrecientes según avanza el grado del polinomio. de otro modo, se nos dispararía hasta el infinito.

tomamos un polinomio de esa forma y lo derivamos. recordemos que la derivada de una función monómica del tipo xⁿ es igual a la base elevada al exponente menos una unidad, multiplicada por el exponente.

a continuación, obligamos a que la derivada de nuestro polinomio sea igual al propio polinomio inicial. para cada grado de la variable x, el coeficiente del primer polinomio debe ser igual al del segundo polinomio. observar en el escaneado anterior las flechas que indican cómo deben corresponderse los coeficientes.

llegados a este punto, hay que recordar el concepto de factorial. el factorial de un número entero es igual al producto de dicho número por todos los anteriores hasta llegar al 1 (o al 2, según cómo se mire, porque multiplicar por 1 no tiene ningún efecto). el factorial de un número n se representa por n seguido de un signo de exclamación, n! (no sé a quién se le ocurrió eso), y será igual a n·(n-1)·(n-2)·...·3·2·1.

hemos llegado a la conclusión de que cada coeficiente de nuestro polinomio se puede expresar en función del término independiente, el coeficiente de grado 0. el coeficiente de grado genérico n, a_n,será igual a a₀ dividido entre el factorial de n.

pero, cuánto vale a₀? a₀ será el valor del polinomio en x=0. excepto el término independiente, todos los demás se anularán. recordemos que la función que estamos aproximando mediante el polinomio es una exponencial: e^x. valga lo que valga e, la exponencial en x=0 será igual a 1, pues cualquier número distinto de cero elevado a 0 es igual a la unidad. por tanto, a₀ será igual a 1.

así pues, podemos decir que el coeficiente de grado n de nuestro polinomio será igual a 1 dividido entre el factorial de n.

y ahora llegamos al momento de la verdad: cuánto vale el número e? e es la base de la exponencial, por lo que tendrá el valor que ésta tome en x=1. para calcular ese valor, sustituiremos en nuestro polinomio x por 1.

por tanto, e será igual al valor que toma en el límite la suma de la serie 1+(1/1!)+(1/2!)+(1/3!)+... el número e, con una aproximación suficiente, será igual a 2.718281828459...

hoy me he levantado con ganas de números, porque con los números me siento como pez en el agua. no en vano los reyes me han traído un libro de historia de las matemáticas. además, un pack de los programas de gaby, fofó y miliki para recordar la infancia -este regalo es para todos los de casa, realmente-, y una caja recopilatoria de christina rosenvinge.

el otro día me hice esta autofoto en la que, según me dijeron, tenía cara de bueno. va a ser por eso que los reyes se han portado bien. :)