lo que os voy a contar es un supuesto que viene en muchos libros de matemáticas, aunque yo le he dado mi toque personal...
al recibir un préstamo por un importe C0, al
final de la vida del mismo hay que devolver dicho importe más los intereses. el
valor de los intereses será igual al producto del montante inicial por el tipo
de interés: C0·i. por tanto, el montante final a devolver será igual
a la suma de C0 y C0·i, es decir, C0·(1+i).
el tiempo durante el cual disponemos del préstamo se puede
dividir en n períodos. por ejemplo, un año se puede dividir en 12 meses, en 4
trimestres, o de cualquier otra manera.
se puede calcular la cantidad que debemos al final de cada
período, aunque no tengamos que pagar hasta el final de la vida del préstamo. a
estas cantidades las llamaremos C1, C2, C3,...
hasta Cn, siendo n el número de períodos.
en capitalización simple, el tipo de interés de cada período
es igual al tipo de interés durante la vida del préstamo dividido entre el
número de períodos: in=i/n. se puede comprobar que el montante final
será C0·(1+i), como cabía esperar.
en capitalización compuesta, los intereses acumulados en
cada período se incorporan al montante, y sobre el total de capital más
intereses se calcularán los nuevos intereses en sucesivos períodos.
el interés de cada período se calcula a través de esta
ecuación: (1+in)n=(1+i). despejando, in=(1+i)1/n–1.
el interés del período en capitalización compuesta será siempre menor que el
correspondiente en capitalización simple, como se puede observar en la
siguiente tabla comparativa. los valores se han calculado para un tipo de
interés unitario.
n---cap.simple---cap.compuesta
1---1.00000000---1.00000000
2---0.50000000---0.41421356
3---0.33333333---0.25992105
4---0.25000000---0.18920712
5---0.20000000---0.14869836
6---0.16666667---0.12246205
7---0.14285714---0.10408951
8---0.12500000---0.09050773
9---0.11111111---0.08008974
10---0.10000000---0.07177356
sin embargo, el montante
final será C0·(1+in)n, que por lo que
explicábamos antes es igual a C0·(1+i). como vemos, no depende del número de períodos en que dividamos la vida del préstamo.
imaginemos a un prestamista tan usurero que aplica lo peor
de las dos clases de capitalización: en cada período aplica el tipo de interés
de la capitalización simple, pero al mismo tiempo los intereses se van
incorporando al montante, como en capitalización compuesta.
no contento con esto, divide la vida del préstamo en el
máximo número de períodos, de tal manera que se generen intereses a cada
segundo si hace falta.
el montante acumulado tras cada período según el método de este
usurero se calcularía como se indica. observamos que esta vez el montante final
sí depende del número de períodos. por eso en principio le convendrá, como
decíamos, subdividir la vida del préstamo tanto como sea posible.
para simplificar, supongamos que el importe del préstamo es
de 1 unidad monetaria (podemos hablar de miles de euros o lo que queramos) y
que el tipo de interés aplicado es del 100%: por cada euro prestado tendré
que devolver ese euro y otro más. así pues, el montante final será igual a
(1+1/n)n. el techo que puede alcanzar esa cantidad estará
determinado por el límite de la citada expresión cuando n tiende a infinito.
nuestro usurero se pone a calcular a cuánto asciende el
montante final según aumenta el número de períodos en los cuales se van
generando intereses.
n---montante final
1---2.00000000
2---2.25000000
3---2.37037037
4---2.44140625
5---2.48832000
6---2.52162637
7---2.54649970
8---2.56578451
9---2.58117479
como se está incrementando de manera muy lenta, decide contar el número de períodos de diez
en diez.
10---2.59374246
20---2.65329771
30---2.67431878
40---2.68506384
50---2.69158803
60---2.69597014
70---2.69911637
80---2.70148494
90---2.70333246
esto no termina de despegar, piensa. ahora pasa a contar de
cien en cien.
100---2.70481383
200---2.71151712
300---2.71376516
400---2.71489174
500---2.71556852
600---2.71602005
700---2.71634274
800---2.71658485
900---2.71677321
el hombre está totalmente desconcertado. ahora cuenta de mil en mil,
pero ya se ha dado cuenta de que va a ser inútil.
1000---2.71692393
2000---2.71760257
3000---2.71782889
4000---2.71794212
5000---2.71801005
6000---2.71805554
7000---2.71808764
8000---2.71811196
9000---2.71813080
10000---2.71814593
nuestro prestamista pensaba que iba a hacerse rico, pero por
mucho que subdivide la vida del préstamo hasta la milésima de segundo, su
ganancia no supera en una gran cantidad la que habría
conseguido aplicando capitalización simple o compuesta. el montante final se
acerca asintóticamente a una cantidad que viene a ser 2.718...
no nos resulta familiar este número? pues sí, se trata del
número e, del que hablé dos entradas más abajo.
así pues, el límite cuando n tiende a infinito de (1+1/n)n
es el número e, y este supuesto de matemáticas financieras así lo ilustra.
por cierto, todas las cantidades las he calculado una por una con mi
calculadora y las he transcrito manualmente, con objeto de que se apreciara el
lento crecimiento de esta expresión según aumentábamos n. puede haberse colado más de una cifra
errónea en el proceso. si queréis, podéis calcularlas todas y comprobarlas,
aunque algo me dice que no os atrae mucho esa idea y preferís confiar en que
están bien. :D
Que arte tienes...hasta para contar algo tan serio como pedir un préstamo, jejeje...y si no voy a comprobar si están los calculos bien, me fio de ti que para eso eres el matemático.
ResponderEliminarBesossssss.
Buenas noches Chema, a mi me gustan las matématicas comerciales, pero aún así confiaré en tí, seguro que están perfectas ¿o no? ahora me está entrando el gusanillo...
ResponderEliminarComo he llegado tarde a la entrada de las derivadas, pues te la comento aquí con tu permiso, se me dieron muy bién, hasta me divertí con ellas gracias al "profe" que era tremendo (no que estaba tremendo, que si lo hubiera estado entonces ya... ni te cuento)aunque no lo necesitaba, era un cachondo mental, iba a sus clases con la incógnita de qué sería lo proximo que se le ocurriría.
Y sí que tienes cara de bueno, y como dicen que el rostro es el espejo del alma... pues tú, una joya.
Un beso.
¡¡Me ha faltado la imagen del tío Gilito!!
ResponderEliminarEl resto, aunque lo explicas fenomenal, me he lo he perdido. No tengo remedio
Confío plenamente en tus números, lo que no me gusta son los resultados. Voy a llorar, que estoy a punto de hacer una hipoteca!!!!
ResponderEliminarYo confío en ti sin el menor género de dudas. Parece que nos leas el pensamiento, porque ultimamente ando yo a vueltas sobre financieras, tipos de interés fijo, variable, y el largo etc que implican estas cuestiones. Con lo que me gusta a mi pagar al contado y no deber un duro, me quita el sueño, no te digo más. Y verlo así, en plan forense como lo has desgranado tu... Buuuuuaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!!!! Snif,snif...
ResponderEliminarBesos!!
Soy una soñadora empedernida y a veces es un serio problema...lo pasó muy mal en el mundo real y este es uno de los motivos por los que tengo mi blog, porque me permite soñar sin límite .
ResponderEliminarLeí Momo y La Historia Interminable hace ya tiempo y no sabría decirte cual de los dos me gustó más,me quedo con los dos,son libros que todos los adultos deberían de haber leído.
¡Me fascinan tus cálculos matemáticos!
Confio totalmente en ti y en tus cálculos XDDDD. Me encanta la viñeta del principio ¡que careto! jajajajaj
ResponderEliminarelanor, al leer esta historia me imaginaba al tío cabreado porque por mucho que hiciera cada vez más pequeño el período en el que se generaban intereses, su ganancia no aumentaba por encima de cierto límite ni a tiros. y así lo he enfocado, para hacerlo más ameno, jeje.
ResponderEliminararien, al menos he visto que no hay ningún error conceptual, como por ejemplo que uno de los valores de esa serie sea menor que el anterior (crece despacio, pero siempre crece). a los profesores que hacen las asignaturas amenas siempre se les recuerda. lo de las derivadas hay que explicarlo muy bien, porque es algo muy nuevo respecto a todo lo que se da anteriormente. gracias por el piropo!! :)
inma, pues ahora que lo dices... son muy divertidas las historias del tío gilito y sus sobrinos. tengo algunas en libros de disney antiguos. puse, eso sí, una viñeta de un vejete como el avaro de molière.
ses, ánimo con la hipoteca, espero que no te dé problemas. cuando veía los problemas de préstamos en matemáticas financieras, y cómo a cada período había que devolver una cantidad considerable, pensaba: en la realidad, quién te asegura que puedas devolverlo?
blas, es verdad, si pagas al contado tu tesorería disminuye pero no tienes una deuda en el pasivo acuciándote. otra cosa que aprendí es que el tipo de interés efectivo es superior al nominal, porque el tipo efectivo incluye las comisiones y otros gastos que incluyen los créditos. sí, esas cosas quitan el sueño... los bancos no son mejores que el usurero del que hablo en esta entrada.
ResponderEliminarprincesa nadie, bien que haces, soñar nadie nos lo puede quitar. las dos novelas de michael ende del anterior post, a ti te tienen que haber gustado mucho, no me sorprende. me alegro de que te gusten mis posts sobre números. :) de economía y matemáticas financieras no había hecho muchos... por variar un poco.
geno, la viñeta es de una historieta de superlópez. el estilo de jan es reconocible. por cierto, un día tengo que dedicarle un post a superlópez, que es uno de los personajes de tebeo que conozco desde la infancia, y he utilizado un montón de viñetas suyas para el blog. :D
¿Comprobar si la cifra está bien? Quita,quita.Prefiero fiarme del experto.
ResponderEliminarHuy, yo, como me fío también de tí, ¿para qué hacer las cuentas, que encima se me dan fatal? jajajaja... Es curioso todo lo que has puesto. La verdad es que creo que deberían darnos finanzas en el colegio para luego entender los tejemanejes de los bancos, ¿no crees? Creo que alguien me dijo que en Finlandia era una asignatura obligatoria desde la primaria, pero no me hagas mucho caso que no lo recuerdo bien. Un besito, Chema.
ResponderEliminargen, es que hacer esos cálculos es de lo más tedioso, te lo garantizo. :D en realidad me pasó lo que al usurero protagonista: veía que crecía de manera muy lenta (sabía que tenía que converger al número e, pero no acababa de ser reconocible), y me puse a calcular aumentando la n de diez en diez, luego de cien en cien...
ResponderEliminarmerchi, sí que se debería dar algo de matemáticas financieras y de economía en el colegio. yo hice la opción de ciencias puras en 3º de bup y la científico-tecnológica en cou, y no di nada de eso. pero curiosamente sí lo di en el segundo ciclo de la carrera. yo soy ingeniero industrial de la especialidad de organización, que es la menos técnica y más orientada a la empresa.
besos!
Te veo muy puesto en finanzas, Chema. Yo me pierdo irremisiblemente.... así que mejor no jugar a inversora.
ResponderEliminarAy Chema, el interés no tiene límites, amigo. Bss
ResponderEliminarHale!! Yo di esos problemas en una asignatura que se llamaba Matemáticas financieras, la verdad es que me encantaban, se me daban más que bien, recuerdo que saqué un 9 de media en la asignatura, ahora bien... la de horas de estudio que le empleé para mí se quedan, un montón de fórmulas de Capital que me tuve que aprender... en fin, ya pasó... jeje
ResponderEliminarNo me he enterado de nada chema (siempre he sido un zoquete) jeje pero entro a saludarte :) hola!! besitos!!
ResponderEliminarNo me he enterado de nada Chema :) siempre he sido muy zoquete para los numeros jeje pero te saludo! Besitoss!
ResponderEliminaranele, yo tengo algunas nociones, pero no te creas, tampoco me dedicaría a invertir. en una historia de superlópez titulada 'hipotecarión', un agente explicaba algo así como: "hay un conjunto de comisiones de apertura y otros gastos, pero los metemos en la t.a.e. y no se notan nada!". pues eso, las nociones que tengo me dan para escuchar afirmaciones de ese tipo y saber de qué me están hablando. :D
ResponderEliminarcari, el prestar dinero podría ser un honrado negocio como otro cualquiera. yo te presto dinero y luego cuando hayas invertido y obtenido beneficios, me lo devuelves con un cierto interés, porque yo también tengo que comer. pero en la vida real, los préstamos de los bancos tienen condiciones mucho más difíciles, te lo quitan todo si no cumples, y dudo mucho de que vayan a quebrar debido a tu impago.
maría, eso está muy bien. si se te dio bien cuando lo estudiaste, a poco que lo repases cuando necesites utilizarlo, lo recordarás fácilmente de nuevo. :) hay cosas como la fórmula del préstamo francés, que se pueden deducir haciendo la gráfica e igualando capitales al principio y al final, pero es un rollo. mejor tener las fórmulas a mano, jeje.
bego, gracias por pasarte, esta es tu casa! :) seguro que se te dan mejor de lo que crees, y si te explicara cualquier cosa de estas de viva voz, las entenderías bien. por cierto, estoy leyendo el libraco de curiosidades matemáticas que me regalaron por reyes, y cuántas cosas hay que yo no he estudiado en el colegio ni en la carrera, madre mía. :)
besos!!
Pues sí, Chema. Yo confío totalmente en ti.
ResponderEliminarUna entrada muy interesante, sobre todo para que los de letras recordemos cosillas de hace tannnnto tiempo.
shirat, las matemáticas financieras sí son exactas y sistemáticas (otra cosa es que te quieran engañar). pero si nos metemos en profundidad en la economía, ahí la incertidumbre es total. un día hablaré en un post de la asignatura de economía que tuve en 4º de carrera, con un profesor muy peculiar.
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