espirales

siempre me han gustado las espirales en los cómics para denotar que alguien corre muy rápido. era un recurso muy característico de escobar, dibujante de zipi y zape, carpanta, petra y muchos otros personajes.

hoy estaba pensando en la espiral de fermat. en los libros de matemáticas, su ecuación en coordenadas polares se expresa como:

r = ±√θ

es decir, la longitud del radio vector que une cada punto de la espiral con el origen es igual a la raíz cuadrada del ángulo -en radianes- que dicho radio forma con el eje horizontal.

aparentemente hay dos soluciones, la positiva y la negativa. esto me desconcertaba, porque el radio vector en coordenadas polares es positivo por definición -o nulo en el peor de los casos-. es una longitud!

se trata de dos espirales complementarias, que como veréis más abajo, están trazadas en azul y en rosa. las vamos a redefinir de esta manera:

r = √θ

r = √(θ-π)

la espiral azul se iniciaría en el ángulo θ=0, y la espiral rosa en θ=π (180º), avanzando ambas en sentido antihorario.

marcamos los ángulos principales: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º y sus análogos en los otros tres cuadrantes. para pasar esos ángulos a radianes, se multiplica por el factor de conversión π/180. con ayuda de la calculadora, se obtiene la raíz cuadrada de cada uno de esos ángulos, lo cual nos da la longitud del correspondiente radio. midiendo cada longitud con la regla, vamos marcando puntos.

con dos vueltas de circunferencia -hasta 720º- es suficiente para que se aprecie el aspecto de nuestra espiral. aquí tenéis el dibujo a lápiz y con todas las líneas auxiliares.

y aquí ya pasado a tinta y borrando las líneas auxiliares. me ha quedado un poco regular, no es fácil trazar líneas curvas a mano alzada. ;)

a veces dos personas se complementan tan bien como las dos espirales de fermat, la azul y la rosa. me ha dado la idea para esta entrada una amiga especial, una chica de 10. :*

agua en movimiento

 

desde hace un tiempo, tengo cierta fijación por las fuentes. hoy después de comer me he acercado al retiro para fotografiar algunas de las fuentes que hay en este famoso parque.

esta fuente de forma elíptica, entrando por la plaza de la independencia, ya os la he mostrado en otras ocasiones. si observáis la dirección del chorro, podréis adivinar por dónde soplaba el viento.

 

fuente de las sirenas. ésta la había visitado menos, pero es muy bonita. y parece que a las palomas también les gusta, se han reunido aquí.

fuente de los galápagos -animales similares a las tortugas-. tiene cuatro galápagos de piedra, por cuyas bocas salen chorros de agua.

estanque del retiro, el grande, el de las barcas. obviamente aquí hay mucha agua, pero en calma y estática. al otro lado hay una especie de arroyo que desemboca en el estanque, pero no me convencía mucho para fotografiarlo.

fuente de la alcachofa. como veis, en las fuentes circulares os muestro en detalle el monumento central. en unas me he acercado más y en otras menos, y eso me ha causado algo de desasosiego porque debería haber mantenido el mismo criterio con todas. cosas mías. ;)

fuente del ángel caído. su contorno interior es octogonal. sobre esta fuente hice un vídeo que lo habréis visto si me sufrís en las redes sociales o en cierto foro naranja. :D

y llegamos a lo más bonito, el estanque que hay frente al palacio de cristal. en el centro hay un surtidor del que brota un gran chorro vertical de agua.

si damos una vuelta alrededor del estanque, encontramos una pequeña cueva. vamos a esperar un poco para entrar cuando no haya nadie, es un lugar que atrae mucho a la gente.

y no es extraño que todo el mundo quiera hacerse fotos aquí. qué maravilla de cascada...

desde fuera, con el ángulo adecuado para que se vea lo mejor posible y haciendo zoom.

ya sólo falta ver la parte superior, de donde brota el agua de la cascada. en foto no se apreciaba bien, así que he grabado un vídeo con el móvil.

una amiga especial me decía no hace mucho: “mis ojos son estanques, fuentes y cascadas”. además de ser un símil realmente bonito, me gustó cómo estaban en orden creciente de menor a mayor movimiento del agua.

otr@s, en cambio, tenemos un bloqueo lacrimal desde hace muchos años. quizá algún día se rompa la racha y brote líquido de la fuente, y esperemos que sea de alegría. :)

viaje soñado (2)

 

bien, aquí está la continuación del relato que publiqué la semana pasada. en esta ocasión, de las fotos que nos dio a elegir ginebra, me gustó la de la chica con el cuerpo flexible.

por cierto, gin, te mando un gran abrazo desde aquí. :*

me ha salido más largo y con más diálogos que el anterior. espero que os guste. :)

Al día siguiente, Irene y yo volvimos a quedar para pasear por la playa.

En un momento dado, ella me dijo:

–Chema, hace tiempo abriste en el foro un hilo sobre los dones y talentos de cada uno. Ahora que estamos charlando en persona, podríamos desarrollar ese tema un poco más.

–Oh, pues en mi caso poco podría aportar –respondí–. Aparte de descomponer números en factores primos mentalmente, poco más se me da bien de verdad... Bueno, sí, en yoga aguantaba mucho tiempo en una postura que la profesora llamaba ‘caminar sobre la pared’.

–¡Vaya! A mí también me gustaban las posturas de inversión de yoga –respondió Irene–. Creo que podría intentar hacer la postura sobre la cabeza, a ver si no he perdido práctica...

Mi amiga se tendió en la arena, cruzó los brazos detrás de la cabeza y curvó la espalda. A continuación, se irguió sin apenas esfuerzo.

–Irene, me acabas de demostrar que, además de saber escribir historias, tu don es la flexibilidad y la fortaleza corporal. ¿Me dejas que te haga una foto?

–Vale, pero ¡hazla rápido! Que tengo aguante en esta postura, pero hasta cierto punto –respondió riendo.

Disparé y, unos segundos más tarde, bajó una pierna y luego la otra. Tenía algo de rubor en el rostro, pero sonreía de manera traviesa. Algo estaba tramando.

–Chema, ¿comprobamos ahora cuánto aguantas tú?

–Oh, pues... Estoy un poco desentrenado... ¡Bueno, venga, vamos a intentarlo!

Me costó menos de lo que me imaginaba. Las posturas de yoga son como montar en bicicleta, no se olvidan.

Cuando conseguí erguirme del todo, noté que algo me rozaba las plantas de los pies.

–¿Tienes cosquillas, querido Chema? –oí desde abajo, pues no hay que olvidar que mi cabeza estaba en el suelo.

–¡Pero bueno! ¡Esto no es jugar limpio, jajaja!

–¡Ya sabes, en el amor y en la guerra todo está permitido! –respondió ella.

Cuando deshice la postura, le dije jadeando:

–Vale, en esta ocasión me has hecho cosquillas en los pinreles, pero te confesaré una cosa. Tú siempre me haces cosquillas... pero un tipo especial de cosquillas... –y de repente me dio pudor terminar la frase.

–¿En el alma, quieres decir? ¿Te hago cosquillas en el alma, tal vez...? –me ayudó ella, entre emocionada y traviesa.

–Sí, eso justamente. ¡Vaya, Irene! Además de saber escribir, también tienes el don de leer las emociones –respondí, mirándola de reojo con sonrisa boba.

–¡Ayy, qué intensito te pones! –exclamó entre risas–. Pero algo de razón tienes. Creo que tú y yo vamos a escribir un cuento de hadas a cuatro manos, y ya te digo desde ahora que tendrá final feliz. ¿Qué tal si vamos a mi casa? Te puedo enseñar los libros que tengo en mi habitación, de donde saco las citas que comparto en el foro.

El cuento de la bella escritora y el excéntrico matemático no había hecho más que empezar...

viaje soñado (1)

 

el reto de nuestra amiga ginebra para los meses de julio y agosto, tenía como tema la fotografía.

a finales de julio escribí la primera parte, que comparto con vosotros en esta entrada. durante la semana siguiente escribiré la segunda parte, que todavía no sé dónde me llevará. se admiten sugerencias. ;)

Logré convencer a mi familia de que necesitaba unas vacaciones. Ellos podían arreglarse durante unos días en mi ausencia.

Tras un viaje en tren que se me hizo corto -entre leer, escuchar música, mirar por la ventanilla y observar a otros viajeros-, llegué a Cádiz. Como la estación no estaba demasiado lejos del hotel, decidí ir andando. Me serviría para estirar un poco las piernas.

Me di una ducha y bajé al comedor, eran las dos del mediodía y aún estaba a tiempo. Mientras comía, sonó mi móvil: era un whatsapp de Irene, me proponía quedar esa misma tarde. Para los que somos algo tímidos, qué gusto da tener amigas que tomen la iniciativa. Acepté sin dudarlo.

Quedamos a las cinco. Fuimos caminando hacia la playa de la Caleta. Nos descalzamos, aunque es un decir, porque ambos llevábamos chanclas de V, las más abiertas que hay. Mientras paseábamos por la orilla, se me ocurrió una idea.

–Irene ¿y si te saco una foto para luego hacerte un retrato? Ya sabes que he empezado un curso de dibujo y me viene bien practicar.

A ella le gustó la idea. Adoptó una pose soñadora, con los ojos cerrados. Me pareció que así estaba guapísima, así que disparé.

–Cuando cerramos los ojos, mejora nuestra propiocepción. Nos podemos centrar más en otras sensaciones que no sean visuales –me explicó.

Continuamos paseando y hablando sobre muchas cosas: libros, psicología, música, anécdotas de un foro donde nos habíamos conocido...

Al atardecer, decidimos regresar. Irene, como yo, también tenía personas a su cargo. Era una de nuestras muchas cosas en común.

Al llegar a la esquina donde ella continuaría hacia su casa y yo hacia el hotel, le pregunté en tono travieso:

–Bueno, ¿cómo nos despedimos? ¿Nos damos un abrazo, dos besos, o tres...?

–Lo que tú prefieras, Chema, pero en cualquiera de los casos tendremos que cerrar los ojos. ¡La propiocepción, recuerda! –respondió riendo.

tablas

 

no, no vamos a hablar de este tipo de tablas, sino de las tablas de multiplicar. ;)

hay muchos números entre 1 y 100 que no aparecen en las tablas que aprendíamos en el colegio. eso es porque no se pueden expresar como un producto de dos números comprendidos entre 1 y 10.

en principio, los números que figuran en las tablas de multiplicar serían las combinaciones de 10 elementos tomados de 2 en 2. recordemos que el orden de los factores no altera el producto.

C₁₀² = 10!/2!·(10-2)! = 45

a esas 45 combinaciones hay que sumarles 10, que son cada uno de los números del 1 al 10 multiplicados por sí mismos. 45+10 = 55

pero cuidado, porque ahora tenemos que restar aquellos números que se pueden expresar como dos multiplicaciones diferentes, para no duplicarlos. son un total de trece, veámoslo:

4 puede ser 1·4 y 2·2

6 puede ser 1·6 y 2·3

8 puede ser 1·8 y 2·4

9 puede ser 1·9 y 3·3

10 puede ser 1·10 y 2·5

12 puede ser 2·6 y 3·4

16 puede ser 2·8 y 4·4

18 puede ser 2·9 y 3·6

20 puede ser 2·10 y 4·5

24 puede ser 3·8 y 4·6

30 puede ser 3·10 y 5·6

36 puede ser 4·9 y 6·6

40 puede ser 4·10 y 5·8

por tanto, a los 55 números que hipotéticamente aparecerían en las tablas de multiplicar, habrá que restarles esos 13 que están duplicados. 55-13 = 42

y efectivamente, los números que figuran en las tablas son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 49, 50, 54, 56, 60, 63, 64, 70, 72, 80, 81, 90, 100

en total cuarenta y dos números, lo hemos hecho bien.

en esta tabla que he hecho a mano, he puesto un tick verde a los números sólo la primera vez que aparecen. por debajo de la diagonal que marca los productos de cada número consigo mismo, todos van a estar repetidos.

estoy convencido de que las matemáticas tienen su lado poético y romántico. y no lo digo yo, lo dice rosa montero! en ‘los tiempos del odio’ -tercera parte de la trilogía de bruna husky-, uno de los personajes hace esta reflexión:

¿Sabéis que hay números amigos? ¡Son tan bellos! Cuando un número es amigo de otro, es porque todas las cifras por las que es divisible, al sumarlas, dan el otro número. ¿Os dais cuenta? Por ejemplo, el número 220 es divisible por 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. Pues bien, si sumas todos esos divisores da 284, que a su vez es divisible por 1, 2, 4, 71 y 142. Y si sumas estas cifras, ¿qué aparece? ¡El 220 otra vez! Hacen tan buena pareja y son tan hermosos, los dos de color magenta, con el mismo brillo, idéntico matiz... Luego también están los números perfectos, que son aquellos que, al sumar sus propios divisores, salen ellos mismos. Por ejemplo, el 6, que es divisible por 1, 2 y 3. Pues bien, resulta que 1 más 2 y más 3 son 6. Que es de color de plata. Los números perfectos son magníficos, sublimes, son el eje del mundo, el orden oculto de las cosas, los dioses del universo matemático. Me sobrecogen por su redonda y exacta omnipotencia, pero yo prefiero los números amigos. ¿No es maravillosa esa conjunción, esa ligazón tan íntima, tan esencial y estructural de las dos cifras? Unidas para siempre, la una el espejo de la otra. Exactas pero distintas. Distintas pero en el fondo idénticas. Y su relación jamás puede romperse. Los números amigos están destinados los unos para los otros. Son pulsaciones, vibraciones, sonidos del Universo que se crearon juntos. Ésa para mí es la representación exacta del amor. Ése es el amor que yo quiero. Mi número amigo. Un día comprendí que tenía que existir en algún lado. Y me lancé a buscarlo. Ese amor que, cuando llegue, se revelará como mi única manera posible de vivir. Eternos para siempre en nuestro lazo indestructible.

esa conexión numérica se asemeja a la que existe a veces entre dos personas... somos tú y yo números amig@s?  <3

no podía esperar

 

esta imagen es del tomo final de esther y su mundo, titulado la boda, con ilustraciones de aneke y guión de carlos portela. 

la presentación de este libro, para mí ha sido uno de los momentos más especiales en lo que va de año. recuerdo que aquellos días llegaba rendido a casa por la noche, por lo que intentaba una y otra vez leerlo después de cenar, pero me quedaba dormido. la trama de estas nuevas historietas de esther se entremezclaba con los micro-sueños que acudían a mi mente según se me cerraban los ojos. en cierto modo, era algo mágico... como casi todo en este 2024, en realidad. <3

el caso es que hoy estaba pensando que en esta imagen de esther hay una clara estructura triangular. así que se me ha ocurrido trazar de manera aproximada los lados de ese triángulo que subyace en el vestido de nuestra amiga, medirlos y calcular los ángulos que forman, usando el teorema del coseno.

en la academia de dibujo, nos han explicado que siempre hay que buscar las formas básicas de cualquier objeto o cuerpo. en este caso está claro que predominan los triángulos, y no sólo en el vestido. en este breve vídeo lo vemos. ;)

el calendario que hago todos los veranos de cara al año siguiente, decididamente este año tenía que hacerlo con imágenes del último tomo. espero que os guste. sólo lo ha visto antes una persona muy especial. :*