rizos

hay un capítulo de las aventuras de esther en el que nuestra amiga decide rizarse el pelo. otras chicas hacen lo contrario, se lo planchan. a menudo me ocurre que le digo a una chica “hoy te has rizado el pelo, qué bien te queda!”, y me responde “no, si mi pelo de natural es rizado, lo que pasa es que otros días me lo plancho!”.

se me ha ocurrido relacionar esto con una paradoja matemática que me contaron cuando estaba allá por 2º o 3º de bup. imaginad que sobre el diámetro de una circunferencia grande trazamos dos semicircunferencias cuyo radio sea la mitad del radio de la circunferencia original, de la manera que se observa en la figura. el resultado es una especie de yin yang.

partimos de que la longitud de una semicircunferencia de radio r es π·r. es lógico, si la longitud de una circunferencia entera es 2·π·r, la de una semicircunferencia será la mitad, π·r.

R mayúscula es el radio de la circunferencia base, y por tanto R/2 será el radio de las dos semicircunferencias de nuestro yin yang. por tanto, la longitud de las mismas será 2·(π·R/2) = π·R.

ahora vamos a hacerlo un poco más difícil. trazaremos cuatro semicircunferencias alternas cuyo radio será la cuarta parte del radio grande.

la longitud de esas cuatro semicircunferencias será, de manera análoga a como lo hemos hecho antes: 4·(π·R/4) = π·R.

más difícil todavía! ahora lo haremos con ocho semicircunferencias de radio la octava parte del radio de la circunferencia grande.

calculamos la longitud de las ocho semicircunferencias: 8·(π·R/8) = π·R.

puede dar la impresión de que si trazamos semicircunferencias cada vez más pequeñas, la línea formada vista de lejos se asemejará a una línea recta, se ‘confundirá’ con el diámetro de la circunferencia grande. sin embargo, hemos comprobado que la longitud de esa línea en zigzag es siempre la misma: π·R. la expresión de su longitud para un número genérico n de iteraciones sería:

2ⁿ·(π·R/2ⁿ) = π·R. da igual que tomemos el límite cuando n tiende a infinito, porque el factor 2ⁿ se encuentra en el numerador y en el denominador, cancelándose entre sí.

el diámetro de la circunferencia base es 2·R. la longitud de nuestra línea ‘rizada’ hasta el infinito es π·R. quiere decir esto que π es igual a 2? ni hablar, porque por mucho que ricemos esa línea curva, por más fino que sea el rizo, nunca se convertirá en una línea recta.

si esa línea en zigzag la ‘estirásemos’, comprobaríamos que es apreciablemente más larga que el diámetro, con la misma diferencia que hay de π (3.14159...) a 2.

algo parecido ocurre con el pelo. cuando está rizado, queda más ‘contraído’. por eso cuando las chicas que tenéis el pelo ondulado os lo plancháis, os queda una melena más larga. :)

el experimento de rizarse el pelo que hizo esther sólo duró una noche. al día siguiente volvió a llevarlo como siempre...