cool?

estoy haciendo una colección de national geographic dedicada a grandes físicos, enfocada desde el punto de vista de sus descubrimientos y de su contexto socio-histórico. hasta ahora se han publicado tres entregas...

1. max planck: la teoría cuántica
2. johannes kepler: el movimiento planetario
3. erwin schrödinger: las paradojas cuánticas

la imagen externa de estos científicos y otros relacionados con ellos, quizá podría considerarse poco cool según los cánones actuales. la palabra cool es un anglicismo que viene a significar una mezcla de joven, moderno, atractivo... quizá algo parecido a guay o molón en español.

sin embargo, estos investigadores hicieron descubrimientos de los que ahora nos beneficiamos todos, incluidos aquellos que puedan tender a burlarse de la imagen típica del científico de tiempos pasados.

me puse a pensar en descubrimientos que tuvieran una aplicación inmediata en nuestra vida diaria, y me vino a la mente la luz eléctrica. en 1878 thomas edison inventó la bombilla, que consistía en un filamento a través del cual circulaba corriente y se calentaba generando luz, en el interior de un recipiente cerrado de cristal al vacío.

este invento que cambió la vida de las personas no habría sido posible sin otros descubrimientos más teóricos relacionados con la corriente eléctrica, la transmisión del calor...

si no se hubiera inventado la luz eléctrica, tendríamos que alumbrarnos con lámparas de gas, que en su momento también fueron un gran avance. y si éstas tampoco se hubieran inventado, tendríamos que utilizar antorchas, como en la edad media.

sería difícil imaginar un bar donde la gente más joven se divierte -y muy bien que hacen- iluminado por antorchas. si hay lámparas eléctricas es gracias al trabajo de aquellos científicos de aspecto poco cool.

y no hablemos de una habitación de hotel donde tiene lugar una cita romántica. en estos casos, una buena luz que se pueda graduar convenientemente juega un papel fundamental... ;)

porosidad

la sucesión numérica de término general (-1)ⁿ es de las más sencillas que hay: sus términos son iguales a 1 para valores pares del exponente n, y a -1 para valores impares de n.

hace tiempo se me ocurrió preguntarme qué pasaría si generalizáramos para todos los números reales. es decir, qué aspecto tendría la función (-1)^x, siendo x cualquier número real, no necesariamente entero.

si el exponente x es un número racional, lo podremos expresar en forma de fracción como n/m. (-1)^n/m no es otra cosa que la raíz de índice m (m-ésima, si se quiere) de (-1)ⁿ.

si n es par, (-1)ⁿ será siempre 1, y su raíz m-ésima será también 1, independientemente del valor de m.

si n es impar, (-1)ⁿ será -1. en caso de que m sea impar, su raíz m-ésima será -1 también. pero si m es par, estamos ante una raíz de índice par de un número negativo, y su valor no pertenecerá al conjunto de los números reales. será un número complejo.

y ya no digamos si elevamos -1 a un número irracional. en la calculadora científica que tengo desde hace más de quince años, si elevas -1 a algún número raro, te sale un número complejo expresado en la forma [a, b], siendo a la parte real y b la parte imaginaria.

recordando la fórmula de euler, podemos deducir la siguiente expresión general:

(-1)^x = cos(π·x)+i·sen(π·x)

la función (-1)^x, por tanto, unas veces toma el valor 1, otras veces toma el valor -1, y otras veces toma valores complejos -y que por tanto son invisibles en una gráfica real-. por ello, esta función estará formada por dos rectas ‘porosas’ horizontales cuyas ordenadas son 1 y -1.

como decimos, estas rectas no son continuas, sino que entre los puntos que las forman hay huecos o poros. si alguien derramara agua sobre ellas se filtraría y caería una gotera en el piso inferior.

y eso es lo que ocurre en la historieta de zipi y zape de la que está sacada esta viñeta. pero no os asustéis... los hermanos han puesto unos muñecos de cartón para hacer creer a su padre que estudian, mientras están jugando al fútbol.

emociones

leí hace tiempo en un libro que existen seis emociones primarias: alegría, tristeza, miedo, ira, aversión y sorpresa. eso significaría que cualquier otra emoción es una combinación de varias de estas seis emociones.

según otros autores, existen más de seis emociones básicas, y a veces las clasifican en primarias y secundarias. hay quien considera el amor una emoción primaria, pero no lo creo. una emoción tan imprevisible y compleja como la del amor, es cualquier cosa menos primaria.

todas las emociones juegan un papel importante. habréis oído decir que el miedo es necesario para la supervivencia, ya que nos hace huir del peligro. la aversión también lo es: por ejemplo, si un alimento tiene mal sabor, eso nos previene de que está en malas condiciones.

la ira sirve como motor para cambiar situaciones que deben mejorar, y la conquista de derechos a lo largo de la historia así lo demuestra. la sorpresa puede ser agradable o desagradable. esta emoción está relacionada con la risa, ya que ésta se produce por situaciones que aparte de resultar ‘graciosas’, no esperábamos en ese momento.

sobre la tristeza y la alegría, diré simplemente que son emociones cuya carencia en una persona debe ser motivo de preocupación. demuestran que tenemos corazón y sangre en las venas.

pasamos ahora a otro tema. queca me ha concedido un bonito premio. muchas gracias por acordarme de ti, guapa. :* incluye algunas preguntas que paso a responder:

1) ¿Tienes algún otro blog?

soy coautor del blog sobre chocolate wonka 70%, junto con cuatro amigas.

2) ¿Cuál sería tu profesión deseada?

siempre he soñado con ser profesor de un colegio, pero ponen muchas barreras, además de que no debe de ser fácil enfrentarse a una clase de cuarenta adolescentes. dando clases particulares no me aburro, y por cierto me ha salido una nueva alumna...

3) ¿Qué es lo que más te gustaría visitar ahora mismo?

ciudades antiguas como segovia, toledo, cáceres...

4) ¿Te gustaría conocer a otr@s bloggers en persona?

sí, mucho. ver al natural a personas que he conocido a través de los blogs, de facebook, del foro de esther... ha sido una experiencia muy interesante.

5) ¿Tienes algo que nunca puede faltar en tu bolso, aparte de lo necesario?

aunque soy chico, siempre llevo mi bolsa en bandolera. no puede faltar una botella de agua. puede que no beba en toda la tarde, pero basta que no la tenga para que me entre ‘sed psicológica’.

6) ¿Tienes alguna afición?

leer, escuchar música, escribir, dibujar de vez en cuando...

7) ¿Cuál es tu película favorita?

hoy diré ‘con la muerte en los talones’ de hitchcock. me gustaría tener la pachorra de cary grant, es mi ídolo, no se inmutaba por nada. ;)

8) ¿Y tu libro favorito?

cualquiera de las colecciones de relatos de sherlock holmes.

9) ¿Qué es lo que más te gustaría leer en otros blogs?

todos los blogs que visito me gustan, cada uno tiene su encanto y la personalidad de su autora.

10) ¿Cuál es tu música favorita?

de tener algún estilo favorito, sería ‘rock suave’, en plan dire straits, rem, genesis... pero hay grupos y artistas de estilos muy variados que me gustan.

11) ¿Dónde prefieres ir, al interior o a la playa?

para el verano, me he acostumbrado a la playa. para alguna escapada en otra época, me gustan las ciudades antiguas, como decía antes.

añado otra para que sean 12, que es un número más bonito. :)

12) ¿Eres tímid@, o lo has sido en algún momento de tu vida?

este premio se lo concederé a: eva, imanara, maría, mercedes y arien-elanor.

dibujando...

en el suelo del portal de mi casa hay una figura octogonal que siempre me quedo mirando cuando nos paramos allí a hablar con alguien, por ejemplo...

se trata de un octógono ‘insertado’ en un enlosado de baldosas cuadradas. sus dimensiones son tales que la apotema del octógono -distancia desde el centro hasta el punto medio de cualquiera de sus lados- es igual al lado del cuadrado.

mi idea era dibujar una base cuadriculada, y sobre ella ‘incrustar’ el octógono. posiblemente la mejor manera de dibujar un polígono de ocho lados es trazar una circunferencia, sobre ella trazar dos diámetros perpendiculares y sus bisectrices, y unir con líneas rectas los extremos contiguos entre sí de los cuatro diámetros.

necesitamos saber cuál debe ser el radio de la circunferencia circunscrita para que el octógono tenga la apotema que queramos. el ángulo interior del octógono es igual al ángulo completo dividido entre ocho: 360º/8 = 45º. el radio de la circunferencia y la apotema formarán la mitad de ese ángulo: 45º/2 = 22.5º.

la apotema es la proyección horizontal del radio. haciendo uso de las razones trigonométricas, diríamos que a = R·cos(22.5). por tanto, despejando, R = a/cos(22.5).

el coseno de 45º es bien conocido: √2/2. recordando la fórmula para calcular el coseno del ‘ángulo mitad’, y haciendo algunas operaciones, obtenemos que el coseno de 22.5º es [√(2+√2)]/2. como esa expresión va a estar dividiendo, calculamos su inverso, que tras operarlo un poco para que tenga la forma que nos va a interesar, resulta ser 2·√[(1/2)·(2–√2)].

esa cifra que parece tan enrevesada, se puede calcular gráficamente, con tan sólo escuadra, cartabón y compás, y sin realizar ninguna medición. la distancia que buscamos es el doble de la media geométrica de 1/2 y 2–√2. tomando como unidad un lado de la longitud que queramos -que será el lado de nuestra cuadrícula base-, 1/2 de la misma no es otra cosa que su mitad, que se obtiene trazando su mediatriz; y 2–√2 es el doble menos la diagonal de un cuadrado que tenga ese lado.

trazamos sobre una línea horizontal las fracciones 1/2 y 2–√2 de nuestro lado base, delimitando bien dónde acaba una y empieza otra. a continuación, trazamos una semicircunferencia cuyo diámetro coincida con los dos segmentos alineados. hecho esto, desde el punto de separación de los dos segmentos trazamos una línea perpendicular a los mismos. la media geométrica será la distancia desde ese punto de partida hasta donde la línea vertical corte al arco de circunferencia.

lo más difícil ya está hecho. como lo que necesitamos es el doble de la media geométrica, prolongamos esa línea vertical y desde donde termina la distancia buscada llevamos con el compás esa misma distancia, obteniendo así el doble de ella.

ya podemos dibujar nuestro octógono insertado sobre la base cuadriculada. con centro en el punto medio de lado común de dos cuadrados contiguos -para reproducirlo tal como es en el enlosado original en que me he basado-, trazamos una circunferencia cuyo radio es la distancia que acabamos de calcular. dibujamos el octógono por el procedimiento de trazar diámetros perpendiculares y sus bisectrices. y lo hemos hecho bien, ya que encaja exactamente entre dos filas de cuadrados.

pasamos a rotulador las líneas divisorias de las baldosas y borramos las líneas auxiliares. el reborde lo coloreamos un poco. es algo más grueso que el original en proporción, pero es que lo hice anoche sin tener la foto delante. hoy que es fiesta y no pasaba nadie por el portal he podido hacer la foto. ^_^

esta mañana, que he madrugado porque me he despertado y no tenía más sueño, he hecho otro dibujo que tenía en mente. esta vez es de otro estilo muy distinto: es un retrato de una alumna mía. el único instrumento que he utilizado es un portaminas.

se lo llevaré el lunes. cuanto más deprisa los hago, mejor me salen. cuando ya está más o menos aceptable y tengo la sensación de que si lo retoco más lo fastidiaré, entonces paro.

cuadrículas

normalmente me siento más cómodo escribiendo sobre folios blancos, sin cuadrícula, quizá porque soy muy libre de espíritu. ^_^ sin embargo, tanto en este blog como en mis clases empleo folios cuadriculados cuando hay que hacer gráficas.

en 4º de egb, aquel profesor al que llamé por teléfono y se quedó flipado, después de los dictados nos dejaba que hiciéramos lo que él llamaba una greca: un dibujo con un patrón geométrico guiándonos por la cuadrícula de la hoja. con un ejemplo lo veréis mejor. he hecho algo parecido a un molino de viento...

supongo que ese profesor lo hacía para que nos relajáramos un rato y para fomentar nuestra creatividad. un dibujo de este tipo es algo parecido al juego del tente, pero en dos dimensiones. o al punto de cruz, salvando las distancias, porque el punto de cruz obviamente tiene mucho más mérito.

cada cuadrado relleno de color se asemeja a lo que hoy se conoce como píxel. si es que está todo inventado desde hace mucho más tiempo del que creemos... en el dibujo he coloreado los cuadrados de la misma manera que lo hacía de pequeño: trazando líneas cruzadas paralelas a las dos diagonales. tanto si te esmeras en hacerlo muy bien como si lo haces de cualquier manera, el resultado es similar, ya que en el primer caso se te cansará antes la mano y te acabará saliendo un churro igualmente.

años más tarde seguía haciendo dibujitos en papel cuadriculado, pero de otro estilo. una vez se me ocurrió trazar una especie de escalera con peldaños de anchura creciente. todos ellos son de un cuadrado de altura, pero su anchura va aumentando: 1 cuadrado, 2 cuadrados, 3 cuadrados, 4 cuadrados... en el dibujo se verá mejor.

hemos marcado en azul las diagonales de los rectángulos resultantes. me preguntaba si la línea quebrada azul se asemejaba a alguna función matemática. su pendiente es decreciente, eso es todo lo que sabemos. veamos si a través de la gráfica de su función inversa -que se obtiene girando la gráfica original 90º en sentido antihorario y volteándola horizontalmente- averiguamos algo más.

nos damos cuenta de que en cada cuadrado contado desde la izquierda, la pendiente de la línea azul coincide exactamente con la coordenada de ese cuadrado en un hipotético eje de abscisas. en el cuadrado número 1 la pendiente es 1; en el cuadrado número 2 la pendiente es 2 (subimos 2 cuadrados por cada cuadrado que avanzamos a la derecha); en el cuadrado número 3 la pendiente es 3 (subimos 3 cuadrados por cada cuadrado que avanzamos a la derecha); ...y así sucesivamente.

esto nos hace pensar en una función cuya derivada coincida exactamente con su abscisa. esa función sólo puede ser x²/2. su derivada -que nos indica la pendiente en cada uno de sus puntos- es x.

x²/2 sería la función a la que se asemeja nuestra gráfica girada y volteada. y para la gráfica original? tendríamos que deshacer el cambio y obtener la función inversa de x²/2. partiendo de la expresión y = x²/2 e intercambiando la posición de las variables x,y, hallamos la función inversa: y = √(2x).

y hablando de invertir, aquí tenéis la greca de antes con los colores opuestos.

las cuatro caras...

en un curso de inteligencia emocional que hice después de acabar la carrera, recuerdo que nos explicaron que existían cuatro facetas del individuo:

• yo real: lo que conoces de ti mismo y los demás también.
• yo percibido: lo que los demás conocen de ti, pero tú no eres consciente de ello.
• yo secreto: lo que sólo tú conoces de ti mismo.
• yo desconocido: lo que ni tú ni los demás conocen de ti.

encontré unos apuntes de aquel curso que había guardado, y en ellos explican bastante bien este tema. ses, me he acordado de ti porque ahora estás estudiando psicología.

las cuatro facetas del yo se pueden relacionar con dos factores que describen nuestra manera de relacionarnos con los demás: la apertura y el feed-back.

la apertura es el grado en el que nos mostramos a nosotros mismos y exponemos nuestras ideas. el feed-back (retroalimentación) nos dice en qué medida interactuamos con los demás, interesándonos por sus puntos de vista y preocupándonos por crear un clima positivo.

la relación que existe entre estos dos factores y la faceta predominante del yo en cada caso se puede representar mediante lo que se denomina ventana de johari.

se entenderá mejor (al menos yo así lo he entendido mejor) analizando las combinaciones entre diferentes grados de apertura y feed-back.

en las relaciones personales, lo ideal es tener una apertura alta y un feed-back alto. en la ventana de johari, se representaría mediante un punto situado más bien en la parte inferior derecha, para entendernos. trazamos dos ejes perpendiculares que coincidan en ese punto. de las cuatro áreas en que queda dividida la ventana, la más grande es la que corresponde al yo real. una persona que actúa de ese modo es transparente y se muestra como es.

la combinación de apertura baja y feed-back alto estaría situada en la parte superior derecha. trazamos unos ejes que se crucen en ese punto, y el área mayor es la del yo secreto. se trataría de una persona que se preocupa mucho de los otros pero no desvela demasiado de sí misma. sus pensamientos son una incógnita para los demás.

una apertura alta y un feed-back bajo se situarían en la parte inferior izquierda. esta combinación es típica de personas dominantes o soberbias, que quizá tienen esa manera de relacionarse para ocultar sus propias inseguridades. observamos que predomina el yo percibido. los demás posiblemente tienen una opinión negativa de alguien que actúa así, y quizá sin que él mismo sea consciente de ello.

y por último, una apertura baja y un feed-back bajo estarían en la parte superior izquierda. estamos ante una persona que ni dice lo que piensa ni se preocupa de lo que piensen los otros. predomina el yo desconocido, lo cual tiene su lógica. si no te relacionas con los demás, no sólo ellos no te conocerán sino que tampoco te conocerás a ti mismo.

para determinar en qué lugar nos encontramos en la ventana de johari, en los apuntes explica que hay que realizar una dinámica de grupo, y después de ella cada participante evalúa a los demás. hicimos varios debates, pero esto en concreto de tener que puntuarnos no lo recuerdo... de todos modos, una dinámica de grupo es un reflejo de cómo una persona se comporta en la vida diaria.

os sentís identificad@s con alguno de los cuatro casos expuestos, ya sea ahora o en alguna época pasada de la vida? o quizá conocéis a alguien en quien hayáis pensado al leer esta entrada...? ;) a mí se me han quejado de que soy muy enigmático. qué le voy a hacer, me gusta más escuchar que hablar.

diagonales

el otro día, en una clase de matemáticas con una alumna de 1º de eso, surgió el tema de cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono de un número de lados determinado.

si se entiende por diagonal una línea que una dos vértices no consecutivos, está claro que un triángulo no tiene diagonales. de los tres vértices que tiene, da igual cómo escojas dos de ellos, que siempre serán contiguos entre sí.

veamos lo que sucede con el cuadrado. las posibles combinaciones de dos en dos de sus vértices son:

1-2, 1-3, 1-4,

2-3, 2-4,

3-4.

fijaos que son en total 1+2+3 = 6 combinaciones. pero de ellas tendremos que descartar:

1-2, 2-3, 3-4, 4-1, que son las de vértices consecutivos. (ponemos 4-1 en vez de 1-4, para que se vea más claro)

por tanto, el cuadrado tendrá 6–4 = 2 diagonales.

pasamos ahora al pentágono. hacemos lo mismo que antes: enumeramos las posibles parejas de vértices:

1-2, 1-3, 1-4, 1-5,

2-3, 2-4, 2-5,

3-4, 3-5,

4-5.

en total son 1+2+3+4 = 10 combinaciones. pero no nos valen las de vértices consecutivos:

1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-1. habrá, por tanto, 10–5 = 5 diagonales.

y qué ocurrirá con el hexágono? veamos cómo se pueden emparejar sus vértices:

1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6,

2-3, 2-4, 2-5, 2-6,

3-4, 3-5, 3-6,

4-5, 4-6,

5-6.

suman en total 1+2+3+4+5 = 15 combinaciones. restaremos las de vértices contiguos:

1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-1. con lo cual, serán 15–6 = 9 diagonales.

vamos a intentar encontrar una fórmula general para hallar el número de diagonales de un polígono en función del número de lados.

nos damos cuenta de que, en los casos que hemos analizado, el número de posibles combinaciones de dos en dos de los vértices se calculaba siempre mediante una suma como ésta:

1+2+3+...n–1, siendo n el número de lados.

y esa suma se puede expresar como (n–1)·n/2.

por otro lado, las combinaciones de vértices consecutivos son siempre n.

así pues, la expresión general del número de diagonales será:

(n–1)·n/2–n. vamos a sacar factor común n:

n·[(n–1)/2–1], que operando queda así: n·(n–3)/2.

veamos si se cumple para los casos que ya conocemos:

triángulo: 3·(3–3)/2 = 0

cuadrado: 4·(4–3)/2 = 2

pentágono: 5·(5–3)/2 = 5

hexágono: 6·(6–3)/2 = 9

...

pues parece que funciona! para terminar, aquí tenemos al ‘malo’ de la aventura “el supergrupo” de superlópez. había dibujado en el suelo una estrella pentagonal, que está formada por las diagonales de un pentágono. su objetivo era realizar un conjuro mágico...

este malvado personaje tenía el rostro negro como la tinta, sin nariz, llevaba siempre una especie de traje de astronauta y fumaba puros. nunca supe si era un humano, un extraterrestre o qué demonios era.