dibujando...

en el suelo del portal de mi casa hay una figura octogonal que siempre me quedo mirando cuando nos paramos allí a hablar con alguien, por ejemplo...

se trata de un octógono ‘insertado’ en un enlosado de baldosas cuadradas. sus dimensiones son tales que la apotema del octógono -distancia desde el centro hasta el punto medio de cualquiera de sus lados- es igual al lado del cuadrado.

mi idea era dibujar una base cuadriculada, y sobre ella ‘incrustar’ el octógono. posiblemente la mejor manera de dibujar un polígono de ocho lados es trazar una circunferencia, sobre ella trazar dos diámetros perpendiculares y sus bisectrices, y unir con líneas rectas los extremos contiguos entre sí de los cuatro diámetros.

necesitamos saber cuál debe ser el radio de la circunferencia circunscrita para que el octógono tenga la apotema que queramos. el ángulo interior del octógono es igual al ángulo completo dividido entre ocho: 360º/8 = 45º. el radio de la circunferencia y la apotema formarán la mitad de ese ángulo: 45º/2 = 22.5º.

la apotema es la proyección horizontal del radio. haciendo uso de las razones trigonométricas, diríamos que a = R·cos(22.5). por tanto, despejando, R = a/cos(22.5).

el coseno de 45º es bien conocido: √2/2. recordando la fórmula para calcular el coseno del ‘ángulo mitad’, y haciendo algunas operaciones, obtenemos que el coseno de 22.5º es [√(2+√2)]/2. como esa expresión va a estar dividiendo, calculamos su inverso, que tras operarlo un poco para que tenga la forma que nos va a interesar, resulta ser 2·√[(1/2)·(2–√2)].

esa cifra que parece tan enrevesada, se puede calcular gráficamente, con tan sólo escuadra, cartabón y compás, y sin realizar ninguna medición. la distancia que buscamos es el doble de la media geométrica de 1/2 y 2–√2. tomando como unidad un lado de la longitud que queramos -que será el lado de nuestra cuadrícula base-, 1/2 de la misma no es otra cosa que su mitad, que se obtiene trazando su mediatriz; y 2–√2 es el doble menos la diagonal de un cuadrado que tenga ese lado.

trazamos sobre una línea horizontal las fracciones 1/2 y 2–√2 de nuestro lado base, delimitando bien dónde acaba una y empieza otra. a continuación, trazamos una semicircunferencia cuyo diámetro coincida con los dos segmentos alineados. hecho esto, desde el punto de separación de los dos segmentos trazamos una línea perpendicular a los mismos. la media geométrica será la distancia desde ese punto de partida hasta donde la línea vertical corte al arco de circunferencia.

lo más difícil ya está hecho. como lo que necesitamos es el doble de la media geométrica, prolongamos esa línea vertical y desde donde termina la distancia buscada llevamos con el compás esa misma distancia, obteniendo así el doble de ella.

ya podemos dibujar nuestro octógono insertado sobre la base cuadriculada. con centro en el punto medio de lado común de dos cuadrados contiguos -para reproducirlo tal como es en el enlosado original en que me he basado-, trazamos una circunferencia cuyo radio es la distancia que acabamos de calcular. dibujamos el octógono por el procedimiento de trazar diámetros perpendiculares y sus bisectrices. y lo hemos hecho bien, ya que encaja exactamente entre dos filas de cuadrados.

pasamos a rotulador las líneas divisorias de las baldosas y borramos las líneas auxiliares. el reborde lo coloreamos un poco. es algo más grueso que el original en proporción, pero es que lo hice anoche sin tener la foto delante. hoy que es fiesta y no pasaba nadie por el portal he podido hacer la foto. ^_^

esta mañana, que he madrugado porque me he despertado y no tenía más sueño, he hecho otro dibujo que tenía en mente. esta vez es de otro estilo muy distinto: es un retrato de una alumna mía. el único instrumento que he utilizado es un portaminas.

se lo llevaré el lunes. cuanto más deprisa los hago, mejor me salen. cuando ya está más o menos aceptable y tengo la sensación de que si lo retoco más lo fastidiaré, entonces paro.