infinitos

he de reconocer que la chispa que despertó mi afición por las matemáticas no fue otra cosa que un ejercicio mal planteado que nos mandó hacer para casa el profesor en 7º de egb.

para entender qué problema había, qué pasaba con aquel ejercicio, antes vamos a repasar algunos conceptos...

para resolver una ecuación de primer grado, hay que separar los términos multiplicados por la incógnita x y los términos independientes. para ello, se pasan los ‘términos en x’ a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro.

cuando pasamos cualquier término al otro lado de la igualdad, le cambiamos el signo: si estaba sumando, lo pasamos restando; y si estaba restando, lo pasamos sumando.

aquí tenéis un ejemplo que me he inventado sobre la marcha. es un ejercicio didáctico para que se vea claro cómo se ponen juntos los términos en x a un lado y los términos independientes a otro, y cómo se despeja la incógnita.


al final queda una igualdad de la siguiente forma: una cantidad multiplicada por la incógnita x es igual a otra cantidad. se despeja x dividiendo el término independiente del lado derecho de la igualdad entre la cantidad que multiplica a x.

ahora ya puedo hablaros de aquel ejercicio mal planteado. se trataba de una ecuación de primer grado cuya resolución conducía al siguiente resultado: x era igual a 1 dividido entre 0 (1/0). a todos los que la hicimos bien nos desconcertó, pues nunca se nos había presentado el caso de dividir entre 0.

cómo puede ser que una ecuación de primer grado lleve a una división entre 0? pues bien, eso sucede cuando, tras juntar los términos en x y los términos independientes a uno y otro lado de la ecuación, la suma de los coeficientes que multiplican a x es 0, mientras que la suma de términos independientes es un número distinto de 0.

he preparado un ejemplo de ecuación en la que se obtiene al final la igualdad 0·x=1, de donde falsamente se deduce, despejando como se hace normalmente, que x es igual a 1/0. la idea sería la misma si en lugar de 1 fuera cualquier otro número dividido entre 0 (menos el propio 0, el caso 0/0 es diferente y lo veremos después).

dividir un número entre 0 es algo que desafía a la razón. 1/0 es la solución de una ecuación de la forma 0·x=1, como hemos dicho. pero eso es imposible, porque cualquier número multiplicado por 0 da como resultado 0. de hecho, esa ecuación lo que nos estaría diciendo es que 0 es igual a 1. es una contradicción.

y qué ocurre si no sólo son los coeficientes en x los que suman 0, sino también los términos independientes? he preparado un nuevo ejemplo en el que se da este caso. la ecuación, separando los términos en x y los términos independientes, nos conduce a la igualdad 0·x=0.

despejando de la forma habitual, diríamos que x es igual a 0/0. alguien podría decir que esta fracción equivale a 0, pues si el numerador es 0, da igual cuál sea el denominador. pero eso no es así. 0/0 es una indeterminación, puede tomar cualquier valor. porque 0/0 es la solución de la ecuación 0·x=0. cuál es el número que multiplicado por 0 da 0? cualquiera, hay infinitas soluciones. de hecho, esa igualdad equivale a decir que 0 es igual a 0, lo cual es totalmente cierto, pero no nos aporta nada nuevo.

estos casos límite en las ecuaciones me hacen recordar ciertos conceptos filosóficos. la ecuación que aparentemente da como resultado x=0/0 es una tautología, algo que a priori siempre es verdadero. por otro lado, la ecuación de la que aparentemente se obtiene x=1/0 es una contradicción, nunca se puede cumplir. como habría dicho wittgenstein, la primera corresponde a cualquier estado de cosas, y la segunda no corresponde a ningún estado de cosas.

se dice que 1/0 (el numerador puede ser 1 o cualquier otro número distinto de 0) es infinito. en sentido estricto, eso es incorrecto: 1/0 no es nada, es un sinsentido. ahora bien, otra cosa es dividir 1 entre un número que se aproxime a 0. cuanto más pequeño sea el denominador de una fracción, mayor se hará el cociente. en la siguiente tabla se muestra el valor que va tomando el resultado de dividir 1 entre valores cada vez más pequeños.

x----------------1/x
1..................1
0.1...............10
0.01.............100
0.001..........1,000
0.0001........10,000
0.00001......100,000
0.000001...1,000,000

como el valor de la fracción aumenta cuando el numerador se mantiene y el denominador se va aproximando a 0, uno se siente tentado de decir que cuando el denominador llega a ser 0, el resultado de la división es infinito. podemos decirlo de manera ‘informal’, para entendernos, pero siempre teniendo presente que el infinito no es un número y por tanto no se puede tratar como tal.

si se representa la función y=1/x, es fácil observar que en x=0 diverge totalmente. es más: así como para valores de x cercanos a 0 y positivos la función tiende a infinito, para valores próximos a 0 y negativos, la función tiende al infinito con signo negativo, ‘menos infinito’, para entendernos. pero, para las cosas que estoy contando en esta entrada, prefiero centrarme en los infinitos positivos.

en esta gráfica he representado la función 1/x en un entorno relativamente cercano a 0, al origen de coordenadas. pero ya es suficiente para observar la divergencia cuando x se acerca a 0.

el hecho de que 1/0 represente una idea parecida a la del infinito explica la ecuación contradictoria que se obtenía: 0·x=1. cualquier número, por grande que sea, si se multiplica por 0 se obtiene como resultado 0. pero el infinito, de existir tal concepto, sería algo tan grande y tan inconmensurable que al multiplicarlo por 0 todavía quedaría una cantidad distinta de 0.

hay otra manera de verlo: imaginemos, por ejemplo, el número de moléculas de agua (numerador) en un determinado volumen de agua (denominador). si tomamos un volumen visible a nivel macroscópico, habrá miles de millones de moléculas. a medida que disminuimos el volumen que tomamos como muestra, habrá menos moléculas, aunque seguirá habiendo muchas. si llegamos a un nivel microscópico, el número de moléculas ya empezará a ser un poco más concebible para nuestra mente. y si reducimos tanto el volumen de la muestra que lo hacemos 0, cuántas moléculas habrá? pues habrá 0 moléculas. por muy grande que sea la densidad de moléculas por volumen, en un espacio nulo no habrá ninguna.

la fracción 1/0 nos estaría diciendo, siguiendo con el mismo ejemplo, que para un volumen nulo hay una molécula, lo cual es imposible y carece de sentido en la realidad. el infinito, de existir, sería algo tan grande que aunque se redujera al mínimo la extensión en la que se está repartiendo, seguiría quedando cierta cantidad distinta de 0 para esa extensión nula.

y este mismo ejemplo, ya puestos, también sirve para mostrar el carácter indeterminado de la fracción 0/0. en un volumen 0 hay 0 moléculas. eso es una obviedad que siempre se cumple y no nos da ninguna información sobre la densidad de moléculas por volumen, en este caso. ya sabemos todos que en ‘la nada’ no hay nada.

en fin, a estas cosas les daba vueltas y más vueltas cuando tenía 13-14 años. siempre me han gustado los casos límite, en todo. :D a veces un caso límite es lo que despierta curiosidad por un tema...

cuentos

23.11.2008

entre los primeros cuentos que recuerdo haber leído cuando era pequeño están los de esta colección llamada ‘animales juguetones’, que tenía cuatro títulos: los tres perritos, los tres gatitos, los tres ositos y los tres cerditos. todavía los conservo, aunque algo estropeados.

el año pasado encontré en la cuesta de moyano de madrid una edición encuadernada de los cuatro cuentos, en buen estado y muy barata. no dudé en hacerme con ella, aunque ya los tuviera por separado. me hizo mucha ilusión. además pude confirmar que eran sólo cuatro y no había más, que siempre había tenido esa duda.

los tres cerditos es el cuento clásico que todos conocemos del cerdito que construye una casa de paja y se la derriba fácilmente el lobo. lo mismo sucede cuando otro de los cerditos construye una casa de madera. y por fin, llega el más listo de los tres y construye una casa de ladrillos contra la que nada puede hacer el lobo. a diferencia de otras versiones del cuento, en ésta los cerditos de la casa de paja y la casa de madera logran huir del lobo, y cuando la casa de ladrillos está construida, los tres se refugian allí.

los tres ositos trata de una familia de osos formada por el padre, la madre y el niño. un día se van al bosque de excursión, y en su ausencia, una niña descubre casualmente su casa y entra en ella. tras causar varios estropicios que afectarán especialmente al osito pequeño, se tumba a dormir en la cama de éste. cuando regresan, los osos la expulsan de allí muy enfadados. siempre me ha dado pena la pobre niña. ;)

los tres gatitos trata de tres hermanos, dos gatos y una gata, a los que su madre les ha regalado unos guantes. cuando los manchan les hace lavarlos y tenderlos a secar. como veis, tiene su mensaje educativo para los niños. ;) al perderlos en el bosque jugando, les manda volver a por ellos. al regresar con los guantes, les premia con una tarta. es muy infantil, pero a mí me sigue gustando.

los tres perritos trata de tres cachorros hermanos que se dedican a explorar diferentes lugares: el bosque, el río... y un buen día descubren un circo. se acercan allí y cuando se quien dar cuenta se han convertido en artistas de ese circo. “en la vida hay que amoldarse a todo!”, dicen en el cuento. se divierten, pero acaban agotados y en la última ilustración aparecen dormidos.

como decía antes, los tres cerditos es un cuento clásico conocido por todos. los tres ositos, por otro lado, tal vez no sea tan conocido, pero alguna vez lo he visto en otras versiones. sin embargo los otros dos, los tres perritos y los tres gatitos, nunca los he visto en ninguna otra versión que no sea la de esta serie de cuentos de animales. tal vez se escribieron por primera vez para la ocasión.

ésta es la entrada más infantil que he escrito hasta ahora, pero es que estos cuentos me traen muy buenos recuerdos. con ellos aprendí a leer! :D

estrella de david

hace poco escribí una entrada sobre la historia de israel. hubo quien pensó, al ver el dibujo que utilicé para ilustrarla, que se trataba de un análisis geométrico de la estrella de david. ;) no era ése el tema en aquella ocasión, pero me disteis una gran idea, de la que tomé buena nota. :D

dibujar una estrella judía es relativamente sencillo. en primer lugar, trazamos una circunferencia, más o menos grande según el tamaño que queramos que tenga nuestra estrella: [1]

a continuación, con el mismo radio de la circunferencia, pinchamos el compás en un punto de la misma -preferiblemente en el punto más alto para que la estrella quede en la posición en la que estamos acostumbrados a verla-, y desde ahí trazamos un pequeño arco que corte a la propia circunferencia: [2].

desde el punto de corte con el arco que acabamos de trazar, pinchamos y trazamos un nuevo arco que cortará en otro punto a la circunferencia: [3]. repetimos el proceso de forma análoga, hasta dividir la circunferencia en 6 partes iguales: [4], [5] y [6].

se trata del mismo procedimiento que utilizábamos para trazar un hexágono regular, que está explicado en la entrada sobre los polígonos.

nos fijamos en los puntos que dividen la circunferencia en 6 partes. desde un punto cualquiera, trazamos una línea recta que lo una, no con el que tiene justo al lado, sino con el siguiente: [7]. da igual por cuál de los puntos empecemos y hacia qué lado tracemos la línea, pero ésta debe unir dos vértices no consecutivos, dejando uno entre medias.

desde uno cualquiera de los extremos de la línea que acabamos de marcar, trazamos otra línea que, nuevamente, se salte un vértice y pase al siguiente: [8]. hemos trazado dos líneas que son como dos lados de un triángulo equilátero. unimos sus extremos cerrando el triángulo: [9]. y nuevamente habremos dejado un vértice entre medias.

tres de los puntos que dividen la circunferencia en 6 partes son ahora vértices de un triángulo equilátero. han quedado tres vértices ‘libres’. desde uno cualquiera de ellos trazamos una nueva línea que lo una con el siguiente ‘libre’: [10]. habrá quedado entre medias uno de los vértices del triángulo que ya está trazado.

desde uno de los extremos de la última línea, trazamos otra línea que lo una con el siguiente vértice ‘libre’: [11]. igual que en el caso anterior, tenemos dos lados de un triángulo equilátero, y sólo falta trazar el tercero y cerrarlo: [12].

esta construcción es más sencilla de entender intuitivamente que de explicar. si vierais a alguien dibujando una estrella hexagonal de estas, seguro que lo entenderíais a la primera. pero bueno, espero que esta explicación os haya servido de ayuda si alguna vez queréis relajaros dibujando estrellas. ;)

cuestionarios de personalidad

15.09.2008

como sé que a varias de vosotras os gustan estas cosas, he buscado en un libro de tests de personalidad que tengo algún test que sea interesante y entretenido de hacer. el libro se titula cuestionarios sobre ti. la autora es paz torrabadella, y la editorial, océano ámbar.

he encontrado uno muy curioso propuesto por el psicólogo americano george a. kelly, del cual he hecho una versión simplificada.

es bastante sencillo. en primer lugar, escribes en columna los nombres de las siguientes personas:
- tú mismo.
- tu mejor amigo/a.
- el mejor jefe o profesor que has tenido.
- tu mejor compañero de trabajo o de colegio/universidad.
- tu yo ideal.
- la pareja a la que más crees haber amado.
- tu padre.
- tu madre.
- la persona que más antipática te resulta.
- tu peor jefe o profesor.

hecho esto, escribes en otra columna, al lado del nombre de cada una de estas personas, el rasgo que más les caracteriza.

a continuación, al lado de la palabra que mejor define a cada persona de tu lista, escribes en una nueva columna otra palabra que indique la cualidad contraria. por ejemplo, si a alguien le has definido como ‘simpático’ debes poner al lado lo contrario, ‘antipático’.

y ahora viene la explicación...

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al definir con una palabra a esas personas que han sido importantes en tu vida, y añadir el rasgo opuesto, inconscientemente has hecho una lista de rasgos bipolares (‘introvertido-extrovertido’, ‘activo-pasivo’,...) que para ti son importantes. la idea de quien propuso este test es que la manera que tenemos de ver a los demás es afín a la manera que tenemos de ver la vida, y por tanto, habla de nosotros mismos. sin darte cuenta, has explicado qué es lo que ha sido importante para ti en tu relación con otras personas, para bien o para mal.

para las personas a las que aprecias, en la primera columna se encuentran los valores que consideras importantes en tu vida, es decir, las cualidades que quieres desarrollar. en la segunda columna, los fallos que rechazas y quieres evitar, o dicho de otro modo, los rasgos que menos te gustan de ti mismo.

para las personas de las que tienes un mal concepto, funciona a la inversa. en la primera columna están los rasgos que rechazas, pero que no obstante pueden aparecer en ti alguna vez, aunque a ti te cueste verlo. en la segunda columna, a la inversa que en el caso anterior, están los valores a los que aspiras.

en resumen, este test habla de uno mismo. en el fondo, vemos a los demás como nosotros mismos queremos ser -en el caso de las personas que nos gustan-, o como tememos ser -en el caso de las personas que no nos gustan-.

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01.11.2008

he encontrado otro test que puede dar juego en el libro cuestionarios sobre ti de paz torrabadella que ya mencioné en otra entrada anterior.

es un test muy sencillo que sirve para medir la fluidez creativa. además de eso, tiene interés porque hay varias preguntas que hacen referencia a uno mismo. y el hecho de que el tiempo sea limitado y haya que responder lo más rápido posible hace que tenga más valor, pues nuestras respuestas serán más espontáneas y sinceras al tener que decir lo primero que pensamos.

en un tiempo de tres minutos, hay que responder por escrito a las siguientes preguntas, en el orden que se quiera. no te quedes atascado en una pregunta; si no se te ocurre nada que poner, pasa a la siguiente.

1. cita el máximo número de cosas que se te ocurran que sirvan como herramienta para el dibujo.
2. enumera cosas que te diferencian del resto de las personas.
3. has pensado para qué puede servir una lata vacía? enumera cuantos usos se te ocurran.
4. cita cosas y costumbres que promuevan la paz con uno mismo.
5. anota palabras acabadas en ‘-az’.
6. aporta razones por las que resulta conveniente conocerse a uno mismo.
7. enumera motes por los que reconocerías bien que alguien se refiere a ti.

y ahora os digo la manera de puntuarlo y la explicación...

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la puntuación se obtiene de manera muy simple: suma un punto por cada respuesta que hayas dado. el baremo de fluidez creativa sería algo así: (no hay que olvidar que esto es algo orientativo)

entre 0 y 14: fluidez deficiente
entre 15 y 20: fluidez baja
entre 21 y 24: fluidez suficiente
entre 25 y 38: buena fluidez
entre 29 y 32: muy buena fluidez
entre 33 y 36: fluidez notable
más de 36: fluidez sobresaliente

el intervalo de buena fluidez creativa es el más amplio. tal vez estas puntuaciones se hayan obtenido según la campana de gauss, y entre 25 y 38 respuestas es donde esté la mayoría.

he transcrito las preguntas tal como están en el libro, sin cambiar nada. la verdad es que la última no la entiendo muy bien, aunque es posible que a mucha gente no le dé tiempo a llegar a esa pregunta antes de que acabe el tiempo. quizá sea una pregunta "para sacar nota", y por eso es algo rebuscada.

también me parece curioso que en el test se alternan preguntas muy personales, y que hablan mucho de la persona que lo está realizando, con preguntas inocuas como la de las utilidades que se le pueden dar a una lata vacía. probablemente esté hecho así intencionadamente por algún motivo. por eso digo que este test da para pensar...

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la última vez que hice yo mismo estos tests fue un año largo antes de publicar en mi antiguo blog las entradas que acabáis de leer, es decir, en 2007. los he vuelto a hacer, pues ha pasado bastante tiempo para que haya diferencias significativas en los resultados.

en el primero, en general he pensado en personas distintas de la otra vez. supongo que significará que dependiendo de la época se valoran más -para bien o para mal- unos u otros rasgos de la personalidad.

en el segundo, la otra vez tuve una discreta puntuación de 22, y ahora peor todavía: he tenido sólo 18. :S aunque debo decir que he elegido una mala estrategia, que es ir pensando “ésta es difícil, la dejo para después”, “ésta también la dejo para después”,... porque así van transcurriendo segundos en los que no escribes nada.

espero que os hayan gustado estos cuestionarios. :)

municipios de españa

la idea para esta entrada me la dio un tío mío, hermano de mi padre. en una conversación que tuvimos hace unos meses en casa de mi abuela, durante una comida, mi tío habló de cómo la población de las ciudades había crecido en los últimos años a ritmo diferente para unas y para otras.

la idea es la siguiente: mientras que algunas ciudades han crecido muy rápidamente, a un ritmo mayor que el conjunto de españa, para otras el crecimiento se ha ralentizado, y su población es menor de la que tendrían si hubieran crecido en la misma proporción que toda españa. así pues, en cuanto al crecimiento de la población, se puede hablar de ‘ciudades venidas a más’ y ‘ciudades venidas a menos’.

se me ocurrió buscar los datos históricos de población para los principales municipios de españa, calcular la población que tendrían en el supuesto teórico de que todas hubieran crecido al mismo ritmo que el conjunto de todo el país, y compararla con la que tienen actualmente.

en la web del instituto nacional de estadística tienen todos los censos desde el año 1900. existen censos más antiguos y me habría gustado que estuvieran disponibles, porque cuanto más antiguos sean los datos, más diferencias significativas se pueden encontrar con la realidad actual.

el caso es que descargué los censos de todas las provincias para el año 1900, y pacientemente busqué los cifras de población para los municipios que actualmente superan los 20.000 habitantes. con eso ya tenía entretenimiento, hacerlo para todos habría sido una tarea inhumana. :D

así, comencé a elaborar una tabla, que es la que veréis más abajo. en la primera columna aparece el nombre del municipio y entre paréntesis la provincia a la que pertenece. no he puesto la comunidad autónoma para que la tabla no se extienda mucho en horizontal, pero me imagino que las provincias sabemos todos situarlas en sus comunidades autónomas, no? ;)

en la segunda columna aparece el número de habitantes en 2010, y es según ese criterio como están ordenadas las ciudades. en la tercera, el número de habitantes en 1900. y en la cuarta, la población hipotética que tendría cada ciudad si hubiera crecido en la misma proporción que toda españa.

cómo calculé eso? primero, buscando las cifras de población de toda españa en 2010 y en 1900, que son 47.021.031 y 18.618.086 habitantes, respectivamente. después, calculando el cociente entre la población de 2010 y la de 1900, que indica la proporción en que ha crecido la población. dividiendo 47.021.031 entre 18.618.086 se obtiene el cociente 2,5255566550. podemos decir, de forma simplificada, que españa actualmente tiene “dos veces y media” más de población que en el año 1900.

y por último, multipliqué las cifras de población de cada municipio en 1900 por ese número, obteniendo como resultado la población hipotética que tendrían si hubieran crecido al mismo ritmo de españa. no multipliqué todos uno por uno, eso me lo hizo excel en bloque divinamente. ;) salían decimales, pero redondeé los datos de toda la columna al entero más próximo, porque un número de habitantes, por mucho que sea en un supuesto teórico, tiene que ser un número entero.

en la quinta y última columna de la tabla aparece el cociente entre la población real de cada municipio en 2010 y la población hipotética calculada como acabamos de explicar. se obtiene una cifra que indica cómo ha crecido cada ciudad en comparación con el conjunto de españa. si es un número menor que 1, su crecimiento se ha ralentizado. si es aproximadamente igual a 1, ha crecido al ritmo medio de todas las ciudades. y si es mayor que 1, su crecimiento ha sido superior a la media, en mayor o menor medida según cómo sea de grande el número obtenido. los mayores valores de este cociente se dan en municipios, principalmente de madrid y de barcelona, que eran pequeñas aldeas y ahora tienen más habitantes que muchas capitales de provincia.

así es como he obtenido los datos de la tabla, pues. sólo me queda hacer dos aclaraciones más:

en negrita aparecen las capitales de provincia, en color morado las ciudades más grandes de cada provincia, y en cursiva las capitales de comunidad autónoma. he elegido, como veis, tres maneras de marcar el nombre de una ciudad que no son excluyentes entre sí, ya que se pueden cumplir los tres requisitos, o dos de ellos, o sólo uno, o ninguno.

y es que hay casos de ciudades que son la mayor de la provincia sin ser la capital, como es el caso de vigo en pontevedra, gijón en asturias, jerez de la frontera en cádiz, y talavera de la reina en toledo. y también hay capitales de comunidad autónoma que no son la capital de su provincia: santiago de compostela en galicia, y mérida en extremadura.

para varios municipios, no logré encontrar los datos de población del año 1900. en algunos casos, los menos, se trataba de ciudades modernas que no existían entonces. en otros casos, la localidad en cuestión estaba integrada dentro de otro municipio. y en otros, simplemente no aparecía en el censo la localidad que buscaba y no he sido capaz de saber por qué ni de averiguar si figuraba con otro nombre.

y dicho esto, aquí tenéis la tabla. me imagino que buscaréis los datos de las localidades con las que tengáis algún vínculo. ;)

-----municipio (provincia)--------------------2010------1900----hipotética----cociente
-----------------------------------------------(1)-------(2)-----------(3)-----(1)/(3)

001. Madrid (Madrid).......................3.273.049...539.835...1.363.384.....2,40068
002. Barcelona (Barcelona).................1.619.337...533.000...1.346.122.....1,20296
003. Valencia (Valencia).....................809.267...213.550.....539.333.....1,50050
004. Sevilla (Sevilla).......................704.198...148.315.....374.578.....1,87998
005. Zaragoza (Zaragoza).....................675.121....99.118.....250.328.....2,69694
006. Málaga (Málaga).........................568.507...130.109.....328.598.....1,73010
007. Murcia (Murcia).........................441.345...111.539.....281.698.....1,56673
008. Palma de Mallorca (Baleares)............404.681....63.937.....161.477.....2,50613
009. Las Palmas de G. C. (Las Palmas)........383.308....44.517.....112.430.....3,40930
010. Bilbao (Vizcaya)........................353.187....83.306.....210.394.....1,67869
011. Alicante (Alicante).....................334.418....50.142.....126.636.....2,64077
012. Córdoba (Córdoba).......................328.547....58.275.....147.177.....2,23233
013. Valladolid (Valladolid).................315.522....68.789.....173.731.....1,81616
014. Vigo (Pontevedra).......................297.124....23.259......58.742.....5,05813
015. Gijón (Asturias)........................278.258....47.544.....120.075.....2,31737
016. Hospitalet de Llobregat (Barcelona).....258.642.....4.948......12.496....20,69723
017. La Coruña (La Coruña)...................246.056....43.971.....111.051.....2,21570
018. Granada (Granada).......................239.154....75.900.....191.690.....1,24761
019. Vitoria (Álava).........................238.247....30.701......77.537.....3,07268
020. Elche (Alicante)........................230.822....27.308......68.968.....3,34680
021. Oviedo (Asturias).......................225.155....48.103.....121.487.....1,85333
022. Santa Cruz de Tenerife (Tenerife).......222.643....38.419......97.029.....2,29459
023. Badalona (Barcelona)....................218.886....19.240......48.592.....4,50460
024. Cartagena (Murcia)......................214.165....99.871.....252.230.....0,84909
025. Tarrasa (Barcelona).....................212.724....15.956......40.298.....5,27880
026. Jerez de la Frontera (Cádiz)............208.896....63.473.....160.305.....1,30312
027. Sabadell (Barcelona)....................207.338....23.294......58.830.....3,52434
028. Móstoles (Madrid).......................206.015.....1.344.......3.394....60,69354
029. Alcalá de Henares (Madrid)..............204.120....11.206......28.301.....7,21237
030. Fuenlabrada (Madrid)....................198.973.....2.211.......5.584....35,63266
031. Pamplona (Navarra)......................197.488....28.886......72.953.....2,70705
032. Almería (Almería).......................190.013....47.326.....119.524.....1,58974
033. Leganés (Madrid)........................187.227.....4.148......10.476....17,87198
034. San Sebastián (Guipúzcoa)...............185.506....37.812......95.496.....1,94255
035. Santander (Cantabria)...................181.589....54.694.....138.133.....1,31460
036. Castellón de la Plana (Castellón).......180.690....29.904......75.524.....2,39248
037. Burgos (Burgos).........................178.574....30.167......76.188.....2,34385
038. Albacete (Albacete).....................170.475....21.512......54.330.....3,13778
039. Getafe (Madrid).........................169.130.....4.444......11.224....15,06918
040. Alcorcón (Madrid).......................168.299.......657.......1.659...101,42828
041. Salamanca (Salamanca)...................154.462....25.690......64.882.....2,38068
042. Logroño (La Rioja)......................152.650....19.237......48.584.....3,14197
043. San Cristóbal de la Laguna (Tenerife)...152.222....13.074......33.019.....4,61012
044. Badajoz (Badajoz).......................150.376....30.899......78.037.....1,92698
045. Huelva (Huelva).........................149.310....21.359......53.943.....2,76790
046. Lérida (Lérida).........................137.387....21.432......54.128.....2,53820
047. Marbella (Málaga).......................136.322.....9.629......24.319.....5,60567
048. Tarragona (Tarragona)...................134.933....23.423......59.156.....2,28096
049. León (León).............................134.012....15.580......39.348.....3,40580
050. Cádiz (Cádiz)...........................125.826....69.382.....175.228.....0,71807
051. Dos Hermanas (Sevilla)..................125.086.....7.857......19.843.....6,30369
052. Mataró (Barcelona)......................122.905....19.704......49.764.....2,46978
053. Parla (Madrid)..........................120.182.....1.258.......3.177....37,82698
054. Santa Coloma de Gramanet (Barcelona)....120.060.....1.510.......3.814....31,48214
055. Torrejón de Ardoz (Madrid)..............118.441.....1.888.......4.768....24,83951
056. Jaén (Jaén).............................116.790....26.439......66.773.....1,74906
057. Algeciras (Cádiz).......................116.417....13.302......33.595.....3,46531
058. Alcobendas (Madrid).....................110.080.....1.347.......3.402....32,35815
059. Orense (Orense).........................108.674....15.194......38.373.....2,83202
060. Reus (Tarragona)........................106.622....26.681......67.384.....1,58230
061. Torrevieja (Alicante)...................101.091.....7.706......19.462.....5,19429
062. Telde (Las Palmas)......................100.900.....8.978......22.674.....4,44994
063. Baracaldo (Vizcaya)......................99.321....15.013......37.916.....2,61949
064. San Fernando (Cádiz).....................96.689....29.635......74.845.....1,29186
065. Lugo (Lugo)..............................96.635....26.959......68.086.....1,41930
066. Gerona (Gerona)..........................96.236....15.787......39.871.....2,41369
067. Santiago de Compostela (La Coruña).......94.824....24.120......60.916.....1,55662
068. Cáceres (Cáceres)........................94.179....16.933......42.765.....2,20223
069. Lorca (Murcia)...........................92.694....69.836.....176.375.....0,52555
070. Coslada (Madrid).........................91.218.......245.........619...147,42032
071. Talavera de la Reina (Toledo)............88.986....10.580......26.720.....3,33027
072. El Puerto de Santa María (Cádiz).........88.503....20.120......50.814.....1,74170
073. Las Rozas (Madrid).......................88.065.....1.041.......2.629....33,49620
074. Cornellá de Llobregat (Barcelona)........87.240.....2.197.......5.549....15,72275
075. Orihuela (Alicante)......................87.113....28.530......72.054.....1,20899
076. Roquetas de Mar (Almería)................85.808.....2.396.......6.051....14,18025
077. El Ejido (Almería).......................85.389
078. Avilés (Asturias)........................84.202....12.763......32.234.....2,61224
079. Guadalajara (Guadalajara)................83.789....11.144......28.145.....2,97707
080. Pozuelo de Alarcón (Madrid)..............82.804.....1.873.......4.730....17,50477
081. Toledo (Toledo)..........................82.489....23.317......58.888.....1,40077
082. San Baudilio de Llobregat (Barcelona)....82.411.....5.311......13.413.....6,14401
083. Palencia (Palencia)......................82.169....15.940......40.257.....2,04109
084. Pontevedra (Pontevedra)..................81.981....22.330......56.396.....1,45368
085. Sant Cugat del Vallés (Barcelona)........81.745.....2.120.......5.354....15,26751
086. Ceuta....................................80.579....13.269......33.512.....2,40451
087. Gandía (Valencia)........................81.468....10.026......25.321.....3,21738
088. Guecho (Vizcaya).........................80.277.....5.442......13.744.....5,84084
089. Torrente (Valencia)......................79.840.....8.561......21.621.....3,69266
090. Arona (Tenerife).........................79.377.....1.971.......4.978....15,94597
091. Chiclana de la Frontera (Cádiz)..........78.591....10.868......27.448.....2,86329
092. San Sebastián de los Reyes (Madrid)......78.157.....1.130.......2.854....27,38623
093. Mijas (Málaga)...........................76.362.....5.690......14.370.....5,31383
094. Manresa (Barcelona)......................76.209....23.252......58.724.....1,29774
095. Melilla..................................76.034.....8.956......22.619.....3,36153
096. Vélez-Málaga (Málaga)....................75.623....23.586......59.568.....1,26953
097. Ciudad Real (Ciudad Real)................74.345....15.255......38.527.....1,92967
098. Ferrol (La Coruña).......................73.638....25.281......63.849.....1,15332
099. Rubí (Barcelona).........................73.591.....4.400......11.112.....6,62239
100. Fuengirola (Málaga)......................71.783.....5.927......14.969.....4,79545
101. Alcalá de Guadaíra (Sevilla).............71.740.....8.198......20.705.....3,46494
102. Benidorm (Alicante)......................71.198.....3.417.......8.630.....8,25022
103. Rivas-Vaciamadrid (Madrid)...............70.840.......445.......1.124....63,03205
104. Majadahonda (Madrid).....................69.439.......806.......2.036....34,11232
105. Ponferrada (León)........................68.767.....7.188......18.154.....3,78804
106. Torremolinos (Málaga)....................66.957.....3.048.......7.698.....8,69809
107. Sanlúcar de Barrameda (Cádiz)............66.541....23.883......60.318.....1,10317
108. Villanueva y Geltrú (Barcelona)..........66.532....11.856......29.943.....2,22196
109. Sagunto (Valencia).......................66.259.....7.139......18.030.....3,67494
110. Estepona (Málaga)........................66.150.....9.310......23.513.....2,81335
111. Zamora (Zamora)..........................65.998....16.287......41.134.....1,60447
112. Valdemoro (Madrid).......................65.992.....2.833.......7.155.....9,22333
113. Paterna (Valencia).......................65.921.....3.509.......8.862.....7,43846
114. Molina de Segura (Murcia)................65.815.....8.615......21.758.....3,02491
115. Santa Lucía de Tirajana (Las Palmas).....64.845.....2.713.......6.852.....9,46389
116. La Línea de la Concepción (Cádiz)........64.645....31.862......80.469.....0,80335
117. Viladecans (Barcelona)...................64.077.....1.194.......3.016....21,24911
118. El Prat de Llobregat (Barcelona).........63.434.....2.804.......7.082.....8,95750
119. Castelldefels (Barcelona)................62.250.......289.........730....85,28731
120. Alcoy (Alicante).........................61.417....32.053......80.952.....0,75869
121. Benalmádena (Málaga).....................61.383.....2.046.......5.167....11,87915
122. Linares (Jaén)...........................61.306....38.245......96.590.....0,63470
123. Irun (Guipúzcoa).........................60.938.....9.912......25.033.....2,43428
124. Motril (Granada).........................60.884....18.528......46.794.....1,30112
125. Collado Villalba (Madrid)................59.900.....1.326.......3.349....17,88653
126. Granollers (Barcelona)...................59.691.....6.755......17.060.....3,49886
127. Sardañola del Vallés (Barcelona).........58.407.......928.......2.344....24,92068
128. Ávila (Ávila)............................58.245....11.885......30.016.....1,94045
129. Arrecife (Las Palmas)....................58.156.....3.082.......7.784.....7,47145
130. Mérida (Badajoz).........................57.127....11.168......28.205.....2,02539
131. Cuenca (Cuenca)..........................56.189....10.756......27.165.....2,06844
132. Torrelavega (Cantabria)..................55.888.....7.777......19.641.....2,84544
133. Segovia (Segovia)........................55.748....14.547......36.739.....1,51740
134. Aranjuez (Madrid)........................55.054....12.670......31.999.....1,72050
135. Elda (Alicante)..........................54.815.....6.131......15.484.....3,54006
136. San Vicente del Raspeig (Alicante).......54.088.....4.041......10.206.....5,29974
137. San Bartolomé de Tirajana (Las Palmas)...53.288.....4.644......11.729.....4,54339
138. Arganda del Rey (Madrid).................53.135.....4.053......10.236.....5,19095
139. Mollet del Vallés (Barcelona)............52.459.....2.130.......5.379.....9,75177
140. Huesca (Huesca)..........................52.347....12.626......31.888.....1,64161
141. Puertollano (Ciudad Real)................52.300.....7.548......19.063.....2,74355
142. Siero (Asturias).........................51.730....22.503......56.833.....0,91022
143. Calviá (Baleares)........................51.462.....2.567.......6.483.....7,93786
144. Villarreal (Castellón)...................51.367....16.068......40.581.....1,26580
145. Utrera (Sevilla).........................51.177....15.138......38.232.....1,33860
146. Ibiza (Baleares).........................49.516.....6.327......15.979.....3,09878
147. Portugalete (Vizcaya)....................47.856.....5.182......13.087.....3,65664
148. Santurce (Vizcaya).......................47.101.....7.781......19.651.....2,39683
149. Esplugas de Llobregat (Barcelona)........46.649.....1.057.......2.670....17,47472
150. Gavá (Barcelona).........................46.649.....1.825.......4.609....10,12098
151. Langreo (Asturias).......................45.397....18.714......47.263.....0,96051
152. Antequera (Málaga).......................45.234....31.609......79.830.....0,56663
153. Alcira (Valencia)........................44.758....20.572......51.956.....0,86146
154. Boadilla del Monte (Madrid)..............44.709.......778.......1.965....22,75403
155. Pinto (Madrid)...........................44.524.....2.669.......6.741.....6,60524
156. Denia (Alicante).........................44.498....12.431......31.395.....1,41735
157. Colmenar Viejo (Madrid)..................44.437.....5.255......13.272.....3,34823
158. Figueras (Gerona)........................44.255....10.714......27.059.....1,63551
159. Adeje (Tenerife).........................43.801.....1.705.......4.306....10,17191
160. Mislata (Valencia).......................43.792.....1.411.......3.564....12,28883
161. Mieres (Asturias)........................43.688....18.083......45.670.....0,95661
162. San Feliú de Llobregat (Barcelona).......43.112.....3.314.......8.370.....5,15096
163. Basauri (Vizcaya)........................42.452.....2.056.......5.193.....8,17557
164. Lucena (Córdoba).........................42.308....21.179......53.489.....0,79097
165. Mairena del Aljarafe (Sevilla)...........41.510.....1.178.......2.975....13,95245
166. Plasencia (Cáceres)......................41.447.....8.208......20.730.....1,99940
167. La Orotava (Tenerife)....................41.427.....9.192......23.215.....1,78450
168. San Fernando de Henares (Madrid).........41.384.......851.......2.149....19,25510
169. Alcantarilla (Murcia)....................41.326.....4.972......12.557.....3,29105
170. Tres Cantos (Madrid).....................41.147
171. Granadilla de Abona (Tenerife)...........40.862.....3.376.......8.526.....4,79248
172. Manacor (Baleares).......................40.859....12.408......31.337.....1,30385
173. Puerto Real (Cádiz)......................40.667....10.535......26.607.....1,52845
174. Écija (Sevilla)..........................40.534....24.372......61.553.....0,65852
175. Vic (Barcelona)..........................40.422....11.628......29.367.....1,37643
176. Blanes (Gerona)..........................40.010.....4.969......12.549.....3,18818
177. Rincón de la Victoria (Málaga)...........39.922.....4.828......12.193.....3,27407
178. Soria (Soria)............................39.838.....7.151......18.060.....2,20584
179. Lloret de Mar (Gerona)...................39.794.....3.242.......8.188.....4,86013
180. Andújar (Jaén)...........................39.171....16.302......41.172.....0,95141
181. Igualada (Barcelona).....................39.149....10.442......26.372.....1,48450
182. Miranda de Ebro (Burgos).................39.038.....6.199......15.656.....2,49350
183. Rentería (Guipúzcoa).....................39.020.....4.081......10.307.....3,78585
184. Tomelloso (Ciudad Real)..................38.641....13.929......35.178.....1,09843
185. Narón (La Coruña)........................38.285.....8.333......21.045.....1,81916
186. Villafranca del Panadés (Barcelona)......38.218.....7.749......19.571.....1,95283
187. Burjasot (Valencia)......................38.170.....4.009......10.125.....3,76989
188. Onteniente (Valencia)....................37.935....11.430......28.867.....1,31413
189. Villagarcía de Arosa (Pontevedra)........37.926.....7.312......18.467.....2,05373
190. Los Realejos (Tenerife)..................37.658.....7.039......17.777.....2,11831
191. Los Palacios y Villafranca (Sevilla).....37.279.....5.438......13.734.....2,71436
192. Ripollet (Barcelona).....................37.151.....1.501.......3.791.....9,80015
193. Ronda (Málaga)...........................36.909....20.995......53.024.....0,69608
194. Arucas (Las Palmas)......................36.745.....9.367......23.657.....1,55325
195. Llucmajor (Baleares).....................36.681.....8.859......22.374.....1,63945
196. La Rinconada (Sevilla)...................36.641.......895.......2.260....16,21015
197. Don Benito (Badajoz).....................36.227....16.565......41.836.....0,86593
198. El Vendrell (Tarragona)..................36.028.....4.782......12.077.....2,98314
199. Úbeda (Jaén).............................36.025....19.913......50.291.....0,71633
200. Alhaurín de la Torre (Málaga)............35.832.....3.973......10.034.....3,57105
201. Puerto del Rosario (Las Palmas)..........35.702.....3.973......10.034.....3,55809
202. Mazarrón (Murcia)........................35.464....23.284......58.805.....0,60308
203. Cieza (Murcia)...........................35.385....13.626......34.413.....1,02824
204. Tudela (Navarra).........................35.268.....9.449......23.864.....1,47788
205. Teruel (Teruel)..........................35.241....10.797......27.268.....1,29237
206. Villena (Alicante).......................34.968....14.099......35.608.....0,98203
207. Yecla (Murcia)...........................34.945....18.743......47.337.....0,73823
208. Águilas (Murcia).........................34.900....15.868......40.076.....0,87086
209. Burriana (Castellón).....................34.896....12.962......32.736.....1,06597
210. Petrer (Alicante)........................34.643.....3.928.......9.920.....3,49210
211. Tortosa (Tarragona)......................34.473....24.452......61.755.....0,55822
212. Villajoyosa (Alicante)...................34.344.....8.902......22.483.....1,52759
213. San Adrián de Besós (Barcelona)..........34.104.......418.......1.056....32,30516
214. Almendralejo (Badajoz)...................33.975....12.587......31.789.....1,06876
215. Marrachí (Baleares)......................33.883.....3.815.......9.635.....3,51666
216. Azuqueca de Henares (Guadalajara)........33.735.......476.......1.202....28,06187
217. Moncada y Reixach (Barcelona)............33.656.....1.710.......4.319.....7,79308
218. Olot (Gerona)............................33.589.....7.938......20.048.....1,67544
219. Oleiros (La Coruña)......................33.550.....6.972......17.608.....1,90536
220. Aranda de Duero (Burgos).................33.154.....5.736......14.487.....2,28860
221. Vall de Uxó (Castellón)..................32.983.....8.643......21.828.....1,51101
222. Santa Eulalia del Río (Baleares).........32.637.....4.748......11.991.....2,72171
223. Puerto de la Cruz (Tenerife).............32.571.....5.562......14.047.....2,31869
224. Santa Pola (Alicante)....................32.507.....4.100......10.355.....3,13932
225. Torre Pacheco (Murcia)...................32.471.....8.549......21.591.....1,50391
226. Cambrils (Tarragona).....................32.422.....2.653.......6.700.....4,83889
227. Galapagar (Madrid).......................32.393.......894.......2.258....14,34685
228. San Juan Despí (Barcelona)...............32.338.....1.172.......2.960....10,92518
229. Castro-Urdiales (Cantabria)..............32.258....14.191......35.840.....0,90005
230. Jávea (Alicante).........................31.909.....6.606......16.684.....1,91257
231. San Javier (Murcia)......................31.820.....4.489......11.337.....2,80668
232. Barberá del Vallés (Barcelona)...........31.688.......780.......1.970....16,08582
233. Camargo (Cantabria)......................31.552.....4.923......12.433.....2,53770
234. Arcos de la Frontera (Cádiz).............31.449....13.926......35.171.....0,89418
235. Valdepeñas (Ciudad Real).................31.370....21.015......53.075.....0,59106
236. San Andrés del Rabanedo (León)...........31.306.....2.084.......5.263.....5,94802
237. Carballo (La Coruña).....................31.149....13.032......32.913.....0,94640
238. Alcázar de San Juan (Ciudad Real)........31.120....11.499......29.041.....1,07157
239. Hellín (Albacete)........................31.109....12.558......31.716.....0,98086
240. Chirivella (Valencia)....................30.910.....1.429.......3.609.....8,56465
241. Manises (Valencia).......................30.508.....3.577.......9.034.....3,37705
242. Salt (Gerona)............................30.304.....2.280.......5.758.....5,26269
243. Aldaya (Valencia)........................30.303.....2.906.......7.339.....4,12889
244. Alacuás (Valencia).......................30.270.....2.370.......5.986.....5,05716
245. Lejona (Vizcaya).........................30.262.....1.846.......4.662.....6,49096
246. Arteijo (La Coruña)......................30.255.....9.629......24.319.....1,24411
247. Puente Genil (Córdoba)...................30.245....12.956......32.721.....0,92433
248. Redondela (Pontevedra)...................30.067....10.843......27.385.....1,09795
249. Calpe (Alicante).........................29.909.....2.415.......6.099.....4,90374
250. Ingenio (Las Palmas).....................29.640.....3.486.......8.804.....3,36662
251. San Roque (Cádiz)........................29.588.....8.569......21.641.....1,36719
252. Agüimes (Las Palmas).....................29.431.....2.889.......7.296.....4,03367
253. Játiva (Valencia)........................29.361....12.600......31.822.....0,92266
254. Totana (Murcia)..........................29.333....13.703......34.608.....0,84759
255. Inca (Baleares)..........................29.321.....7.579......19.141.....1,53183
256. Galdácano (Vizcaya)......................29.254.....2.825.......7.135.....4,10024
257. Ciudadela de Menorca (Baleares)..........29.547.....8.611......21.748.....1,35863
258. Sestao (Vizcaya).........................29.224....10.833......27.359.....1,06815
259. Mahón (Baleares).........................29.050....17.144......43.298.....0,67093
260. Sueca (Valencia).........................28.926....14.435......36.456.....0,79344
261. Rota (Cádiz).............................28.904.....7.471......18.868.....1,53187
262. Crevillente (Alicante)...................28.738....10.726......27.089.....1,06087
263. Culleredo (La Coruña)....................28.738.....7.495......18.929.....1,51820
264. Coria del Río (Sevilla)..................28.654.....6.101......15.408.....1,85963
265. Carmona (Sevilla)........................28.576....17.215......43.477.....0,65726
266. Morón de la Frontera (Sevilla)...........28.467....14.190......35.838.....0,79433
267. San Pedro de Ribas (Barcelona)...........28.399.....2.081.......5.256.....5,40348
268. Algemesí (Valencia)......................28.329.....8.127......20.525.....1,38021
269. Oliva (Valencia).........................28.307.....7.956......20.093.....1,40878
270. Vinaroz (Castellón)......................28.273.....8.625......21.783.....1,29794
271. Durango (Vizcaya)........................28.261.....4.319......10.908.....2,59088
272. Níjar (Almería)..........................28.242....12.497......31.562.....0,89481
273. Sitges (Barcelona).......................28.261.....3.162.......7.986.....3,53890
274. San Vicente dels Horts (Barcelona).......28.024.....1.809.......4.569.....6,13387
275. Ames (La Coruña).........................27.900.....7.097......17.924.....1,55658
276. Premiá de Mar (Barcelona)................27.802.....2.239.......5.655.....4,91660
277. Almuñécar (Granada)......................27.703.....8.022......20.260.....1,36737
278. Ribeira (La Coruña)......................27.504....12.218......30.857.....0,89133
279. Éibar (Guipúzcoa)........................27.378.....6.583......16.626.....1,64672
280. Catarroja (Valencia).....................27.175.....7.043......17.787.....1,52776
281. Novelda (Alicante).......................27.104....11.388......28.761.....0,94239
282. Salou (Tarragona)........................27.016
283. Campello (Alicante)......................26.941
284. Martorell (Barcelona)....................26.815.....3.221.......8.135.....3,29632
285. Lebrija (Sevilla)........................26.783....10.997......27.774.....0,96433
286. Lepe (Huelva)............................26.763.....5.125......12.943.....2,06768
287. Villaviciosa de Odón (Madrid)............26.725.....1.569.......3.963.....6,74431
288. Villarrobledo (Albacete).................26.686....10.133......25.591.....1,04277
289. San Andrés de la Barca (Barcelona).......26.682.......814.......2.056....12,97887
290. Benicarló (Castellón)....................26.616.....7.251......18.313.....1,45341
291. Caravaca de la Cruz (Murcia).............26.449....15.846......40.020.....0,66090
292. Villanueva de la Serena (Badajoz)........26.111....13.489......34.067.....0,76645
293. Camas (Sevilla)..........................26.086.....1.850.......4.672.....5,58314
294. Jumilla (Murcia).........................26.015....16.446......41.535.....0,62633
295. Marín (Pontevedra).......................25.997.....9.228......23.306.....1,11547
296. Cangas (Pontevedra)......................25.913.....8.011......20.232.....1,28078
297. Pineda de Mar (Barcelona)................25.893.....1.807.......4.564.....5,67371
298. Onda (Castellón).........................25.778.....6.595......16.656.....1,54767
299. Almansa (Albacete).......................25.654....11.180......28.236.....0,90857
300. Almazora (Castellón).....................25.628.....7.076......17.871.....1,43407
301. Cuart de Poblet (Valencia)...............25.472.....1.814.......4.581.....5,55992
302. Santa Perpetua de Moguda (Barcelona).....25.191.....1.742.......4.400.....5,72585
303. Valls (Tarragona)........................25.158....12.625......31.885.....0,78902
304. Candelaria (Tenerife)....................24.140.....2.345.......5.922.....4,07603
305. Calahorra (La Rioja).....................24.876.....9.475......23.930.....1,03955
306. Martos (Jaén)............................24.707....17.078......43.131.....0,57283
307. Adra (Almería)...........................24.512....11.188......28.256.....0,86750
308. Gáldar (Las Palmas)......................24.473.....5.278......13.330.....1,83595
309. Calafell (Tarragona).....................24.423.....1.257.......3.175.....7,69319
310. Erandio (Vizcaya)........................24.294.....6.385......16.126.....1,50654
311. Molins de Rey (Barcelona)................24.236.....2.936.......7.415.....3,26849
312. Icod de los Vinos (Tenerife).............24.231.....6.706......16.936.....1,43071
313. Altea (Alicante).........................24.006.....5.977......15.095.....1,59030
314. Paiporta (Valencia)......................23.980.....2.296.......5.799.....4,13543
315. Montilla (Córdoba).......................23.907....13.603......34.355.....0,69588
316. San Pedro del Pinatar (Murcia)...........23.903.....2.647.......6.685.....3,57554
317. Ibi (Alicante)...........................23.861.....3.653.......9.226.....2,58632
318. Cullera (Valencia).......................23.813....11.947......30.173.....0,78922
319. Alhaurín el Grande (Málaga)..............23.675.....8.601......21.722.....1,08989
320. Olesa de Montserrat (Barcelona)..........23.646.....3.554.......8.976.....2,63441
321. Cambre (La Coruña).......................23.621.....6.722......16.977.....1,39137
322. Tacoronte (Tenerife).....................23.615.....4.204......10.617.....2,22417
323. Priego de Córdoba (Córdoba)..............23.563....16.904......42.692.....0,55193
324. Vícar (Almería)..........................23.410.......802.......2.025....11,55766
325. Puenteareas (Pontevedra).................23.316....13.452......33.974.....0,68629
326. Tomares (Sevilla)........................23.310.......687.......1.735....13,43471
327. Castellar del Vallés (Barcelona).........23.129.....3.511.......8.867.....2,60837
328. Navalcarnero (Madrid)....................23.115.....3.854.......9.733.....2,37479
329. Muchamiel (Alicante).....................23.066.....3.606.......9.107.....2,53273
330. Liria (Valencia).........................22.997.....8.864......22.387.....1,02727
331. Barbate (Cádiz)..........................22.977
332. San José (Baleares)......................22.871.....3.989......10.074.....2,27020
333. Castrillón (Asturias)....................22.832.....6.162......15.562.....1,46712
334. Mejorada del Campo (Madrid)..............22.812.....1.025.......2.589.....8,81216
335. Alcalá la Real (Jaén)....................22.759....15.973......40.341.....0,56417
336. Zarauz (Guipúzcoa).......................22.658.....2.838.......7.168.....3,16120
337. Ciempozuelos (Madrid)....................22.656.....4.008......10.122.....2,23820
338. Mogán (Las Palmas).......................22.638.......768.......1.940....11,67131
339. Palafrugell (Gerona).....................22.622.....7.087......17.899.....1,26390
340. Los Barrios (Cádiz)......................22.587.....5.287......13.353.....1,69158
341. Pilar de la Horadada (Alicante)..........22.555
342. El Masnou (Barcelona)....................22.536.....3.396.......8.577.....2,62756
343. Illescas (Toledo)........................22.482.....1.728.......4.364.....5,15150
344. Alboraya (Valencia)......................22.409.....4.700......11.870.....1,88785
345. La Oliva (Las Palmas)....................22.351.....2.464.......6.223.....3,59169
346. Almonte (Huelva).........................22.204.....6.917......17.469.....1,27103
347. Cártama (Málaga).........................22.173.....5.625......14.206.....1,56079
348. San Juan de Alicante (Alicante)..........22.138.....3.326.......8.400.....2,63548
349. San Antonio Abad (Baleares)..............22.136.....4.263......10.766.....2,05602
350. Torrelodones (Madrid)....................22.117.......364.........919....24,05845
351. Laguna de Duero (Valladolid).............22.110.....1.098.......2.773.....7,97314
352. Esparreguera (Barcelona).................22.042.....4.209......10.630.....2,07355
353. Coín (Málaga)............................22.030....12.326......31.130.....0,70768
354. Mondragón (Guipúzcoa)....................22.011.....3.713.......9.377.....2,34724
355. Baza (Granada)...........................21.982....12.770......32.251.....0,68158
356. San Felíu de Guixols (Gerona)............21.975....11.333......28.622.....0,76776
357. Nerja (Málaga)...........................21.957.....7.112......17.962.....1,22243
358. Armilla (Granada)........................21.895.....1.304.......3.293.....6,64829
359. Moncada (Valencia).......................21.847.....3.589.......9.064.....2,41025
360. La Estrada (Pontevedra)..................21.828....23.916......60.401.....0,36138
361. Isla Cristina (Huelva)...................21.719.....5.969......15.075.....1,44073
362. Calatayud (Zaragoza).....................21.717....11.526......29.110.....0,74604
363. Barañáin (Navarra).......................21.705
364. Loja (Granada)...........................21.688....19.198......48.486.....0,44731
365. Medina del Campo (Valladolid)............21.632.....5.971......15.080.....1,43447
366. Palma del Río (Córdoba)..................21.605.....7.914......19.987.....1,08094
367. Requena (Valencia).......................21.448....16.236......41.005.....0,52306
368. Vilaseca (Tarragona).....................21.373.....3.101.......7.832.....2,72902
369. Amposta (Tarragona)......................21.365.....4.226......10.673.....2,00178
370. Alfaz del Pi (Alicante)..................21.332.....1.186.......2.995.....7,12180
371. Conil de la Frontera (Cádiz).............21.331.....5.579......14.090.....1,51390
372. Las Torres de Cotillas (Murcia)..........21.282.....2.606.......6.582.....3,23356
373. Piélagos (Cantabria).....................21.268.....5.698......14.391.....1,47791
374. Cabra (Córdoba)..........................21.266....13.127......33.153.....0,64145
375. Bétera (Valencia)........................21.220.....2.855.......7.210.....2,94295
376. Lalín (Pontevedra).......................21.216....16.238......41.010.....0,51734
377. Puebla de Vallbona (Valencia)............21.111.....3.491.......8.817.....2,39443
378. Mairena del Alcor (Sevilla)..............21.100.....4.479......11.312.....1,86528
379. Maracena (Granada).......................21.097.....2.728.......6.890.....3,06210
380. San Juan de Aznalfarache (Sevilla).......21.025.......859.......2.169.....9,69138
381. Rojales (Alicante).......................20.953.....2.542.......6.420.....3,26372
382. Los Llanos de Aridane (Tenerife).........20.948.....6.638......16.765.....1,24953
383. Carcagente (Valencia)....................20.935....12.262......30.968.....0,67601
384. Baena (Córdoba)..........................20.862....14.539......36.719.....0,56815
385. Ribarroja del Turia (Valencia)...........20.755.....3.624.......9.153.....2,26766
386. Alfafar (Valencia).......................20.730.....2.552.......6.445.....3,21634
387. Pájara (Las Palmas)......................20.622.....1.182.......2.985.....6,90806
388. Ayamonte (Huelva)........................20.597.....7.530......19.017.....1,08306
389. Guía de Isora (Tenerife).................20.535.....3.323.......8.392.....2,44685
390. Algete (Madrid)..........................20.481.....1.181.......2.983.....6,86664
391. Manlleu (Barcelona)......................20.450.....5.823......14.706.....1,39056
392. Rosas (Gerona)...........................20.418.....2.690.......6.794.....3,00541
393. Guadix (Granada).........................20.407....12.652......31.953.....0,63865
394. Aspe (Alicante)..........................20.360.....7.927......20.020.....1,01698
395. Alhama de Murcia (Murcia)................20.269.....8.461......21.369.....0,94854
396. Teguise (Las Palmas).....................20.105.....3.786.......9.562.....2,10265
397. Moguer (Huelva)..........................20.040.....8.455......21.354.....0,93848

más gatos

en febrero de este año os mostré una colección de fotos de gatitos que hice en diferentes lugares... poco tiempo después tuve la posibilidad de fotografiar más mininos, en concreto en las calles y jardines de jumilla, y en los balnearios de fortuna y de archena, que los estuvimos visitando. es decir, que todos los gatos que os voy a mostrar en esta ocasión son murcianicos. ;)

y al igual que en la otra entrada, podemos tratar de imaginarnos lo que están pensando estos simpáticos felinos...

a ver si hay suerte y se les cae algo al suelo a estos que están tomando el aperitivo...

hay que ver! piden permiso a mis amos para fotografiarme, y mi opinión no cuenta. quiero cobrar derechos de imagen!

verdad que me parezco a los leones de los documentales? me llaman ‘leoncito’.

hola, somos ‘calcita’ y ‘lignito’, y como ves, estamos muy unidos.

pronto podréis llamarme ‘mamá gata’, como en los cuentos. veremos cuántos tengo!

que yo traigo mala suerte? no iréis a creer en esas tontas supersticiones!

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y ahora es momento para dar las gracias a lucía por este simpático premio que me ha concedido. muchas gracias, lucía, por acordarte de mí! :)

me falta concedérselo a alguien, en teoría a cinco personas. pero, para que se propague más despacio, se lo voy a dar sólo a una, que va a ser mi amiga wendy. aparte de que te lo mereces, como sé que a ti también te gustan los gatitos, me he acordado de ti. ;)

triángulo mágico

estoy preparando una entrada que requiere cierta elaboración... mientras tanto, hoy que ha salido el esperado tomo 17 de esther, os contaré una curiosidad sobre nuestra pecosa favorita.


esta imagen de esther vestida de gitana pertenece a una historia en la que nuestra amiga se ve sometida a un influjo hipnótico que la obliga a bailar.

la silueta de esther en esta ilustración siempre me había parecido que tenía una cierta forma triangular... hace unos cuantos meses se me ocurrió escanear el dibujo para ver más fácilmente si en él se podían encontrar líneas rectas que formaran un triángulo cerrado.

primero tracé una línea recta paralela al brazo izquierdo de esther, y que fuera tangente a la cresta superior del volante del vestido.

a continuación observé que se podía trazar otra línea perpendicular a la primera, que pasara tangencialmente por la parte del volante del vestido ascendente en diagonal. esta segunda línea pasaba, además, por los zapatos.

dos de los lados del posible triángulo eran perpendiculares entre sí. por tanto, me encontraba ante un triángulo rectángulo, del cual ya tenía los catetos, y me faltaba el tercer lado para cerrarlo, la hipotenusa.

la hipotenusa debía pasar aproximadamente por el codo derecho y por la rodilla izquierda de esther. imaginé por un momento una línea que pasara por esos puntos, y estimé por dónde cortaría a los dos catetos, cuyas longitudes aún estaban por delimitar.

el triángulo que iba a obtener se asemejaba mucho al de lados 3, 4 (catetos) y 5 (hipotenusa), del que hablé en esta entrada.

se me ocurrió medir con la regla, desde el vértice común a los dos catetos, 12 cm en la dirección del cateto que pasaba por el brazo izquierdo. en la escala en que estaba el dibujo escaneado, esta medición se aproximaba bastante a la dimensión de ese lado de la silueta de esther.

análogamente, desde el mismo vértice, medí 16 cm en la dirección del cateto que pasaba por los zapatos. comprobé que la hipotenusa, que cerraba el triángulo, iba a pasar por el codo derecho de esther y aproximadamente por su rodilla izquierda, y por tanto los catetos estaban acotados correctamente.

ahora bien, si los catetos medían 12 y 16 cm, cuánto mediría la hipotenusa? por el teorema de pitágoras, la suma de los cuadrados de 12 y de 16 es justamente el cuadrado de 20. la hipotenusa ya sabía a priori que mediría 20 cm. y es que me encontré ante un triángulo proporcional al de lados {3,4,5}. si sus lados -siempre en la escala del dibujo- medían {12,16,20}, se trataba del mismo triángulo, pero multiplicado por un factor de escala 4.

así pues, llegué a esta conclusión: la imagen de esther flamenca no sólo tiene una silueta triangular, sino que además esa silueta es nada menos que el célebre triángulo {3,4,5}.

en la última edición del expocomic, que tuvo lugar en diciembre del año pasado, tuvimos oportunidad de ver en persona a la dibujante de esther, la gran purita campos, como ya viene siendo costumbre en este evento.

le pregunté si para dibujar esa ilustración se basó en un patrón triangular, pero me dijo que no, que fue dibujando las diferentes partes del cuerpo de esther en movimiento y que al final adquirió esa forma.

en cualquier caso, se trata de una de las muchas ilustraciones de purita que se pueden considerar obras de arte. la forma triangular mágica que subyace puede tener que ver con el influjo hipnótico bajo el que se encontraba esther... ;)