jueves, 18 de noviembre de 2010

polígonos

esta entrada va dedicada a riesgho, por ser quien me dio la idea. además sé que a ella le gustan estas cosas. :)

voy a contaros lo mejor que sepa cómo se construyen gráficamente algunos polígonos regulares. se entiende por ‘gráficamente’, empleando tan sólo lápiz, regla, escuadra/cartabón y compás. la regla se utilizará para trazar líneas rectas, no se realizará ninguna medición con ella. asimismo, tampoco se utilizará medidor de ángulos, no será necesario.

empezaremos por el polígono regular más sencillo, que es el triángulo equilátero. es también el más fácil de dibujar.

los pasos a seguir son los siguientes: trazamos con la regla una línea recta horizontal (aunque en realidad podría tener cualquier dirección, pero lo hacemos así para que se vea más claro) de la longitud que queramos: [1]. a continuación abrimos el compás con un radio igual a esa longitud que hemos trazado.

pinchamos con el compás en cada uno de los extremos de la línea base, y trazamos sendos arcos que se corten en un punto: [2] y [3]. unimos los extremos de la línea con ese punto de corte, y sin darnos cuenta ya tenemos trazados los tres lados del triángulo: [4] y [5].


el siguiente polígono regular que analizaremos es el cuadrado. también es muy sencillo de dibujar, y dada su regularidad y simetría, existen muchos métodos alternativos para hacerlo.

una manera de dibujarlo es la siguiente: trazamos una línea recta de la longitud que queramos, que será la base: [1]. desde uno cualquiera de los extremos de esta línea, trazamos una perpendicular con ayuda de la escuadra y el cartabón: [2].

abrimos el compás con un radio igual a la longitud que le hemos dado al lado base. pinchamos el compás en el punto desde donde acabamos de trazar la línea perpendicular a la base, y trazamos un arco que corte a dicha perpendicular: [3]. y atención, desde el punto de corte de ese pequeño arco con la perpendicular, ahora trazamos una paralela a la base: [4].

ahora tenemos varias alternativas para terminar de dibujar el cuadrado. la que seguiremos será trazar otra línea perpendicular a la base desde el otro extremo de ésta: [5]. de ese modo el cuadrado queda cerrado automáticamente, y ya no hemos tenido que repetir el paso de llevar con el compás la longitud del lado ni nada de eso...

el pentágono regular es complicado de dibujar, mientras que el hexágono regular es relativamente sencillo. por eso empezaremos por el hexágono, y el pentágono lo dejaremos para el final.

esta vez el primer paso no será trazar una línea recta. lo primero que haremos será trazar una circunferencia del radio que deseemos: [1]. si queremos la podemos hacer en trazo tenue, al ser una figura auxiliar que no debe eclipsar a la estrella, que será el hexágono. ;)

mantenemos el compás abierto con ese radio. pinchamos en un punto cualquiera de la circunferencia (del perímetro exterior), y trazamos un pequeño arco que corte a la propia circunferencia: [2].

pinchamos con el compás en el punto de corte de ese arco con la circunferencia, y trazamos un nuevo arco que corte a ésta: [3]. repetimos el proceso: [4], [5] y [6].

este método se basa en la propiedad de que el lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual al radio de dicha circunferencia. si desde [6] pinchamos y trazamos otro arco, cortará sobre el punto donde hemos pinchado por primera vez. se veía venir...

y por último, unimos los puntos de corte de los pequeños arcos con la circunferencia base que hemos trazado al principio, y ya tenemos dibujado el hexágono. como este último paso es igual en todos los casos y lo más difícil ya está hecho, he empleado sólo un número para denotarlo: [7].


vamos, por fin, con el pentágono, que como digo es complicado. hay que explicar algunos conceptos preliminares antes de abordar su construcción gráfica.

la propiedad del pentágono en la que nos vamos a apoyar es la siguiente: la proporción entre la longitud de una ‘diagonal’ cualquiera -es decir, una línea que una dos vértices no consecutivos cualesquiera- y la longitud del lado del pentágono es igual al número áureo. es decir, la longitud de una ‘diagonal’ del pentágono es la longitud del lado multiplicada por el número áureo.

el valor del número áureo es (1+√5)/2. este valor se deduce de la propia definición de la proporción áurea, y de eso hablaré más detenidamente en una futura entrada. ;) lo que nos interesa en este caso es que ese número, cuyo valor se puede aproximar tanto como se quiera según dónde se trunque la serie infinita de decimales que tiene (1.61803398875...), lo podemos representar gráficamente.

(1+√5)/2 es lo mismo que 1/2+√5/2. la proporción 1/2 es muy sencilla de obtener gráficamente: dada una longitud, obtenemos su mitad, trazando la mediatriz, por ejemplo. en cuanto a la proporción √5/2, será la mitad de la proporción √5. y cómo obtenemos la proporción √5? cuál es su equivalente geométrico? vamos a verlo.

dado un triángulo rectángulo con catetos de longitudes 1 y 2 unidades, por el teorema de pitágoras, la longitud de la hipotenusa será √5. en general, para cualquier triángulo rectángulo en el que los catetos estén en proporción 1:2, la longitud de la hipotenusa será √5 por la longitud del cateto menor.


por tanto, para un triángulo rectángulo cuyos catetos midan, esta vez, 1/2 y 1 unidades de longitud, la hipotenusa irá reducida en la misma proporción: medirá √5/2. con esto nos vamos a quedar para la construcción del pentágono.

lo primero que haremos será trazar una línea horizontal de una amplitud considerable, pues sobre ella tendremos que hacer diversas construcciones auxiliares. sobre parte de esa línea marcamos en un trazo más grueso el lado base del pentágono, con la longitud que queramos: [1].

abrimos el compás con un radio igual a la longitud del lado. desde un extremo de éste trazamos un arco que corte a la larga línea recta que hemos trazado para posteriores construcciones: [2]. de algún modo, hemos trazado un nuevo segmento de longitud igual al lado base. lo que haremos ahora con ese segmento será “partirlo por la mitad”. cómo? trazando su mediatriz.

nos situamos en los extremos de esa línea. desde cada uno de ellos trazamos dos arcos de cualquier radio (eso ahora mismo no importa) con tal de que se corten por encima de la línea: [3]. algo parecido a lo que hacíamos para dibujar el triángulo. ahora volvemos a hacer lo mismo: trazamos desde los extremos de la línea dos arcos que se corten, pero esta vez se cortarán por debajo: [4]. unimos los puntos de corte que hemos obtenido en [3] y [4] y nos sale una recta perpendicular que corta por la mitad a la línea en cuestión.

desde el extremo exterior de esa línea que acabamos de partir por la mitad, trazamos una perpendicular con la escuadra y el cartabón: [5]. abrimos el compás con un radio igual al lado base del pentágono, pinchamos en ese extremo desde el que hemos trazado la línea perpendicular, y trazamos un arco que corte a la misma: [6]. os recordará a lo que hicimos para el cuadrado.

ahora podemos unir ese último punto de corte obtenido en [6] con el punto medio resultante de dividir en dos mitades iguales la línea auxiliar de longitud igual al lado del pentágono. los unimos y obtenemos una línea diagonal: [7]. este paso no es estrictamente necesario, pero sirve para comprender lo que estamos haciendo.

hemos obtenido un triángulo rectángulo cuyos catetos miden -tomando el lado del pentágono como unidad de referencia sobre la cual establecemos las proporciones- 1/2 y 1 unidades (el horizontal y el vertical, respectivamente). cuánto medirá entonces la hipotenusa, que es la línea que hemos trazado en [7]? por lo que hemos explicado unos párrafos más arriba, medirá √5/2.

atención a lo que hacemos ahora: pinchamos el compás en el punto de corte de la mediatriz con la línea auxiliar, y lo abrimos con un radio igual a la última diagonal que hemos trazado. dicho de otro modo, lo abrimos hasta el extremo de esa diagonal. a partir de ahí, trazamos un arco con ese radio que vaya bajando hasta que corte a la larga línea horizontal que trazamos al principio de todo: [8].

la distancia que hay desde el extremo del lado base hasta el punto de corte de la mediatriz con la línea auxiliar es 1/2 -considerando que el lado del pentágono mide 1 unidad-. y la distancia que va desde el punto de corte de la mediatriz hasta el punto de corte del arco que acabamos de trazar y que hemos obtenido en [8] es √5/2. lo que hemos hecho es poner las dos distancias seguidas sobre una misma línea recta, de tal manera que se puedan sumar. así, hemos obtenido gráficamente el valor 1/2+√5/2, o lo que es lo mismo, (1+√5)/2: la proporción áurea.

lo más difícil ya está hecho, lo que queda es mecánico. abrimos el compás con un radio que va desde el extremo del lado base hasta el último punto de corte, obtenido en [8]. este radio no es otro que el número áureo, o para decirlo con mayor propiedad, la longitud del lado del pentágono multiplicada por el número áureo.

desde los extremos del lado base del pentágono trazamos dos arcos con ese ‘radio áureo’ que se corten en un punto: [9] y [10]. aunque no es necesario, podemos unir ese punto de corte con los extremos del lado base: [11] y [12]. es un triángulo isósceles cuya base es el lado del pentágono y cuyos lados laterales son las ‘diagonales’. es como el ‘armazón interno’ del pentágono, y verlo dibujado sirve para entender mejor lo que estamos haciendo.

abrimos el compás ahora con un radio igual a la longitud del lado del pentágono. desde los dos extremos de una de las diagonales, por ejemplo la obtenida en [11], trazamos dos arcos que se corten en un punto: [13] y [14]. unimos ese punto de corte con los extremos de la diagonal, y ya tenemos dos lados más del pentágono: [15] y [16].

ahora hacemos lo mismo, pero al otro lado: desde los extremos de la diagonal obtenida en [12], y con radio igual al lado del pentágono, trazamos dos arcos que se corten en un punto: [17] y [18]. ese punto de corte lo unimos con los extremos de la diagonal, y... voilà! ya tenemos los dos lados que nos faltaban, y el pentágono cerrado por fin: [19] y [20].


creía que nunca acabaría de explicarlo! :D hice los dibujos de esta entrada y los escaneé hace bastantes días. sabía que el pentágono era la más complicada de las figuras, pero no hasta el punto de que me haya ocupado más espacio que el triángulo, el cuadrado y el hexágono juntos!

sé de alguna de vosotras que hace manualidades y bordados de forma pentagonal... ;) no os parece terrible?? el pentágono es complicadísimo, es una pesadilla!! :D

19 comentarios:

  1. Es un poco lioso el pentágono pero te ha quedado muy bien. Me gustaba mucho hacer estas cosas y tu post me ha venido bien para repasarlo y darme cuenta de que todavía no se me había olvidado por completo. ;-)

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  2. Ésta es la parte más divertida de las matemáticas, ya cuando te pasan a hacer poliedros, cilindros o cualquier cuerpo con volumen, empieza la pesadilla ¡odiaba tener que hacer esas horribles figuritas de cartulina! :(
    Con pentágonos no he hecho nada aún. Sí con hexágonos, justo ayer. Hice un tapete navideño de patchwork siguiendo un diseño a base de unir hexágonos unos con otros que te hubiera encantado. Se llama "jardín de la abuela", vete a San Google que seguro que te resulta interesante, bueno, cualquiera de los diseños geométricos en patch lo es.
    Bssssssss
    Cloti

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  3. Es una maravilla.Estas formas geoétricas tan sencillas y tan bien explicadas pueden dar un juego infiníto si los ordenas y colocas de distintas maneras.Es un tema apasionante.Muy bonita entrada Chema.

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  4. Chema,
    Le he puesto interés y voluntad pero, chico, ya sabes que soy de letras puras :), no obstante valoro el trabajo que has hecho a mi me parece muy meritorio.
    Me gusta venir por tu casa, es acogedora.
    Un beso.

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  5. Definitivamente soy de letras. ¡Lo que me cuesta no perderme en tus post matemáticos!. ¿Sabes lo que hago? Se los paso a Santi, que los disfruta mucho. Un besito niño!

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  6. Aquí me tienes y muchas gracias, no todos los dias le dedican a una servidora una entrada :)

    Me ha gustado mucho repasar los métodos para hacer los diferente polígonos,pero aún no has encontrado la solución a mi reto. Y se te acaba el tiempo, XD
    Tic tac, tic tac...

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  7. #¿$!@%&)/?(#@$
    Eso es más o menos lo que he entendido, Chema. Aunque poniendo todo mi esfuerzo en concentrarme, aunque hoy no es mi día, me suena de haberlo estudiado en el colegio, en Bachillerato, creo.
    Pero lo que más recuerdo de esas clases son los mosqueos que me pillaba y la vez que clavé el compás en el pupitre con un cabreo monumental por desesperación total con un polígono de estos... :S

    Besos!

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  8. Eeeeh, aún recordaba como hacer el triángulo y el cuadrado... ya vale que son los más sencillos pero algo es algo ¿no? XDDDD

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  9. No Geno, un triángulo es una ridiculez! Ya te estás poniendo a hacer un octógono! xDDDDDDDDD Yo ya no me acuerdo de nada en absoluto.

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  10. ruth, esa misma cara puse yo cuando estaba escribiendo la entrada en word y vi que ya iba por la cuarta página, cuando no pensaba que iba a tener demasiado texto. :S todo por culpa del pentágono.

    rousi, supongo que lo tuyo es más el dibujo artístico, pero seguro que también te defiendes muy bien en el técnico. :) en realidad no son disciplinas tan separadas, porque hay muchas obras de arte que se basan en patrones geométricos... qué te voy a contar! jejeje.

    cloti, lo tengo que mirar en google, aunque yo quiero ver el que tú has hecho!! este tipo de dibujo geométrico es bonito, en mi colegio también a la gente le gustaba. lo de los poliedros, poneros a reproducirlos en cartulina me parece un trabajo muy duro. :( hay cinco poliedros regulares: tetraedro o pirámide (4 triángulos equiláteros), hexaedro o cubo (6 cuadrados), octaedro (8 triángulos equiláteros), dodecaedro (12 pentágonos), icosaedro (20 triángulos equiláteros). hay una demostración de por qué sólo hay esos y no otros, pero nunca, nunca la he entendido.

    olatz, sabía que a ti te iba a gustar. el triángulo, el cuadrado y el hexágono tienen la particularidad de ser los únicos polígonos regulares con los que se puede llenar una superficie sin dejar huecos. y en concreto, el hexágono es la de perímetro mínimo. es por eso que las abejas construyen sus panales con hexágonos.

    ana, el triángulo, el cuadrado y el hexágono los he podido explicar sin números (aunque estén implícitos) pero ya para el pentágono he tenido que hablar del número áureo -en cuya expresión hay una razíz cuadrada-, del teorema de pitágoras... no nos libramos de los números, jejeje.

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  11. wendy, me alegro de que te sientas a gusto en mi casa. :) siempre tuve claro que el blanco era su color. en este tipo de entradas, me empeño siempre en explicarlo todo muy minuciosamente, aun sabiendo que quizá lo estoy liando más todavía, pero así me quedo más tranquilo, jejeje.

    riesgho, qué buena memoria! veo que te sigues acordando y que no ha colado el intento. :o bueno, de todos modos tarde o temprano quería escribir una entrada sobre los métodos para dibujar estos polígonos, jejeje. seguiré pensando en tu reto... ;) si lo consigo, sabré dibujar, por ejemplo, un heptágono (siete lados) como los que salían en las monedas de 200 pesetas!

    blas, lo mejor que a mí me pudieron decir para que el dibujo de cou no me diera miedo, es que no importaba que el dibujo fuera perfecto e inmaculado, ya que era una asignatura de conceptos. y es que me salían bastante enguarrados. :P
    el octógono precisamente no es muy difícil, una manera de hacerlo sería trazando en un círculo dos diagonales perpendiculares, y luego sus bisectrices. de ese modo divides la 'tarta' en ocho trozos. unes los puntos donde esas diagonales cortan a la circunferencia exterior... y ya tienes tu octógono! :D

    geno, si te acordabas del triángulo y el cuadrado, no está nada mal, además son las figuras más sencillas las que son útiles. el hexágono se puede construir con seis triángulos equiláteros correlativos, pero haciéndolos pequeñitos para que el hexágono final no salga muy grande. para el hexágono es más práctico el método de la circunferencia base, la verdad. ;)

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  12. Me recuerda a mis clases de matemáticas y a las de dibujo técnico. Me encantaba dibujar las piezas raras, aunque reconozco que algunas eran un auténtico quebradero de cabeza y al final siempre tocaba retocar algún error del Rotring rascando suave con la cuchilla porque prohibían usar el Tippex. Aún conservo esas láminas.

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  13. Por Dios, Chema!! xDDDDDDDDDDDDDDDDDDD Voy a llorar de desesperación, porque no me entero de nada!! Aayyynnnnsss con la barrera idiomática, qué disgustos estoy teniendo!!!!

    Besos Chema!

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  14. Blas, ya es muuuuucho mérito para mi acordarme del triángulo que las matemáticas y el dibujo nunca han diso lo mio XDDD

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  15. anele, yo el rotring lo utilicé en 1º de bup, y nunca me sentí cómodo. fue un alivio saber que el dibujo de cou se hacía a lápiz, eso sí marcando en un trazo más grueso la figura final para que resltara sobre las líneas auxiliares que hubieras trazado. sólo de saber que si me equivocaba se fastidiaba toda la lámina, me ponía nervioso y ya estaba más propenso a equivocarme. tu idea de rascar con la cuchilla era buena, mira!

    blas, en la explicación que te di sobre lo del octógono tuve un lapsus, dije 'diagonales' cuando tendría que haber dicho 'diámetros'. ;) si aun así no me he explicado con claridad, no te preocupes. en la próxima quedada en la que coincidamos, te dibujaré un octógono sobre una servilleta de papel, y así seguro que lo verás más claro! :D aunque si saco la escuadra y el cartabó y el compás en el vips igual nos miran, hmmmm...

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  16. Ay, qué mono, me ha traído recuerdos del cole haciendo hexágonos en los papeles de cuadritos para luego pintarlos llenos de triángulos....
    Del pentágono he hecho hace poco las flores de ganchillo que tú me señalaste, eso vale???
    Al final la cabeza no te echa humo Chema?????
    Besos!

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  17. A mi me encantan las mates y el dibujo, así que me ha resultado muy interesante leerlo y recordar.
    Me han venido ahora a la cabeza esas clases de dibujo con la escuadra y el cartabón, ...
    !qué tiempos! Se pasaba el tiempo volando.
    Lucía

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  18. rosana, precisamente lo que quienes hacían manualidades de forma pentagonal lo dije por ti!! jajaja ;) los hexágonos dan mucho juego porque con ellos se llena una superficie sin dejar huecos, y por otro lado están formados por seis triángulos equiláteros debido a la propiedad de que su lado es de la misma longitud que el radio de la circunferencia inscrita.

    lucía, el dibujo geométrico es muy bonito. echo de menos haberlo dado un poco más, porque realmente sólo lo di en cou. en la carrera dimos diédrico, que eso es otra historia, y luego pasamos a las perspectivas y las vistas de las piezas, que también es otra cosa muy distinta.
    mi padre siempre cuenta que en francia existía la carrera de 'geómetra'. los geómetras eran una mezcla de arquitectos y matemáticos, y eran los que diseñaban las calles. debía de ser un bonito trabajo.

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