domingo, 30 de junio de 2013

espejos


el número opuesto a uno dado, por definición, es otro número del mismo valor absoluto pero con el signo cambiado.

si se representan los números en una recta, el opuesto de un número determinado será su imagen especular respecto al origen de coordenadas. la suma de dos números opuestos siempre da 0. y 0 es el opuesto de sí mismo.

el significado de los signos se podría explicar con este ejemplo: si avanzamos el signo será positivo (+) y si retrocedemos será negativo (–). y el valor absoluto será el número de unidades de longitud que avanzamos o retrocedemos.



veamos ahora otro concepto un poco más complicado: el de números inversos.

el número inverso a uno dado -expresado como una fracción-, es otro número -también fraccionario- cuyo numerador será el denominador del primero, y cuyo denominador será el numerador del primero. es decir, dado un número fraccionario, si invertimos el orden de su numerador y su denominador, obtenemos su inverso.

en el caso de los números enteros, consideramos su denominador como unitario. el producto de un número y su inverso será 1. el 1 es inverso de sí mismo. y el 0 no tiene inverso, o bien podemos decir para entendernos que su inverso es infinito (∞).

un número fraccionario se puede visualizar como la pendiente de una línea recta. al desplazarnos por una cuesta, las proporciones que siguen el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal que realizamos vendrán representadas por el numerador y el denominador de la fracción, respectivamente.

si la pendiente de la línea que recorremos es 0, quiere decir que es horizontal. si es menor que 1, es inclinada pero “más horizontal que vertical”. si la pendiente es 1, la línea forma exactamente 45º con el suelo, coincide con la bisectriz de los ejes coordenados. si es mayor que 1, es “más vertical que horizontal”. y si es ∞, quiere decir que la línea es totalmente vertical.

una línea de una determinada pendiente se puede representar con ayuda de un triángulo rectángulo en el que el cateto horizontal es el denominador de la fracción que representa la pendiente, y el cateto vertical es el numerador. la recta seguirá la dirección de la hipotenusa de ese triángulo.

si representamos las fracciones como líneas que tengan las pendientes asociadas a ellas, la inversa de una fracción/pendiente cualquiera será su imagen especular respecto a la línea de pendiente 1.

en el dibujo he representado unas pocas fracciones para ilustrar esta idea. así como los números enteros son un conjunto numerable, no sucede así con las números racionales. entre dos fracciones que tomemos, por próximas que estén, habrá infinitas fracciones.


así pues, existe un paralelismo entre las operaciones de obtener el opuesto y el inverso de un número. en el primer caso el elemento central es el 0 y en el segundo es el 1. 0 es opuesto a sí mismo, es el punto de simetría de dos opuestos entre sí, y es el resultado de sumarlos. por otro lado, 1 es inverso de sí mismo, es el eje de simetría de dos inversos entre sí, y es el resultado de multiplicarlos.

tal como hemos representado los inversos, parece intuitivo que desde la horizontal hasta la bisectriz y desde la bisectriz hasta la vertical hay la misma cantidad de pendientes posibles. infinitas, pero con el mismo grado de “infinitud”, por decirlo de alguna manera. y sin embargo, el análisis de las fracciones/pendientes que se encuentran en uno y otro sector parece decirnos algo muy distinto: en el primero se encuentran las comprendidas entre 0 y 1, y en el segundo están todas las demás, desde 1 hasta ∞. se trata de una gran paradoja.

para terminar, y ya que hemos hablado de imágenes especulares, os doy un consejo por si vais al campo. ya sabéis, debajo de un árbol nunca si hay tormenta, y menos con un espejo. que luego el rayo puede hacer que el reflejo cobre vida, como le ocurrirá al pitufo.

martes, 25 de junio de 2013

ni pies ni cabeza

uno de los días que estuve en el pueblo de mi abuela, me fui a dar un paseo después de comer. quería acercarme al castillo lo más posible.

al llegar al cruce donde se ve más nítidamente, subí por la cuesta. y tras serpentear un rato por las calles que hay en ese montículo, encontré señalizada la senda que conduce al castillo.







pero hacía mucho calor y aún quedaba una larga distancia. así que decidí bajar, no sin antes hacer una foto panorámica de jumilla. completando, de ese modo, un conjunto de fotos sin pies ni cabeza.


durante todo el paseo, iba dando vueltas en mi mente a cómo había perdido mi juventud, entre otras cosas estudiando una carrera que no me dejaba tiempo para nada más. y si para mí ya es difícil de por sí encontrar un alma gemela, a estas alturas de la vida es casi imposible.

todos esos pensamientos, con el sol pegando directamente sobre mi cabeza, se hacían más intensos. a veces se habla del frío como metáfora de la ausencia de afecto, pero el sol abrasador también ilustra este sentimiento a su manera.

hoy he vuelto a sufrir otro desengaño, que estaba viendo venir días atrás. una nueva cicatriz en el alma.

jueves, 20 de junio de 2013

patio

hace poco hemos visitado a mi abuela. el patio de su casa se ha llenado de flores, al igual que todos los parques y jardines del pueblo.

haciendo un derroche de imaginación, se me ocurrió la originalísima idea de fotografiar las flores del patio de mi abuela de lejos y de cerca. ;)







en estos casos, siempre procuro desplazarme aproximadamente la misma distancia para cada nueva foto. y si desde un lado del patio hice seis fotos, desde el otro tenía que hacer otras tantas. soy un poco maniático.







las flores aúnan romanticismo y ciencia. siempre se habla de ellas en los libros de matemáticas divulgativas, por los patrones que sigue su crecimiento. y ya no hablemos desde el punto de vista de la botánica.

en definitiva, me gustan las flores. y, a diferencia del pitufo gruñón, no me importa reconocerlo. :P

viernes, 14 de junio de 2013

combinaciones

hace poco fui a echar un vistazo a la ropa de la sección juvenil del corte inglés. encontré unas camisetas y unas bermudas de colores muy vistosos y bastante baratitas.

últimamente me gusta comprarme las prendas de un mismo modelo en parejas de dos colores diferentes. así que elegí dos colores para las camisetas -amarillo y violeta- y dos para las bermudas -verde y rojo-.




hice un sondeo en facebook, medio en broma, sobre cómo conjuntaban mejor los colores. cuáles eran las mejores combinaciones de las cuatro posibles.



la mayoría opinó que la camiseta amarilla combinaba mejor con la bermuda verde, y la camiseta violeta con la bermuda roja. así que hice un posado con esos dos conjuntos...



aunque, por petición popular, unos días después posé también con los otros dos: camiseta amarilla con bermuda roja y camiseta violeta con bermuda verde.



pero creo que me gustan más los dos primeros. ;)

miércoles, 5 de junio de 2013

números que empiezan por...


en matemáticas, si tomamos un número cualquiera al azar, la probabilidad de que empiece por una determinada cifra es la misma para todas las cifras. es decir, es igual de probable que empiece por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9. dicha probabilidad será igual a (1/9)*100 ≈ 11.11%.

sin embargo, en la vida real las cosas no funcionan así. según la llamada ley de benford, los números que representan grandes magnitudes tomadas de la realidad, tienden a empezar por dígitos bajos. la probabilidad de que empiecen por 1 es la mayor de todas, llegando a estimarse en un 30%, bastante mayor que el 11.11% que cabría esperar en teoría.

he hecho una comprobación de esta ley con los listados de países del mundo por población y por superficie.

en el primer caso, se encuentran 65 países y territorios autónomos, entre los 243 que se incluyen en el listado, cuyo número de habitantes empieza por 1. expresándolo porcentualmente, (65/243)*100 ≈ 26.75%.

en el segundo caso, el número de países cuya superficie en km2 empieza por 1 es de 67, entre los 247 enumerados. como se ve, en uno y otro listado se han empleado diferentes criterios respecto a qué territorios se consideran soberanos o con cierta autonomía, pero eso no nos afecta. en porcentaje, (67/247)*100 ≈ 27.13%.

así pues, la ley de benford se cumple para los países del mundo. aunque las cifras que hemos calculado no llegan al 30%, se aproximan lo suficiente, y desde luego son mayores que el 11.11% que las matemáticas predicen.

se dice que las antiguas tablas logarítmicas solían estar más gastadas por las primeras páginas, correspondientes a los números que empezaban por 1 ó 2.

es posible... lo que sí sé por experiencia propia es que una de las reglas que tengo está más gastada por el comienzo, por los “primeros centímetros” digamos. si no fuera por el dichoso brillo, en las fotos se podría apreciar mejor...



el hecho de que las grandes magnitudes tiendan a empezar por las cifras más bajas -por 1, sobre todo-, es una metáfora de cómo seleccionamos nuestros recuerdos. los comienzos de las diferentes etapas de nuestra vida siempre los recordamos muy bien. o la primera experiencia de muchas similares que llegaron después...

por ejemplo: nuestro primer curso en el colegio... nuestro primer amigo/a inseparable... nuestro primer enamoramiento... nuestro primer curso en la universidad... nuestro primer trabajo... y así con muchas cosas. sí, ya me imagino que os ha venido a la mente lo de ♫tu primera colonia, chispas♫ ;)


pasamos a otro asunto: mi amiga bego me ha concedido este bonito premio desde su mundo wuapi. :) muchas gracias por acordarte de mí, bego! también me lo han concedido las hermanas elanor y arien. mil gracias, saladas! :)

las reglas son las siguientes:

1-         Decir quien te otorga el premio y agradecérselo.
hecho! :)

2-         Contestar estas preguntas:
a)         ¿Que te llevó a comenzar tu blog?
dar salida a muchos pensamientos y recuerdos que tenía acumulados, compartir cosas que me gustaban...
b)         ¿Que te aporta tenerlo?
como muchas de mis entradas son sobre temas de mates, me sirve de ensayo para las clases que luego doy a las nenas. :)
c)         ¿Donde encuentras tu inspiración?
en libros que leo, en conversaciones, en cosas que veo por la calle...
d)        ¿Planificas tus contenidos con antelación?
hay entradas que necesito madurarlas durante mucho tiempo en mi cabeza, mientras que otras salen de la nada: la idea y el desarrollo surgen en un mismo día.
e)         ¿Tienes alguna nueva idea para tu blog?
sí, otra entrada menos seria, que ésta era de números al fin y al cabo. ;)
f)         ¿Cuánto tiempo le dedicas?
algunas entradas, entre escribir en papel las gráficas, dibujos, cálculos o lo que sea, escanearlos y escribir la explicación, sí que llevan un poco de tiempo.
g)         ¿Cuál es el mejor momento del día para crear?
es imprevisible, puedo pasar de estar en encefalograma plano a tener una idea para una entrada y querer publicarla *ya*.
h)         ¿Qué lugar del mundo te gustaria conocer?
muchos, pero sobre todo inglaterra. estoy confiado porque sé inglés, pero el día que vaya allí y les oiga hablar no entenderé nada. ;)
i)          ¿Cuáles son tus pasatiempos?
leer todo tipo de libros -de narrativa y de ciencia-, pasear, hacer fotos, escuchar música...

3-         Seguir el blog de quien te ortorga el premio.
técnicamente no era seguidor -cosa que ya he remediado-, pero llevaba muchos meses visitando habitualmente a bego. :)

4-         Conceder este Premio a 11 blogs que tengan menos de 200 seguidores.
bueno, yo los premios suelo concederlos a poquitas personas para no repetir de una vez para otra. :) se lo voy a dar a geno y a ses. se lo pensaba dar a otra bloguera más, pero luego he visto que tiene más de 200 seguidores. ;)

sábado, 1 de junio de 2013

la vista atrás

hay dos cosas que me hacen estar seguro de que sigo siendo el mismo -es decir, que no me han cambiado-. una de ellas es que conservo todos mis viejos recuerdos. y otra es que tengo un pequeño lunar en el pómulo derecho, que ya lo tenía cuando era pequeño. si os fijáis en esta foto de cuando hice mi primera comunión y en la foto reciente que publiqué dos entradas más abajo, lo podréis apreciar.


por aquel entonces tenía tan sólo ocho años, aunque me faltaba poco para cumplir nueve, catorce días exactamente. son los días que van desde el 18 de mayo hasta el 1 de junio. y hoy es precisamente 1 de junio, así que me toca cumplir años de nuevo. ya tengo la piñata y las chuches para rellenarla. podéis coger algo si queréis.