cuadrados y triángulos

los números cuadrados son aquellos que tienen raíz cuadrada exacta. se pueden distribuir sus unidades en un número igual de filas y columnas. por ejemplo, si en un mosaico de una habitación hay el mismo número de baldosas a lo largo y a lo ancho, el número total de baldosas tendrá raíz exacta, será un número cuadrado.

1 es 1², pero me lo salto porque es un caso muy tonto.

4 es 2², y se puede representar en 2 filas y 2 columnas.

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9 es 3², y se puede representar en 3 filas y 3 columnas.

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16 es 4², y se puede representar en 4 filas y 4 columnas.

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...y así sucesivamente. ahora vamos a hablar de los números triangulares. se pueden expresar como una suma del tipo 1+2+3+...n. existe una fórmula para calcular el resultado sin tener que ir sumando todos los números uno por uno, y es n·(n+1)/2.

el primer número triangular de interés es el 3, igual a 1+2. sus unidades se pueden representar así.

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el siguiente número triangular es el 6, igual a 1+2+3. en éste ya se aprecia un poco mejor la estructura triangular.

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otro número triangular más, para que se vea claro del todo. 10 es igual a 1+2+3+4.

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nos preguntamos ahora si puede existir un número que sea cuadrado y triangular a la vez. para ello, debe satisfacer al mismo tiempo las expresiones para el número cuadrado y para el número triangular: m² = n·(n+1)/2. dado un número con raíz cuadrada exacta, debemos encontrar la manera de expresarlo como semiproducto de dos números enteros consecutivos.

n·(n+1)/2 debe ser un cuadrado perfecto. para ello, todos sus factores primos deben estar elevados a un exponente par, es decir, debe tener la forma 2^a·3^b·5^c·... siendo a,b,c... enteros pares. n·(n+1) será 2^a+1·3^b·5^c... para que esto se cumpla, uno de los dos números enteros que nos ocupan, n ó n+1, tendrá que ser un cuadrado, y el otro el doble de un cuadrado. pero cuando tenemos dos números consecutivos, necesariamente uno es par y el otro es impar. por tanto, sólo el cuadrado podrá ser el impar.

así pues, tendremos que ir buscando números cuadrados impares, y ver qué ‘vecinos’ tiene antes y después. si uno de esos vecinos da la casualidad de que es el doble de un número cuadrado, habremos encontrado lo que buscábamos.

el caso del 1 no tiene mucho interés. pasamos al 3 directamente.

3² = 9. a la derecha tiene al 10, que no es el doble de un cuadrado. pero a la izquierda tiene al 8, que sí es el doble de un cuadrado. 8 = 2·4, y 4 es 2².

por tanto, nuestro n es 8 y nuestro n+1 es 9. n·(n+1)/2 = 8·9/2 = 72/2 = 36.

y 36 es 6², un número cuadrado. por tanto, 36 se podrá representar en forma cuadrada y en forma triangular.

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vamos a buscar otro más. 5² = 25. a la izquierda tiene el 24 y a la derecha el 26. ninguno de los dos es el doble de un cuadrado.

7² = 49. a la izquierda tiene el 48, que no es el doble de un cuadrado. pero a la derecha tiene el 50, que es 2·25 = 2·5². ése si es el doble de un cuadrado.

nuestro n es 49 y nuestro n+1 es 50. n·(n+1)/2 = 49·50/2 = 1225.

1225 es 35². y se puede expresar también como la suma 1+2+3+...48+49. por tanto, 1225 es el segundo número cuadrado y triangular a la vez. fijaos si nos hemos tenido que ir lejos... como veis, este tipo de números tan especiales son escasos. no vamos a hacer esta vez lo de las estrellitas en filas y columnas, porque sería muy pesado.

espero no haberos mareado demasiado. ^_^ los egipcios sabían mucho de números. ahora estoy leyendo un libro sobre los faraones que me regaló mi amiga maría.

madonna

tuve una época en la que fui muy fan de madonna, que más o menos coincidió con su álbum ray of light de 1998. después fui perdiendo gradualmente el interés, empezó a no gustarme su manera de crear polémica tan premeditada y calculada. además mis gustos evolucionaron hacia otros grupos y artistas más rockeros, y que además creaban ellos su propia música, sin tener que juntarse con productores o compositores de moda.

sin embargo, últimamente me he ‘reconciliado’ un poco con madonna. a raíz de su actuación en eurovisión y de ver este interesante vídeo en el que se reflexiona sobre la evolución de su carrera, se me despertó de nuevo el interés por ella.

el último disco de madonna que tenía era confessions on a dance floor de 2005, que en su día lo escuché no más de tres o cuatro veces. tras hard candy en 2008, al año siguiente sacó un doble recopilatorio titulado celebration. por tanto, hard candy era el único que me faltaba para ‘cerrar el ciclo’, por decirlo así. después ha sacado otros tres álbumes, de los cuales la gente no habla muy bien. ya veremos si algún día me da por hacerme con ellos. de momento, el análisis que voy a hacer abarca desde su primer álbum homónimo hasta hard candy.

en su primer álbum llamado madonna como ella, de 1983, su personalidad artística aún estaba por definir. destaca el clásico holiday, que ha tocado en la mayor parte de sus giras, lo cual tiene mérito, ya que madonna no es muy amiga de mirar atrás. el segundo álbum, like a virgin de 1984, fue el que hizo a madonna mundialmente famosa. sus canciones empiezan a ser más provocativas y polémicas, así como sus vídeos y sus actuaciones. los temas más conocidos son like a virgin y material girl. el tercer álbum, true blue de 1986, fue la consolidación del éxito de madonna. incluye papa don’t preach, una canción de temática adelantada a su época, y la isla bonita, quizá la canción más recordada de ese disco, a pesar de que fue el quinto single.

like a prayer de 1989 tenía un sonido algo más analógico, con más guitarra y batería de verdad y menos sintetizadores. en cuanto a su temática, es una mezcla de autobiografía y de provocación -especialmente en la famosa canción que da título al álbum y su vídeo-. i’m breathless de 1990, es una especie de banda sonora de la película ‘dick tracy’. se incluyó al final el famoso tema discotequero vogue, a pesar de no tener nada que ver con el citado filme. erotica de 1992, fue un álbum con mucha polémica y poco éxito. era un experimento sonoro un poco extraño, letras subidas de tono con voz susurrante sobre bases electrónicas, aunque tenía algunos momentos interesantes. bedtime stories de 1994, es el disco con más influencia soul y r&b de madonna. colaboraron algunos prestigiosos productores de música negra, como babyface. incluye take a bow, quizá la canción más conocida de madonna en los noventa.

ray of light de 1998 es el disco más tecno de madonna. fue producido por william orbit, cuyo característico sonido oscuro y lleno de efectos sonoros, quizá eclipsaba a la propia madonna. es un disco con unas letras muy maduras y muy consistente de principio a fin, aunque no tenga canciones super-famosas. music de 2000, quizá es la continuación del álbum anterior, aunque con algunos toques de electro-country y unas letras más crípticas. american life de 2003, es muy personal y autobiográfico como ray of light, aunque con un tinte de protesta y sátira que, por alguna razón, no sedujo al público ni a la crítica. confessions on a dance floor de 2005, para contrastar, fue un álbum discotequero sin ninguna reivindicación -al menos aparentemente-. incluye el gran éxito hung up, con la base rítmica de un tema de abba. por último, hard candy de 2008 fue otro álbum fiestero, esta vez con la colaboración de artistas del momento como justin timberlake o pharrell williams.

he pasado a mi mp3 los álbumes de madonna que hemos comentado, añadiendo temas extra al final de algunos de ellos. madonna siempre ha sido muy dada a sacar singles no incluidos en ningún álbum de estudio, lo que se llama ‘non-album tracks’: temas de bandas sonoras, temas inéditos de recopilatorios... en los listados que os pongo a continuación, esas canciones que he ‘anexionado’ al final de algunos álbumes las he marcado con un asterisco.

os gusta madonna? sé que no deja indiferente a nadie. las cosas negativas que se puedan decir de madonna, seguro que yo mismo las he pensado durante estos años en los que he estado ‘distanciado’ de ella, pero qué se yo... a veces nos entra la nostalgia y nos apetece recordar la música que hemos escuchado en alguna época pasada de la vida. ^_^

madonna (1983)
1. lucky star 5:37
2. borderline 5:21
3. burning up 3:45
4. i know it 3:46
5. holiday 6:10
6. think of me 4:56
7. physical attraction 6:40
8. everybody 4:55

like a virgin (1984)
 1. material girl 4:02
 2. angel 3:56
 3. like a virgin 3:38
 4. over and over 4:12
 5. love don’t live here anymore 4:50
 6. dress you up 4:01
 7. shoo-bee-doo 5:17
 8. pretender 4:30
 9. stay 4:07
10. crazy for you * 3:45
11. into the groove * 4:09

true blue (1986)
 1. papa don’t preach 4:29
 2. open your heart 4:13
 3. white heat 4:40
 4. live to tell 5:51
 5. where’s the party 4:21
 6. true blue 4:18
 7. la isla bonita 4:02
 8. jimmy jimmy 3:55
 9. love makes the world go round 4:31
10. who’s that girl * 4:00
11. causing a commotion * 4:21
12. the look of love * 4:04
13. can’t stop * 4:46

like a prayer (1989)
 1. like a prayer 5:41
 2. express yourself 4:39
 3. love song 4:52
 4. till death do us part 5:18
 5. promise to try 3:38
 6. cherish 5:04
 7. dear jessie 4:20
 8. oh father 4:58
 9. keep it together 5:03
10. pray for spanish eyes 5:17
11. act of contrition 2:19

i’m breathless (1990)
 1. he’s a man 4:44
 2. sooner or later 3:20
 3. hanky panky 3:59
 4. i’m going bananas 1:43
 5. cry baby 4:06
 6. something to remember 5:06
 7. back in business 5:13
 8. more 4:59
 9. what can you lose 2:09
10. now i’m following you you (part i) 1:35
11. now i’m following you you (part ii) 3:18
12. vogue 4:49
13. justify my love * 5:00
14. rescue me * 5:31

erotica (1992)
 1. erotica 5:19
 2. fever 5:00
 3. bye bye baby 3:56
 4. deeper and deeper 5:33
 5. where life begins 5:57
 6. bad girl 5:23
 7. waiting 5:46
 8. thief of hearts 4:51
 9. words 5:56
10. rain 5:24
11. why’s it so hard 5:23
12. in this life 6:23
13. did you do it 4:54
14. secret garden 5:32
15. this used to my playground * 5:10
16. i’ll remember * 4:23

bedtime stories (1994)
 1. survival 3:31
 2. secret 5:05
 3. i’d rather be your lover 4:39
 4. don’t stop 4:38
 5. inside of me 4:11
 6. human nature 4:54
 7. forbidden love 4:09
 8. love tried to welcome me 5:21
 9. sanctuary 5:02
10. bedtime story 4:53
11. take a bow 5:21
12. you’ll see * 4:41
13. one more chance * 4:28
14. i want you * 6:24
15. don’t cry for me argentina ** 4:51

ray of light (1998)
 1. drowned world / substitute for love 5:09
 2. swim 5:00
 3. ray of light 5:20
 4. candy perfume girl 4:36
 5. skin 6:21
 6. nothing really matters 4:26
 7. sky fits heaven 4:48
 8. shanti / ashtangi 4:29
 9. frozen 6:12
10. the power of good-bye 4:12
11. to have and not to hold 5:22
12. little star 5:18
13. mer girl 5:31

music (2000)
 1. music 3:45
 2. impressive instant 3:37
 3. runaway lover 4:47
 4. i deserve it 4:23
 5. amazing 3:43
 6. nobody’s perfect 4:58
 7. don’t tell me 4:40
 8. what it feels like for a girl 4:43
 9. paradise (not for me) 6:33
10. gone 3:29
11. american pie 4:36
12. beautiful stranger * 3:58

american life (2003)
 1. american life 4:57
 2. hollywood 4:24
 3. i’m so stupid 4:08
 4. love profusion 3:37
 5. nobody knows me 4:39
 6. nothing fails 4:48
 7. intervention 4:54
 8. x-static process 3:49
 9. mother and father 4:33
10. die another day 4:38
11. easy ride 5:05

confessions on a dance floor (2005)
 1. hung up 5:36
 2. get together 5:30
 3. sorry 4:43
 4. future lovers 4:51
 5. i love new york 4:11
 6. let it will be 4:18
 7. forbidden love 4:22
 8. jump 3:46
 9. how high 4:40
10. isaac 6:03
11. push 3:57
12. like it or not 4:31

hard candy (2008)
 1. candy shop 4:15
 2. 4 minutes 4:03
 3. give it 2 me 4:48
 4. heartbeat 4:03
 5. miles away 4:48
 6. she’s not me 6:04
 7. incredible 6:19
 8. beat goes on 4:26
 9. dance 2night 5:03
10. spanish lesson 3:37
11. devil wouldn’t recognize you 5:08
12. voices 3:39
13. celebration * 3:35
14. revolver * 3:40

máquinas de escribir

en la casa de mi abuela, en jumilla, entre otros muchos objetos antiguos, hay esta máquina de escribir. era de la marca aeg, la misma que conocemos por las lavadoras. ahora que casi todos tenemos ordenador, nadie usa máquina de escribir. en los años noventa hubo un eslabón intermedio, que fue la máquina de escribir eléctrica.

hace poco vi la película el resplandor, en dvd y en versión original subtitulada. me llamó especialmente la atención la escena en la que la que wendy -la mujer del protagonista jack-, al examinar los borradores de lo que supuestamente era la novela que él estaba escribiendo, tan sólo aparecía una y otra vez la misma frase: “all work and no play makes jack a dull boy” (un refrán cuya traducción viene a ser “sólo trabajo y nada de diversión hacen que jack sea un chico aburrido”).

esa parte de la película es inquietante, ya que se demuestra que el protagonista ha perdido la cabeza por completo. y también resulta curiosa por una razón: para rodar la escena, alguien tuvo que tomarse el trabajo de escribir a máquina esa frase repetidamente, llenando varios folios con ella. en las máquinas de escribir antiguas no existía la opción de copiar y pegar. hay algunas erratas, que me pregunto si fueron o no intencionadas por parte de la persona que se encargó de escribir esa frase hasta el infinito...

nuestra amiga jana, parece que quiere emular a jack nicholson. se ha puesto a escribir un relato que, según ella, está relacionado con la termodinámica. pero a mí no me la cuela, seguro que eso del intercambio de calor tiene algún doble sentido. :O

concursos

recuerdo que en la asignatura de estadística de 3º de industriales, uno de los primeros días el profesor nos planteó un problema para que lo resolviéramos en casa. venía a decir algo así:

en un concurso de televisión, te muestran tres puertas cerradas. tras una de ellas hay un coche, y si aciertas cuál es, te lo llevarás. supongamos que dices que el coche está tras la puerta intermedia, la b.

a continuación, el presentador abre la puerta a, tras la cual no hay nada. permanecen cerradas la b y la c. se te pide que vuelvas a intentar adivinar dónde está el coche, esta vez reduciendo el campo de búsqueda, ya que ahora sólo hay dos puertas posibles. cuál será la probabilidad de acertar para cada una de ellas?

podría parecer que esa probabilidad es 1/2 (50%) para ambas puertas, pero no es así. si vuelves a elegir la puerta b, tu probabilidad de acertar será 1/3 (33,33%), mientras que si cambias de idea y dices la c, la probabilidad de éxito será 2/3 (66,66%).

esto parece antiintuitivo, pero se entenderá mejor aumentando el número de puertas. pensemos en la misma prueba del concurso, pero esta vez con diez puertas. sólo una de ellas esconderá el coche. pongamos que eliges la b, porque te gusta esa letra.

entonces el presentador abre todas las puertas, menos la b y la g. se te da la oportunidad de elegir de nuevo, esta vez sólo entre esas dos puertas. el coche estará tras una de ellas. elegirías de nuevo la b? de verdad crees que has tenido tanta puntería como para acertar a la primera, entre diez puertas?

volver a pedir la puerta b es suponer que en tu primera elección acertaste, suceso cuya probabilidad sería 1/10 (10%). por el contrario, si cambias de opinión y pides la g, estás asumiendo que has fallado la primera vez. la probabilidad de que así sea es 9/10 (90%).

por eso, en una prueba de estas características, cuando te dejan dos puertas por abrir, la que habías elegido por primera vez y otra, es más seguro elegir la otra. lo más probable es que la primera vez te hayas equivocado.

os haría ilusión que os tocara un coche? a mí sólo si fuera un clásico como éste...

flip flop

he escrito un relato ficticio, aunque inspirado en experiencias reales, eso es inevitable. no es nada del otro mundo, pero espero que os divierta. :)

Era la segunda mitad del mes de mayo. Unas amigas y yo íbamos a hacer una quedada. Para organizarla, creamos un improvisado grupo de whatsapp que después se convertiría en permanente.

A estas bellas amigas las llamaré Artista, Sonrisa, Inquieta y Voladora. La conversación que tuvimos el lunes de aquella semana, fue algo así:

• Artista: Este viernes a las siete de la tarde tengo curso de pintura en Puente de Vallecas. Podríamos quedar en la boca de metro cuando acabe.
• Sonrisa: ¡Vale! A mí me viene bien el viernes. Cuando cierre la tienda iré para allá.
• Voladora: Yo ya habré terminado de trabajar, iré en bus.
• Chema: ¿En el 56, Voladora? Igual nos encontramos.
• Voladora: ¡Estaría divertido!
• Chema: Seguramente yo también iré en el 56. El viernes tengo una clase en la zona de Avenida de América, y por allí pasa ese bus.
• Inquieta: El viernes por la tarde a mí también me viene genial. ¡Qué bien que nos hayamos puesto de acuerdo tan rápido! Me hace mucha ilusión veros.

Miré el pronóstico del tiempo para ese día. Por la tarde, la temperatura no iba a bajar de 27ºC. ¡Con las ganas que tenía de estrenar mi ropa de verano!

• Chema: Por cierto, chicas, hará buen tiempo y podremos llevar calzado abierto. Así que vamos a ir arreglándonos las uñas de los pies para ese día. 😊
• Sonrisa: ¡Chemi, siempre tan presumido!
• Artista: Aquí pasamos directamente de la bota a la chancla.
• Inquieta: ¡Mis hijos y yo, ya vamos descalzos por casa!
• Voladora: Yo me he comprado unas sandalias de esas de doble tira que ahora están tan de moda.

Por fin llegó el viernes. Parece que se cumplió lo que predije, porque l@s cinco llevábamos calzado veraniego. Yo unas chanclas con tiras de tela, Artista otras similares, Sonrisa unas sandalias con suela de esparto, Inquieta unos zuecos abiertos y Voladora las sandalias de doble hebilla de las que habló en el chat. Y además, nos habíamos tomado en serio lo de ponernos los pies bonitos. Los teníamos como los de un bebé. Yo había logrado cortarme las uñas sin hacerme grandes estropicios, y me había echado cremas para eliminar grietas y durezas.

Así que decidimos hacernos una foto de nuestros pies. Me encargué yo de sacar la foto y subirla. Era difícil abarcar con la pantalla del móvil los cinco pares de pies, pero logramos encontrar la colocación óptima. Después etiqueté la foto, y para asegurarme de hacerlo bien miraba alternativamente a la foto en el móvil y a los pies de mis amigas. Que luego no quería quejas del tipo “¡mis pies no son estos, son esos otros!”. La foto alcanzó el centenar de likes.

Lo pasamos genial, con mucha complicidad y risas, y nos prometimos hacer más quedadas. Somos un grupo muy bien avenido, y tenemos el adecuado equilibrio entre ser soñadores y mantener los pies en la tierra.