sábado, 28 de marzo de 2015

pozos


en épocas pasadas, el pozo era el principal suministro de agua para la población. los pitufos, que supuestamente vivían en la edad media -obviando los anacronismos que se le pudieran escapar a su creador peyo-, también tenían su pozo.

el otro día me tuve que repasar el tema de los límites de funciones. y vi que había un tipo de funciones logarítmicas en las cuales el número sobre el que se aplica el logaritmo se hace negativo sólo en un determinado intervalo de valores de la variable. eso hace que en dicho intervalo no haya función, quedando entre medias una especie de ‘pozo’ infinito.


veámoslo con el ejemplo más sencillo: ln(x2–1). para x ϵ (–1, 1), x2–1 es negativo. el logaritmo de un número negativo no existe. pero además, cuando nos acercamos a los extremos del intervalo donde no hay función {–1 y 1}, x2–1 se aproxima a 0, y por tanto ln(x2–1) decrece indefinidamente, tiende a –∞.

es decir, en –1 y 1 hay dos asíntotas verticales, en medio de las cuales se abre un pozo sin fondo. da un poco de miedo...

existe un amplio simbolismo asociado a los pozos. por ejemplo, se cree en la existencia de pozos mágicos que conceden los deseos que se les pidan. qué pediríais a un pozo de los deseos? no hagáis como el pitufo, que se lo piensa demasiado.

domingo, 22 de marzo de 2015

historias absurdas

el mes de marzo ha sido gafe para mí. este fin de semana he tenido una gastroenteritis. lo peor ha pasado ya, y por eso estoy con ánimo para escribir. pero esta vez va a aflorar mi lado más políticamente incorrecto. ^_^

antes de empezar la carrera, allá por septiembre de 1995, en un club del opus dei ofrecieron un curso de introducción para enseñarnos algunas complicadas herramientas matemáticas que en la escuela se daban por sabidas. nos apuntamos juntos un amigo y yo, y he de decir que el curso en sí estuvo muy bien, fue un dinero bien invertido.

allí nos presentaron a un compañero de la escuela, un año mayor que nosotros, que de algún modo nos iba a apadrinar durante el curso. era tirando a bajo, delgado, con gafas, no sonreía y hablaba con voz cansada. pero lo peor es que se le salía un moco por la nariz. no es la mejor manera de causar una primera impresión positiva, a fe mía.

para los nombres de los personajes de esta historia utilizaré anagramas. a este chico que necesitaba urgentemente un kleenex le vamos a llamar blöap.

como es costumbre en esta gente, su amistad tenía el fin de hacer proselitismo. en una ocasión blöap me propuso quedar para tomar algo. le dije “vale, pues vamos al vips?” (una cadena de tiendas-restaurante archiconocida en madrid) y me contestó “te gusta ese sitio?”, y yo pensando para mis adentros “pues hombre, no es que me guste ni me disguste, pero es un sitio que pilla cerca, dan de todo...”.

lo único que recuerdo de la quedada de aquel día es que le recomendé a blöap un libro que luego le presté y no me devolvió. y fue más que nada por hablar de algo, porque la conversación no era muy fluida que digamos...

en cierto momento se unió a la labor de apostolado otro miembro de aquel club donde nos dieron el curso y también compañero de la escuela. era bastante alto, con el pelo rubio y rizado, y con barbilla prominente. le vamos a llamar zangûm.

la misión de zangûm era leernos y comentarnos el catecismo después de clase uno o dos días a la semana, no me acuerdo. el lugar elegido era la pradera que rodea a la escuela. allí estábamos zangûm, mi amigo y yo.

la verdad es que mi amigo, otra cosa no, pero tenía unas tragaderas enormes. no sé cómo se prestaba a eso y no protestaba. porque yo venía de un colegio de esa misma cuerda y estaba más o menos acostumbrado, pero él, pues no tanto...

por mi parte, yo rezaba para que no nos viera nadie conocido, especialmente cierta chica que me gustaba. un deseo harto difícil el querer pasar desapercibido en esas circunstancias, porque el catecismo es un libro de color naranja que se ve a la legua.

la mayor envergadura física de zangûm en comparación con blöap -aparte de que era dos o tres años mayor que él-, le hacía parecer una especie de primo de zumosol. sólo que en lugar de llevar en la mano un tetra brik de zumosol, llevaba un catecismo.

quizá otro día os cuente más cosas, por hoy ya es suficiente. ;)

lunes, 16 de marzo de 2015

generaciones

los domingos por la noche en la 2 daban un magnífico programa de divulgación científica con un toque de humor, llamado órbita laika. por desgracia dejaron de emitirlo hace dos semanas.

en una ocasión, no recuerdo muy bien a cuento de qué, comentaron que una generación es un periodo de tiempo de unos 25 años. y si se estima el tiempo transcurrido desde cualquier acontecimiento histórico en términos de generaciones, da la sensación de que la historia avanza muy rápido. si lo piensas, cuatro saltos de 25 años hacen un siglo.

en realidad, en los tiempos modernos nos hemos vuelto más tardíos a la hora de tener descendencia, por lo que el relevo generacional probablemente se produzca en un periodo de tiempo ligeramente mayor...

en cualquier caso, se puede estimar el número de generaciones transcurridas desde determinadas fechas históricas. esto es algo orientativo, ya que ciertos acontecimientos estuvieron muy extendidos en el tiempo. y si a eso añadimos que la definición de ‘generación’ es en cierta medida arbitraria, en una cronología de este tipo no se puede pretender ser muy exacto.

dicho esto, y siendo conscientes de las posibles imprecisiones, vamos a expresar el tiempo transcurrido desde algunos momentos importantes de la historia de la siguiente manera:

2ª guerra mundial: ~3 generaciones
1ª guerra mundial: ~4 generaciones
revolución francesa: ~8 generaciones
descubrimiento de américa: ~20 generaciones
cruzadas: ~35 generaciones
caída del imperio romano: ~60 generaciones
principios del cristianismo: ~80 generaciones
conquistas de alejandro magno: ~95 generaciones
construcción de las pirámides de egipto: ~190 generaciones

como vemos, desde el antiguo egipto nos separan no más de 200 generaciones. vamos retrocediendo a través de una rama determinada del árbol genealógico, y cuando nos queremos dar cuenta ya estamos en la edad antigua.

os dejo con varios monumentos que fueron diseñados y construidos hace siglos por personas que podían o no ser antepasados directos nuestros, pero sin duda eran muy inteligentes.







domingo, 8 de marzo de 2015

fricción


estos días he estado un poco griposo. en realidad no tengo claro si ha sido una gripe o sólo un catarro muy chungo, pero para el caso es lo mismo.

como el cuerpo y la mente están estrechamente relacionados, mi ánimo no ha estado precisamente por las nubes. la inactividad es fatal, y por eso hay que buscar cualquier excusa para mantener la mente ocupada.

en una fiesta de mi promoción del colegio que hicimos hace como un año y medio, un compañero describió el recuerdo que tenía de mí: al parecer, cuando alguien me preguntaba qué tal estaba, le respondía hablándole de algún teorema. :D así que voy a seguir esa misma estrategia. en este caso, más que un teorema es un caso práctico de física.

cuando dejamos caer un objeto, hay dos fuerzas contrapuestas que intervienen: la gravedad y la resistencia del aire. esta última es proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto que cae. la constante de proporcionalidad depende, entre otras cosas, de la viscosidad del aire (o de cualquier otro fluido del que se trate).


el valor de la fuerza de rozamiento del aire será el mismo independientemente de la masa del cuerpo que cae. una misma fuerza aplicada sobre un cuerpo de menor masa, provocará en éste una mayor variación de su aceleración. por eso, cuando soltamos desde cierta altura una hoja de papel por ejemplo, seguirá una trayectoria errática hasta caer. pero si es un objeto lo suficientemente pesado, la resistencia del aire apenas le afectará, y su trayectoria no se diferenciará mucho de la que se produciría en el vacío.

queremos obtener una ecuación que relacione la velocidad con el tiempo. para ello separamos variables en la ecuación del escaneado anterior, de la manera que se indica:


el denominador de nuestra expresión se asemeja a una diferencia de cuadrados. hacemos un truco algebraico para transformarla en la suma de dos componentes cuyos denominadores sean la suma y la diferencia que multiplicadas entre sí darían la mencionada diferencia de cuadrados.

integramos, teniendo en cuenta que en el instante inicial la velocidad es nula por tratarse de un caso de caída libre. tal como lo hemos preparado, nos encontramos con unas integrales de cocientes en los que el numerador se puede expresar como la derivada del denominador multiplicada por una constante. las integrales de este tipo dan como resultado logaritmos neperianos.


ya hemos hecho lo más difícil. tenemos por un lado el tiempo, y por otro lado el logaritmo de un cociente cuya variable es la velocidad. ahora nos convendrá despejar dicho logaritmo y pasar todas las constantes al otro lado de la ecuación.

aplicamos la exponencial en ambos lados de la ecuación. sabiendo que la exponencial es la función inversa del logaritmo, obtenemos una ecuación que relaciona una exponencial del tiempo con la ya citada expresión en función de la velocidad.


nos damos cuenta de algo curioso: el número e elevado a un producto de constantes por el tiempo crece de manera muy pronunciada y se hace infinito cuando el tiempo tiende a infinito. eso quiere decir que en el otro lado de la ecuación ocurrirá lo mismo. qué tiene que ocurrir para que un cociente se haga infinito? que el denominador se haga cero.

y en el caso que nos ocupa, eso quiere decir que en régimen permanente la velocidad del cuerpo que cae tenderá a ser constante. esa velocidad estabilizada, como se observa, dependerá de la gravedad, de la masa del cuerpo y de la constante de fricción del aire.


cuando estaba en cou, pensaba: “cómo sería la caída libre con resistencia del aire? muy fácil! introducimos una aceleración constante contraria a la de la gravedad”. y eso es una burrada, porque no es constante ni mucho menos.

estos problemas los hacíamos en física de 1º de carrera, a pesar de que las ecuaciones diferenciales -herramienta necesaria para resolverlos- no se daban hasta 2º. más majos los catedráticos de mi escuela!! ;)