el otro día estaba practicando sistemas de ecuaciones con
una alumna de 1º de bachillerato. le puse uno inventado por mí, para practicar.
lo preparé de la siguiente manera: los valores de mis incógnitas serían, por
ejemplo, x=1, y=-1, z=2. a continuación me inventé sobre la marcha unas combinaciones
lineales con esos valores, calculando cuánto daban, y ya tenía mi sistema
preparado. si mi alumna lo hacía bien, le saldrían las mencionadas soluciones: x=1,
y=-1, z=2.
al rehacer en limpio este ejercicio -al cual le saqué una foto con el móvil-,
los coeficientes del sistema los he resaltado con círculos amarillos. incluso los
que valen 1 y que normalmente se omiten. pronto vais a ver que esto tiene su
importancia...
mi alumna, muy aplicada ella, procedió de la siguiente manera:
eliminó la incógnita x combinando las ecuaciones primera y segunda por
un lado, y la segunda y tercera por otro. de ese modo, se obtendrían dos nuevas
ecuaciones cuyas incógnitas serían y, z.
pero entonces vi con horror que las dos nuevas ecuaciones
eran la misma, sólo que con los signos cambiados. de manera que, al combinarlas
entre sí, se anularían todos los términos obteniendo 0 = 0, una obviedad que no
aporta nada. esto sucede en los sistemas compatibles indeterminados, que
tienen infinitas soluciones.
me invadió la terrible sospecha de que le había puesto a mi
alumna un sistema compatible indeterminado sin darme cuenta. le dije: “dame un
minuto, que voy a hacer una comprobación”. resolví el determinante de la matriz
de coeficientes de la ecuación, y efectivamente daba cero. analizándolo después,
me he dado cuenta de que en la matriz ampliada del sistema -que incluye los términos
independientes-, la segunda fila es igual a la primera más la tercera.
el profesor de matemáticas que tuve en cou (quien, por
cierto, era aproximadamente de la misma edad que yo ahora, cómo pasa el
tiempo), decía que para que un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas fuera compatible indeterminado o incompatible,
había que hacerlo aposta. efectivamente, una de las filas de la matriz de coeficientes tiene que ser combinación lineal de
las otras dos. dicho de otro modo, si te inventas sobre la marcha un sistema de
ecuaciones, eligiendo los coeficientes totalmente al azar, lo normal es que sea
compatible determinado.
con lo cual, está claro que ese día tuve mucha puntería,
aunque fuera una puntería desafortunada. ^_^ inventar un sistema de ecuaciones
de manera aleatoria y que salga compatible indeterminado es tan difícil como acertar
en la diana en el tiro con arco, como hace el pitufo en la viñeta que hay al
principio. o que te toque el cupón de la ‘tonce’ (sic) como a superlópez. :D
