puntería

el otro día estaba practicando sistemas de ecuaciones con una alumna de 1º de bachillerato. le puse uno inventado por mí, para practicar. lo preparé de la siguiente manera: los valores de mis incógnitas serían, por ejemplo, x=1, y=-1, z=2. a continuación me inventé sobre la marcha unas combinaciones lineales con esos valores, calculando cuánto daban, y ya tenía mi sistema preparado. si mi alumna lo hacía bien, le saldrían las mencionadas soluciones: x=1, y=-1, z=2.

al rehacer en limpio este ejercicio -al cual le saqué una foto con el móvil-, los coeficientes del sistema los he resaltado con círculos amarillos. incluso los que valen 1 y que normalmente se omiten. pronto vais a ver que esto tiene su importancia...

mi alumna, muy aplicada ella, procedió de la siguiente manera: eliminó la incógnita x combinando las ecuaciones primera y segunda por un lado, y la segunda y tercera por otro. de ese modo, se obtendrían dos nuevas ecuaciones cuyas incógnitas serían y, z.

pero entonces vi con horror que las dos nuevas ecuaciones eran la misma, sólo que con los signos cambiados. de manera que, al combinarlas entre sí, se anularían todos los términos obteniendo 0 = 0, una obviedad que no aporta nada. esto sucede en los sistemas compatibles indeterminados, que tienen infinitas soluciones.

me invadió la terrible sospecha de que le había puesto a mi alumna un sistema compatible indeterminado sin darme cuenta. le dije: “dame un minuto, que voy a hacer una comprobación”. resolví el determinante de la matriz de coeficientes de la ecuación, y efectivamente daba cero. analizándolo después, me he dado cuenta de que en la matriz ampliada del sistema -que incluye los términos independientes-, la segunda fila es igual a la primera más la tercera.

el profesor de matemáticas que tuve en cou (quien, por cierto, era aproximadamente de la misma edad que yo ahora, cómo pasa el tiempo), decía que para que un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas fuera compatible indeterminado o incompatible, había que hacerlo aposta. efectivamente, una de las filas de la matriz de coeficientes tiene que ser combinación lineal de las otras dos. dicho de otro modo, si te inventas sobre la marcha un sistema de ecuaciones, eligiendo los coeficientes totalmente al azar, lo normal es que sea compatible determinado.

con lo cual, está claro que ese día tuve mucha puntería, aunque fuera una puntería desafortunada. ^_^ inventar un sistema de ecuaciones de manera aleatoria y que salga compatible indeterminado es tan difícil como acertar en la diana en el tiro con arco, como hace el pitufo en la viñeta que hay al principio. o que te toque el cupón de la ‘tonce’ (sic) como a superlópez. :D