cuadrados y triángulos

los números cuadrados son aquellos que tienen raíz cuadrada exacta. se pueden distribuir sus unidades en un número igual de filas y columnas. por ejemplo, si en un mosaico de una habitación hay el mismo número de baldosas a lo largo y a lo ancho, el número total de baldosas tendrá raíz exacta, será un número cuadrado.

1 es 1², pero me lo salto porque es un caso muy tonto.

4 es 2², y se puede representar en 2 filas y 2 columnas.

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9 es 3², y se puede representar en 3 filas y 3 columnas.

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16 es 4², y se puede representar en 4 filas y 4 columnas.

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...y así sucesivamente. ahora vamos a hablar de los números triangulares. se pueden expresar como una suma del tipo 1+2+3+...n. existe una fórmula para calcular el resultado sin tener que ir sumando todos los números uno por uno, y es n·(n+1)/2.

el primer número triangular de interés es el 3, igual a 1+2. sus unidades se pueden representar así.

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el siguiente número triangular es el 6, igual a 1+2+3. en éste ya se aprecia un poco mejor la estructura triangular.

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otro número triangular más, para que se vea claro del todo. 10 es igual a 1+2+3+4.

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nos preguntamos ahora si puede existir un número que sea cuadrado y triangular a la vez. para ello, debe satisfacer al mismo tiempo las expresiones para el número cuadrado y para el número triangular: m² = n·(n+1)/2. dado un número con raíz cuadrada exacta, debemos encontrar la manera de expresarlo como semiproducto de dos números enteros consecutivos.

n·(n+1)/2 debe ser un cuadrado perfecto. para ello, todos sus factores primos deben estar elevados a un exponente par, es decir, debe tener la forma 2^a·3^b·5^c·... siendo a,b,c... enteros pares. n·(n+1) será 2^a+1·3^b·5^c... para que esto se cumpla, uno de los dos números enteros que nos ocupan, n ó n+1, tendrá que ser un cuadrado, y el otro el doble de un cuadrado. pero cuando tenemos dos números consecutivos, necesariamente uno es par y el otro es impar. por tanto, sólo el cuadrado podrá ser el impar.

así pues, tendremos que ir buscando números cuadrados impares, y ver qué ‘vecinos’ tiene antes y después. si uno de esos vecinos da la casualidad de que es el doble de un número cuadrado, habremos encontrado lo que buscábamos.

el caso del 1 no tiene mucho interés. pasamos al 3 directamente.

3² = 9. a la derecha tiene al 10, que no es el doble de un cuadrado. pero a la izquierda tiene al 8, que sí es el doble de un cuadrado. 8 = 2·4, y 4 es 2².

por tanto, nuestro n es 8 y nuestro n+1 es 9. n·(n+1)/2 = 8·9/2 = 72/2 = 36.

y 36 es 6², un número cuadrado. por tanto, 36 se podrá representar en forma cuadrada y en forma triangular.

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vamos a buscar otro más. 5² = 25. a la izquierda tiene el 24 y a la derecha el 26. ninguno de los dos es el doble de un cuadrado.

7² = 49. a la izquierda tiene el 48, que no es el doble de un cuadrado. pero a la derecha tiene el 50, que es 2·25 = 2·5². ése si es el doble de un cuadrado.

nuestro n es 49 y nuestro n+1 es 50. n·(n+1)/2 = 49·50/2 = 1225.

1225 es 35². y se puede expresar también como la suma 1+2+3+...48+49. por tanto, 1225 es el segundo número cuadrado y triangular a la vez. fijaos si nos hemos tenido que ir lejos... como veis, este tipo de números tan especiales son escasos. no vamos a hacer esta vez lo de las estrellitas en filas y columnas, porque sería muy pesado.

espero no haberos mareado demasiado. ^_^ los egipcios sabían mucho de números. ahora estoy leyendo un libro sobre los faraones que me regaló mi amiga maría.