constitución española

cierto militar que vivió muy de cerca la transición española, aseguró que muchos de los ciudadanos que ratificaron con su voto la constitución en el referendum del 6 de diciembre de 1978, no se la habían leído. independientemente de que hubiera más o menos verdad en esta afirmación, no quise que de mí se pudiera decir eso: yo sí me leería la constitución en algún momento, cuando tuviera tiempo y ganas.

durante el mes de diciembre del pasado año, cuando tuvo lugar la huelga de controladores aéreos, se decretó el estado de alarma, como todos sabemos. se trataba de un hecho excepcional en la historia reciente de españa, y por eso se analizaron las diferentes leyes que regulaban los estados de alarma, excepción y sitio, con objeto de discernir si la actuación del gobierno había sido la correcta. dichos estados estaban descritos en el artículo 116 de la constitución, que leí una y otra vez, y aunque no aclaraba mucho para el problema concreto de los aeropuertos que se estaba viviendo, fue la ‘chispa’ que despertó de nuevo mi curiosidad por el contenido de la carta magna.

tenía una ejemplar de la constitución en pdf impreso y encuadernado desde hacía tiempo, que me lo fui leyendo poco a poco. al contrario de lo que se pueda pensar, la constitución no es muy extensa. tiene un total de 169 artículos, muy pocos en comparación con otros textos legales. y si vais a la sección de derecho de cualquier librería, comprobaréis que la constitución es un libro que destaca por lo fino que es, comparado con otros como el código civil, el código penal...

la constitución española es el texto legal supremo que regula todo el ordenamiento jurídico de nuestro país. cualquier ley debe subordinarse a la constitución, que es algo así como el escalafón más alto de la jerarquía, el vértice superior de la pirámide. y precisamente por eso, es lógico que la constitución sea breve: tan sólo marca las directrices que deben seguir las demás leyes, en las cuales se desarrollará en detalle la materia a regular.

como consecuencia, ninguna ley puede entrar en conflicto con la constitución. el código civil, promulgado en 1889, se modificó para adaptarlo a dos mandatos constitucionales que suponían una novedad en el ordenamiento jurídico español: la nueva mayoría de edad, fijada en 18 años, y la despenalización del adulterio. asimismo, se derogaron algunas leyes anteriores a la restauración de la democracia en españa.

muchos de los preceptos de la carta magna parecen obvios, tal vez porque siempre los hemos vivido, pero no lo son tanto. voy a hacer un recorrido de los artículos más célebres o que más me han llamado la atención. esto no es un análisis exhaustivo, y seguro que dejaré cosas importantes sin comentar. por ejemplo, a mí me parece muy entretenido el título I, de los derechos y deberes, pero en cambio, el título III, que explica con detalle cómo funcionan las cortes, me aburre un poco... es cuestión de gustos.

el artículo 1 es una declaración de principios democráticos. marca las diferencias respecto al régimen de franco, bajo el que estuvo sometida españa entre 1939 y 1975. se establecen como valores superiores del ordenamiento jurídico “la libertad, la justicia, la igualdad y el pluralismo político”. se propugna la democracia como principio fundamental, al dictar que “la soberanía nacional reside en el pueblo español”. por otro lado, se establece la monarquía parlamentaria como forma política del estado español. la constitución española se define como monárquica desde el primer artículo, aspecto que no suscita el mismo acuerdo unánime que otros principios anteriormente citados, como la libertad y la democracia.

el artículo 14 es uno de los más conocidos, el de la igualdad ante la ley, y merece la pena citarlo íntegramente, pues se explica por sí solo: “los españoles son iguales ante la ley, sin que pueda prevalecer discriminación alguna por razón de nacimiento, raza, sexo, religión, opinión o cualquier otra condición o circunstancia personal o social”.

otro artículo fundamental es el 15, que hace referencia al “derecho a la vida y a la integridad física y moral”. como consecuencia, establece la abolición de la pena de muerte, así como de cualquier forma de tortura.

el artículo 20 es otro de los más célebres. en él se establece la libertad de expresión, marcando de nuevo diferencias respecto al anterior régimen. este artículo se extiende en varios apartados y subapartados que matizan diferentes aspectos. cabe mencionar los límites del derecho a la libertad de expresión, que son fundamentalmente los otros derechos de las personas reconocidos en el título I de la constitución, en el cual se ubica este artículo.

en el artículo 33 se reconoce el derecho a la propiedad privada. por otro lado, según el artículo 38, se reconoce la libertad de empresa en el marco de la economía de mercado. de estos tres conceptos, propiedad privada, libertad de empresa y economía de mercado, se puede deducir que la constitución propugna una libertad económica que excluye sistemas marxistas puros, totalmente intervenidos por el estado. efectivamente, a lo largo de estos años ha habido modelos más liberales o más intervencionistas, según lo que los ciudadanos decidieran en las urnas en cada momento, pero siempre en el marco de una economía libre.

el artículo 56 es el que define la figura del rey de españa. “el rey es el jefe del estado, símbolo de su unidad y permanencia, arbitra y modera el funcionamiento regular de las instituciones, asume la más alta representación del estado español en las relaciones internacionales (...), y ejerce las funciones que le atribuyen expresamente la constitución y las leyes”. pero aparte de esta definición, hay un punto de este artículo del que se ha hablado poco, y es a lo que se refería aquel militar del que hablaba al principio de esta entrada cuando afirmaba que la gente había votado a favor de la constitución sin leerla.

en el tercer apartado del artículo 56 se establece que “la figura del rey es inviolable y no está sujeta a responsabilidad”. sus actos estarán refrendados por otra autoridad -el presidente del gobierno o el presidente del congreso de los diputados, según los casos previstos en los correspondientes artículos-, y carecerán de validez sin dicho refrendo. estar refrendados quiere decir que serán legalizados mediante documento escrito, y responderán de dichos actos quienes los refrenden. en definitiva, la figura del rey está exenta de toda responsabilidad, se encuentra de alguna manera ‘blindada’.

el poder legislativo del estado corresponde, como sabemos, a las cortes generales: el congreso de los diputados y el senado. así lo establece el artículo 66 de la constitución. sin embargo, el artículo 86 prevé que el gobierno, a quien corresponde el poder ejecutivo, “en caso de extraordinaria y urgente necesidad”, “podrá dictar disposiciones legislativas provisionales que tomarán la forma de decretos-leyes”. los límites el alcance de dichos decretos-leyes están indicados en el mismo artículo. antes de hacerse efectivos, deberán someterse a debate y votación en el congreso de los diputados.

el decreto-ley tiene mala prensa por varias razones: por el uso excesivo que de él se hace -cuando, por definición, se trata de un procedimiento de urgencia-; por lo impopular del contenido de muchos de ellos; y, sobre todo, porque desvirtúa la separación de poderes propia de un estado democrático.

el artículo 127 deja clara la independencia -al menos en teoría- del tercer poder del estado, el poder judicial. en él se enumeran las incompatibilidades de los jueces, magistrados y fiscales con el ejercicio de sus funciones: “no podrán desempeñar otros cargos públicos, ni pertenecer a partidos políticos o sindicatos”.

bien, hasta aquí mi recorrido... había anotado en una lista una serie de artículos que quería comentar, como guión para esta entrada, pero de esos artículos he hecho una selección, porque si no, iba a ser demasiado larga. leer la constitución de cabo a rabo no es algo que me atreva a recomendar a todos aquellos que, como yo, no hayan estudiado la carrera de derecho... al principio, cuando habla de los derechos de los ciudadanos y ese tipo de cosas más generales, resulta amena. también cuando habla de la corona, porque cuenta cosas que la gente no sabe. pero cuando entra en detalles del funcionamiento de las instituciones, ya se empieza a poner pesada...

para terminar, y como anécdota, os contaré que el artículo más corto de la constitución es el 5: “la capital del estado es la villa de madrid”. y el más largo? el 149, dentro del título VIII, de la organización territorial, en el que enumera las competencias exclusivas del estado. son 33 en total. el artículo completo ocupa algo más de una página y media. mañana examen de ese artículo! ;)

esther en san valentín

en el foro de esther y su mundo, tradicionalmente se organiza un concurso de relatos románticos coincidiendo con la celebración de san valentín.

este año se ha encargado de organizarlo geno, por haber sido la ganadora de la edición anterior. geno introdujo una pequeña novedad en el concurso, que consistía en darnos un breve encabezamiento del cual debíamos partir, para después continuar el relato como quisiéramos. ha sido divertido comprobar cómo, a partir de un mismo comienzo, pueden surgir historias tan diferentes.

ha habido dos ganadoras que quedaron empatadas a votos, candela y riesgho, a quienes felicito de nuevo desde aquí. creo que fue una sabia decisión por parte de geno, porque ambos relatos eran realmente bonitos y merecían ganar.

aquí os dejo el relato con el que yo participé. lo escribí sobre la marcha, sin tener una idea muy concreta del argumento que iba a tener la historia. espero que os guste. la introducción común a todos los relatos la he marcado en color verde.


Esther se miró en el espejo por enésima vez. Revisó su peinado, maquillaje, vestido (definitivamente aquel color le favorecía un montón), zapatos... Comprobó el interior de su bolso. Quería llevar todo lo que pudiera necesitar, no quería que nada le estropease su ansiado encuentro. Tanto tiempo esperando y por fin había llegado el día ¡y en San Valentín nada menos! Oyó como sonaba el timbre de la puerta, los pasos de su madre que se dirigían a ella y como giraba el pomo:

-¡Estheeeerrr! ¿Estás lista? Vienen a recogerte

-¡Ya voy, mamá!

Y echando un último vistazo al espejo, salió de la habitación. Al pie de las escaleras, Rita estaba esperándola.

-¡Qué arreglada te has puesto! ¡Cómo se nota que va a la fiesta quien tú y yo sabemos! -dijo con su ironía habitual.

-Calla, calla -replicó Esther-. Es verdad que irá Juanito, pero también irá la víbora de Doreen. ¡Y lo voy a pasar mal si hace alguna de las suyas, tú ya me entiendes!

-¡Oh, mujer, no seas agonías, no te lamentes antes de tiempo! Si vas con esa actitud negativa, no conseguirás nada bueno. ¡Venga, vamos a la parada del autobús, que no nos sobra tiempo! -apremió Rita.

Tardaron unos diez minutos en llegar al local donde se había organizado la fiesta. Esther y Rita entraron, buscando alguna cara conocida. La sala estaba casi vacía de gente y la música sonaba a un volumen tenue, lo que indicaba que la mayoría de sus compañeros aún no habían llegado.

Pero en una esquina reconocieron a alguien. Era Doreen Snyder, junto con su grupo de aduladoras.

-¡Mira quién está ahí! -exclamó Esther.

-Sí, ha llegado la primera, mira qué lista es -respondió Rita, y saludó con la mano a Doreen desde lejos-. Bueno, tú no te preocupes, está por ver quién se comerá algún rosco y quién no.

Poco a poco la gente fue llegando, pero Juanito no aparecía, lo que hacía que Esther estuviera cada vez más nerviosa. A pesar de que Rita trataba de distraerla implicándola en las conversaciones con otros amigos que allí se encontraban, Esther no podía concentrarse en otra cosa que no fuera mirar hacia la entrada, esperando la llegada de Juanito.

Hasta que, por fin, Juanito entró por la puerta. A Esther, como era de esperar, le dio un vuelco el corazón. Juanito se dirigió en primer lugar hacia el grupo donde estaba Esther, y la saludó cariñosamente. La cosa empezaba bien. Se justificó por haber llegado a la fiesta con retraso.

-He tenido un entrenamiento esta tarde y se ha alargado más de lo previsto. Y luego, entre llegar a casa, ducharme, vestirme...

En ese momento apareció Doreen, que había visto a Juanito de lejos y se había acercado a él pasando desapercibida entre la gente.

-¡¡Sorpresa, Juanito, aquí está tu princesa!! -canturreó, achuchándole por detrás.

-¡Hola, Doreen! Vaya, tanto entusiasmo me abruma...

-¡Vente con nosotras! Hemos estado esperándote hasta ahora, y no es hasta que has llegado cuando de verdad ¡empieza la fiesta! -exclamó Doreen, teatralmente.

-Bueno, chicas -Juanito se dirigió a Esther y a Rita, haciendo un gesto con la cabeza que venía a decir algo así como “qué dura es la fama”-. Luego volveré un rato con vosotras, ¿vale?

Esther se quedó desconsolada, pero afortunadamente tenía al lado a su amiga Rita para quitar hierro a la situación.

-¡Te lo dije! -se lamentó Esther-. Esta bruja se iba a llevar a Juanito a su terreno.

-¿Cuántas capas de maquillaje crees que llevaba? -se preguntó Rita-. Yo creo que tres por lo menos. Y ni aun así disimula que no se ha depilado bien el bigotillo.

Esther observaba de lejos a Juanito. Rita, por su parte, hablaba con todos los chicos que encontraba, pero sin descuidar a su amiga Esther. De vez en cuando trataba de integrarla en los corrillos que se formaban, o le proponía ir juntas a pedir un refresco a la barra.

Pero Esther estaba demasiado absorta en Juanito. Al principio parecía que se encontraba a gusto entre Doreen y sus secuaces. Pero a medida que el tiempo pasaba, las historias que Doreen le contaba entre gestos teatrales y carcajadas histriónicas, parecían cansarle. Así se reflejaba en el rostro de Juanito.

Hasta que les avisó de que se levantaba un momento, y ellas asintieron. Se dirigió a la barra y pidió un refresco. Y, para gran sorpresa de Esther, no volvió con el grupo de Doreen, sino que se acercó a donde estaban Esther y Rita.

-¿Qué tal, chicas, cómo va la noche?

-¡Juanito! ¿Ya te has cansado de los cuentos de Doreen? -inquirió Esther.

-Mmmm, bueno... -Juanito esbozó una sonrisa de complicidad-. Aparte de eso, ¡es que el perfume que lleva me estaba mareando! ¡Desde aquí se huele!

A continuación, Juanito miró el reloj y dijo:

-Estoy cansado. He tenido un entrenamiento muy duro, y mañana jugamos un partido importante. Si quiero estar en forma, no puedo quedarme hasta muy tarde. Creo que me voy a ir a casa, chicas.

-Yo también estoy cansada -respondió Esther-. Si quieres nos vamos juntos.

-¡Me parece muy bien, Pecosa! Tenemos que coger la misma línea de autobús, así que perfecto.

Rita estaba en pleno proceso de ligue con un chico. De todos los chicos con los que había hablado esa noche, parecía haberse decidido por uno. Pero tenía un ojo y una oreja puestos en Esther y Juanito, y se estaba enterando de todo.

-¡Vaya, vaya! -dijo Rita, jovialmente.

-Esto... Que nos vamos juntos Juanito y yo, ya sabes... -Esther no podía disimular el brillo en sus ojos.

-Pues nada, nada, ¡portaos bien! -respondió Rita, con un guiño.

-¡Mira quién fue a hablar! -rió Esther-. Pásalo bien, y ya me contarás qué tal te ha ido...

-¡Nos vemos en el instituto, Rita! -se despidió Juanito.

Esther y Juanito salían por la puerta. Doreen lo estaba observando todo. Entre el calor que hacía en el local y la ira que la invadía, se le estaba derritiendo el maquillaje. Una de sus amigas le prestó un kleenex.

Así pues, aquella noche de San Valentín tuvo un final feliz para Esther. No sabemos lo que ocurrió entre Esther y Juanito a solas durante el trayecto hasta su barrio, y eso queda a la imaginación de las lectoras. Os podemos decir, eso sí, que el autobús tardó un poco más de la cuenta en llegar a la parada. Aunque a Esther y Juanito no les importó mucho, es más, apenas se percataron de ello...

gatos

los gatos me resultan muy simpáticos, me hacen mucha gracia. tengo una pequeña colección de fotos de gatos que he ido sacando en diferentes lugares en los que he estado. y no tengo más porque, o bien no llevaba la cámara en ese momento, o bien salían corriendo antes de que me diera tiempo a disparar.

tenía en mente hace tiempo mostraros dichas fotos. hace poco wendy dedicó en su blog una entrada a los mininos, y eso ha hecho que por fin me animara. ;) los gatos que salen en estas fotos tienen unas caras muy graciosas, y uno puede tratar de imaginarse qué están pensando o qué dirían si pudieran hablar...

qué sueño tengo! o quizá sea hambre... a ver si pillo algo de zampar por ahí.

déjate de carantoñas y dame una sardina o algo...!

oigo algo moverse... igual es un ratón... permaneceré al acecho!

qué bien se está tumbado a la sombra haciendo la digestión!

estos bares de playa son una mina. siempre se pilla algún pescadito frito!

mírame fijamente a los ojos... relájate...

cómo que “hola, gatito”? y quién te dice que no soy una gata??

qué hace este friki sacándome una foto? hay gente para todo...

qué te parece mi esbelta figura? no tengo nada que envidiar a los leopardos de los documentales de la 2!

espero que os haya gustado. si se os ocurre alguna frase alternativa para cualquiera de estas fotos, sed libres de proponerla. :D

dejamos a los gatitos para ocuparnos de otro asunto. ;) mi amiga wendy me ha concedido este bonito premio bloguero, que en breve lo añadiré a los que están en el margen del blog. mil gracias, wendy, por acordarte de mí!!

las reglas del premio son las siguientes:
1- llévatelo y hazle un post. o si no, sólo ponlo en un rinconcito de tu blog.
2- nomina a 6 blogs que pienses que lo merezcan.
3- responde las siguientes 6 preguntitas existenciales:

1) ¿Si te dieran una chance con la máquina del tiempo, a qué época histórica o década te gustaría ir?
me gustaría desplazarme a la inglaterra del siglo xix, donde están ambientadas muchas de las primeras novelas adultas que leí.

2) ¿Y si fuera una época de tu propia vida? (por ejemplo: adolescencia, infancia, futuro)
me parecen especialmente bonitos los últimos años de colegio. primero decides entre ciencias o letras, luego eliges la carrera que quieres estudiar... tomas tus primeras decisiones importantes y empiezas a saber qué te gusta y qué no. la visión que se tiene de las cosas es algo idealizada e ingenua, quizá por ello es una época que recuerdo con cierto cariño.

3) ¿Para hacer qué cosas te gustaría tener más tiempo?
para viajar y visitar más a menudo a familiares míos que no viven en madrid, ya que, como sabéis, soy madrileño pero no soy ‘gato’.

4) ¿Sí tuvieras que vivir dentro de una película o serie de televisión, cuál sería?
me gustaría ser cary grant en la película con la muerte en los talones de hitchcock. es mi ídolo. le pasan unas cosas terribles y el tío, aun así, hace unos comentarios sarcásticos para partirse de risa. :D

5) Sí no te dedicaras a lo que haces actualmente, ¿qué te gustaría ser?
quiero ser profesor, estoy pendiente de las próximas convocatorias de los másteres de formación de profesorado y similares, que es la única manera a día de hoy...

6) Sí el genio de Aladino te concede tres deseos, ¿cuáles serían?
- buena salud y longevidad para mis familiares.
- cumplir el sueño de la pregunta anterior.
- olvidar las malas experiencias.

ahora tengo que conceder este premio a seis personas. vamos allá...

aurin, para que actualices tu blog, que lo tienes muy abandonado.
shirat, porque creo que te gustará hacer el cuestionario.
rosana, a ti también, y algunas preguntas están relacionadas con la historia y con el cine. :)
estela, que seguro que darás respuestas irreverentes y divertidas al cuestionario. ;)
coilet, tú te lo mereces, que no paras en todo el día y estuviste malita hace poco.
riesgho, por varias razones. una de ellas, tener una hija muy lista. ;)

felicidades a las premiadas! ya os iré avisando poco a poco.

número áureo (1)

dije en más de una ocasión que le iba a dedicar una entrada al número áureo. pero, al documentarme sobre el tema, me di cuenta de que daba para varias entradas. no sé cuántas serán ni cómo las distribuiré, pero ésta es la primera y no será la última. ;)



en la entrada sobre los polígonos expliqué cómo se dibujaba un pentágono regular. su construcción se basaba en que la proporción entre su diagonal (la línea que une dos vértices no consecutivos) y su lado era el número áureo. ahora bien, eso cómo se sabe? pues bien, hay varias maneras de demostrarlo, y eso es de lo que tratará esta entrada.

empecemos por el principio. por definición, se dice que las longitudes de dos líneas están en la proporción áurea cuando la proporción entre la menor y la mayor es igual a la proporción entre la mayor y la total -que sería la suma de las dos-. en la figura tal vez se vea más claro.

pasamos ahora a calcular el valor numérico que tiene la proporción áurea según la definición que se ha dado. llamaremos l a la longitud del lado menor de la figura. al número áureo que tratamos de calcular lo llamaremos Φ. la longitud del lado mayor será la del menor multiplicada por esa proporción, es decir, l·Φ.

se obtiene una ecuación de segundo grado en la cual la incógnita es Φ. de las dos soluciones, tomamos la positiva. así, acabamos de calcular el valor del número áureo, que es (1+√5)/2=1.61803398875... un número con infinitas cifras decimales que nunca forman ninguna pauta periódica, y que se podrá aproximar con más exactitud cuantos más decimales se tomen.

volviendo al pentágono, para demostrar que su diagonal y su lado están en proporción áurea, el primer paso será determinar los ángulos que forma el ‘triángulo interno’ formado por el lado y las diagonales del pentágono. para ello nos basaremos en que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es 180º, propiedad en cuya demostración no entraremos aquí para no hacer esta entrada más complicada de lo que ya es... :S

en primer lugar, nos fijamos en el triángulo OAB marcado en azul, que corresponde a cada uno de los cinco ‘gajos’ del pentágono. el ángulo del vértice O sería el ángulo completo, la ‘tarta’ completa, dividida entre 5: 360º/5=72º. los ángulos de los vértices A y B serán iguales al ser un triángulo isósceles (dos de los lados, en concreto los lados OA y OB, son iguales). por tanto, a 180º le restaremos el ángulo del vértice O, 72º, y de lo que salga, la mitad será para A y la mitad para B: (180º-72º)/2=54º.

ahora nos situamos en el triángulo BCD. dada la simetría del pentágono regular, el ángulo del vértice C será el doble del ángulo del vértice A que acabamos de calcular: 2·54º=108º. de nuevo estamos ante un triángulo isósceles: los lados CB y CD son iguales, son ni más ni menos que los lados del pentágono. luego los ángulos de los vértices B y D también serán iguales. los calculamos de forma análoga a como lo hemos hecho en el caso anterior: (180º-108º)/2=36º para cada uno.

por fin llegamos al triángulo que nos interesaba, el formado por el lado y las diagonales del pentágono: el triángulo BDE. pero antes vamos a fijarnos en todo el pentágono en su conjunto: el ángulo del vértice D, considerando el pentágono completo y teniendo en cuenta su simetría, sería 108º, como hemos calculado antes. por tanto, los ángulos que forman en el vértice D los triángulos BCD y BDE (el morado y el naranja, para entendernos) deben sumar 108º. el de BCD ya lo conocemos: 36º. luego el otro, el de BDE, se obtendrá por diferencia: 108º-36º=72º.

sólo nos falta por calcular el ángulo del vértice B, pero esto ya será muy sencillo: sabiendo que el ángulo del vértice E es el mismo que el de D, es decir 72º, al tratarse de un triángulo isósceles, simplemente restaremos: 180º-72º-72º, o bien 180º-2·72º=36º.

estamos ante un triángulo isósceles peculiar. sus ángulos son 36º y dos veces 72º. el ángulo mayor es el doble del ángulo menor. se trata del único triángulo que cumple esta condición. de hecho, si se plantea el problema como un sistema de ecuaciones, imponiendo que los tres ángulos sumen 180º, que dos de ellos sean iguales, y que el ángulo ‘igual’ sea el doble del ángulo ‘desigual’:
x+2·y=180
y=2·x
se puede comprobar que la solución que se obtiene es x=36º, y=72º.

veamos qué ocurre si se traza la bisectriz desde uno de los vértices de mayor ángulo. pero antes que nada debo explicar qué es una bisectriz y cómo se traza, pues no recuerdo haberlo hecho hasta ahora en ninguna entrada anterior. la bisectriz de un ángulo es una línea que divide ese ángulo en dos ángulos, en dos sectores, iguales. buscamos dividir el ángulo de 72º en dos ángulos de 36º.

desde el vértice se trazan dos arcos con la abertura del compás que se desee, que corten a las dos líneas que delimitan el ángulo sobre el que se va a trazar la bisectriz: [1] y [2]. desde los puntos de corte de estos arcos con las lados, se trazan dos nuevos arcos, de nuevo sin importar la abertura del compás (por comodidad, podemos mantener la misma que hemos utilizado antes), con tal de que dichos arcos se corten entre sí: [3] y [4]. trazamos una línea recta que una el vértice del ángulo que estamos buscando dividir y el punto de corte de los arcos que acabamos de trazar: [5]. esa línea es la bisectriz.

al trazar la bisectriz sobre el ángulo mayor del triángulo isósceles cuyos lados son el lado del pentágono regular y sus diagonales, hemos dividido el citado ángulo, de 72º, en dos ángulos de 36º. y también hemos obtenido dos nuevos triángulos, cuyos ángulos vamos a calcular, con objeto de comprobar si existe alguna semejanza con el triángulo ‘mayor’ de cuya división provienen.

nos fijamos en el triángulo ABD, el rosa. el ángulo del vértice D es 36º, el que hemos obtenido al dividir 72º en dos partes iguales al trazar la bisectriz. el ángulo de A es 72º. luego el ángulo de B será, por diferencia: 180º-36º-72º=72º.

esto quiere decir que el triángulo ABD es semejante al triángulo ACD: el mayor, el original, el que habíamos dividido. ser semejante quiere decir que sus lados tienen las mismas proporciones y sus ángulos son iguales. al trazar la bisectriz sobre el ángulo mayor del triángulo ACD, obtenemos otro triángulo semejante. esta conclusión que acabamos de sacar será fundamental.

ahora nos fijamos en el triángulo BCD, el azul. el ángulo del vértice D, donde habíamos trazado la bisectriz, es 36º. el ángulo del vértice C tiene el mismo valor, 36º. por tanto se trata, nuevamente, de un triángulo isósceles. el ángulo del vértice B se puede calcular por diferencia, 180º-2·36º=108º, aunque no es relevante para lo que vamos a hacer.

como hemos comentado más arriba, los triángulos ACD y ABD son semejantes. AB (lado menor del triángulo pequeño) está en la misma proporción respecto a AD (lado mayor del triángulo pequeño) que AD (lado menor del triángulo grande) respecto a AC (lado mayor del triángulo grande).

esta relación, esta regla de tres, nos recuerda a la que apoyaba la definición de la proporción áurea. para hacerla más análoga, podemos servirnos de la simetría de los triángulos. dado que ABD es un triángulo isósceles, la longitud de AD es la misma que la de BD. y como BCD también es un triángulo isósceles, la longitud de BD será igual a la de BC. si AD=BD y BD=BC, entonces AD=BC.

de ese modo, AB es la longitud menor, BC es la longitud mayor, y AC es la suma de las dos. la menor está en la misma proporción respecto a la mayor que la mayor respecto a la total. y eso no es otra cosa que la definición de la proporción áurea. hemos demostrado, pues, que la diagonal de un pentágono y su lado están en proporción áurea.

hay otra manera de llegar a esta conclusión, quizá algo más analítica y menos geométrica. siendo ACD el triángulo formado por el lado del pentágono y sus diagonales, la longitud del lado del pentágono la podemos llamar l, y la longitud de la diagonal l·Φ, siendo Φ un factor, una proporción, cuyo valor en teoría no conocemos aún.

así pues, podemos decir de forma inmediata que la longitud de AD será l y la longitud de CD será l·Φ. la longitud de BD y de BC también serán l, ya que, por lo que hemos explicado antes, los triángulos ABD y BCD son isósceles.

la longitud de AC tendrá que ser la misma que la de CD, l·Φ. dicha longitud será la suma de las longitudes de AB y BC, ya que están alineadas. la longitud de BC la conocemos, es l. luego la de AB la podemos obtener por diferencia: l·Φ-l=l·(Φ-1).

dado que el triángulo ABD es semejante al triángulo ACD, el lado AB deberá estar en la misma proporción respecto a AD que AD respecto a CD. si el cociente entre la longitud de CD y la de AD es Φ, también se deberá obtener ese valor al dividir las longitudes de AD y AB. si lo hacemos, el valor de la longitud l se cancela en el numerador y en el denominador, y se obtiene que 1/(Φ-1)=Φ. o bien, Φ-1=1/Φ. de aquí se obtiene una ecuación de segundo grado en Φ igual a la que nos salía para calcular el número áureo, y que por tanto tendrá la misma solución: Φ=(1+√5)/2.

bien, pues lo vamos a dejar aquí... lo digo porque pensaba demostrar la proporción áurea entre la diagonal y el lado de un pentágono por otra vía más. pero esta entrada, tal como está ahora mismo, ya es demasiado larga. y es que siempre que están los pentágonos por medio me salen entradas kilométricas. :P

espero que os haya gustado, y os espero en el próximo capítulo de la saga áurea. ;)

alicante

a finales del verano de 2009 hicimos un breve viaje a san juan. allí, mi abuela paterna -la misma de la casa antigua de la que os he hablado en alguna ocasión- pasa las vacaciones todos los años, junto con otros familiares que van y vienen a lo largo del verano.

san juan es un conocido destino turístico en la provincia de alicante. se encuentra muy cerca de la capital, y de hecho es fácil apreciar sobre el terreno que alicante y otras localidades limítrofes -como san juan y campello, por mencionar las que yo conozco-, están unidas de forma continua.

alicante es la cuarta provincia más poblada de españa, con cerca de 2 millones de habitantes, después de madrid, barcelona y valencia. esto se explica porque alicante es muy densa en municipios.

cuando las matrículas de los coches tenían el distintivo de la provincia, se podía conocer la cantidad de coches matriculados por provincias en términos comparativos, según la letra de serie por la que fueran en un momento determinado. las más avanzadas siempre eran madrid y barcelona. creo que durante un tiempo barcelona iba por delante de madrid (recordemos que hablamos de las provincias en su totalidad) y después se invirtieron los puestos, pero siempre hubo poca diferencia entre ambas. la tercera era valencia. y la cuarta? sevilla, tal vez...? pues no, era alicante. desde hace muchos años alicante ha sido la cuarta provincia más poblada, y el número de coches matriculados daba una pista de ello.


fuimos a san juan después de haber estado en santander. el cambio del cantábrico al mediterráneo para mí fue un gran contraste. hacía calor, sí, pero aparte de eso, lo que recuerdo es que el sol me resultaba cegador, una sensación muy extraña. buscaba a toda costa la sombra, y por eso pasé grandes ratos sentado en el porche, a ratos leyendo y a ratos mirando el mar azul como si viajara en un barco.

aunque, para quien buscara la sombra como yo, también era una buena opción bajar por las escaleras del porche y dirigirse a la parte de atrás de la casa. los bancos y la mesa están un pelín sucios, pero es porque nadie los usa, lo cual es una pena. ;) cuando era pequeño y merodeaba por esa zona solía coger del suelo las piñas que caían de los pinos.

hice una foto desde el terrado del chalet. ese día la playa estaba con bandera roja, algo poco habitual en un mar tranquilo como el mediterráneo. aunque, como veréis después, no es aquí donde acaban las cosas poco usuales desde el punto de vista climático. quizá lo del mar fue un preludio. ;)

por delante del chalet pasa el tranvía. en la foto anterior se pueden ver los raíles. una mañana nos desplazamos a alicante capital en ese medio de transporte. lo pasamos bien. podía haber hecho alguna foto de esa avenida tan ancha con un bulevar que hay bordeando la playa, no sé por qué no la hice. en cambio, vi un árbol antiguo en una plaza, y como esos árboles me encantan, si no lo fotografiaba no me quedaba tranquilo. ;)

como decía antes, aquel viaje lo recordaremos por las vicisitudes climatológicas... :P dicho de una forma más directa, que vino la gota fría y cayó una tormenta de mil demonios. :D menos mal que nos pilló en casa. lo curioso es que no ha sido la primera vez que he visto caer un chaparrón allí. en otra ocasión en la que estuve en san juan, cuando era pequeño, también vi caer chuzos de punta.

aquí tenéis la vista desde el porche, en estado normal y durante el chaparrón. aquel día, si tenías que salir para algo, mal asunto si no tenías unas katiuskas a mano.

incluso saqué una foto en el momento en que caía un rayo. de repente se hizo de noche. era una foto que tenía que hacer, incluso asumiendo el riesgo de que el rayo se sintiera atraído por mi cámara. :P

en fin, la tormenta pasó, el suelo no tardó demasiado en secarse, y lució un tímido arco iris...

pues ésta ha sido la crónica de aquel viaje -un poco desordenada, eso sí-, que ha estado más de un año sin salir a la luz y con las fotos guardadas en un cajón porque no sabía cómo enfocarla, cómo darle forma... espero que os haya gustado. :)

amiga invisible

el pasado mes de diciembre recibí un paquete por correo postal, con motivo del juego del amigo invisible que todos los años se organiza en el foro de esther y su mundo. tras examinar los regalos, tuve la intuición de que mi amiga invisible era riesgho. no me preguntéis por qué, era una corazonada. ;)

mi generosa amiga invisible me mandó un montón de cosas:
- un reloj de pared decorado con dibujos de algunos de los personajes más populares de bruguera.
- un ensayo sobre geometría aplicada a la vida cotidiana. estaba claro que mi amiga invisible era alguien que me conocía bien. ;)
- un tarro de cristal que contenía los ingredientes áridos necesarios (harina, azúcar, etc.), en sus debidas proporciones, para elaborar unas cookies caseras.
- una caja de ramas de chocolate negro con aroma a frambuesa, como muestra para el trabajo de campo del wonka. ;)
- y una tarjeta con bonitas palabras de puño y letra de la autora de los regalos.

en el reloj hay muchos personajes reconocibles: mortadelo y filemón, el botones sacarino, pepe gotera y otilio, rompetechos, 13 rue del percebe, la familia trapisonda, zipi y zape, petra, anacleto, la familia cebolleta... si queréis construir un reloj artesanal parecido a éste tan estupendo que hizo mi amiga invisible, podéis encontrar un tutorial escrito por ella misma en el número de enero de la revista foroesther. la tenéis también en el margen del blog, pero como será pronto reemplazada por la de febrero y más tarde por otras posteriores, por eso os la he enlazado aquí.

el libro se titula geometría cotidiana y está escrito por claudi alsina, catedrático de matemáticas de la universidad politécnica de cataluña. en él se muestran las múltiples aplicaciones de la geometría a los objetos que están presentes en nuestra vida diaria: desde los envases hasta los electrodomésticos, pasando por el mobiliario.

en este libro se emplea un tono informal y distendido, incluso con algunas dosis de humor, para hacerlo asequible al lector, aunque sin perder el rigor matemático. de hecho se hace alusión a ciertos conceptos de matemáticas universitarias, como las curvas cónicas (elipse, parábola, hipérbola), o los cinco poliedros regulares (tetradedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro), o una vez más, el número áureo. este número está pidiendo a gritos que le dedique una entrada. está en todas partes!!

al fin encontré el momento para preparar las cookies con los ingredientes que me proporcionó mi amiga invisible. en la etiqueta roja del tarro explicaba la receta para su elaboración. hice caso de todo con excepción de un pequeño detalle, que era dejar la suficiente separación entre las bolas de masa. no lo hice así, como podéis deducir por la foto. :D las puse en filas contrapeadas demasiado juntas, y al expandirse chocaron unas con otras formándose una estructura tipo panal, como la propia riesgho me decía ayer cuando mostré la foto en el facebook. ;)

pero estaban muy ricas de sabor. las hice, para ser exactos, el viernes por la tarde, y ya se han acabado. han tenido mucho éxito en casa. la receta la tenéis también en el número de enero de foroesther que he enlazado más arriba, en este caso a cargo de la hermana de mi amiga invisible. eso me hizo dudar sobre quién de las dos era la autora. ;)

de nuevo, mil gracias por los regalos, susana, me han encantado!! y también a remi, por la colaboración que haya podido prestar... ;)

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hay una cosa más que quería comentaros. mirando mi escritorio de blogger, me he dado cuenta de que ésta va a ser mi entrada número...

...y no es que yo dé mucha importancia a esas cosas, pero me ha servido de excusa para hacer la gracieta de poner la foto de una vieja moneda de 100 pesetas que encontré hace un par de años en un rincón de nuestra casa de veraneo. qué nostalgia, eh? ;)

baldosas

cuando veo las baldosas de la calle o del interior de algún edificio, a menudo me fijo en el dibujo geométrico que forman, y me pongo a pensar cómo se podría reproducir sobre una lámina, con los instrumentos de dibujo habituales: lápiz, compás, regla, escuadra y cartabón.

sabía que antes o después escribiría alguna entrada sobre baldosas, pero hay muchas que tienen dibujos interesantes y nunca sabía cuál elegir como ejemplo. hace poco he sabido que las baldosas de bilbao -ciudad que he visitado en numerosas ocasiones desde mi infancia debido a los vínculos familiares que me unen a ella- son únicas y tienen mucha historia. por eso he decidido rendir un homenaje a la baldosa de bilbao. ;)

lo primero de todo es dibujar un cuadrado, de la longitud del lado que se desee, pero a ser posible amplio para poder hacer construcciones sobre él cómodamente: [1]. en aquella entrada que escribí sobre los polígonos, tenéis explicado cómo dibujar un cuadrado. ;)

a continuación vamos a dividir sus lados en tres partes iguales en horizontal y en vertical, para obtener 3x3 cuadrados cuyo lado sería un tercio del lado del original.

empezaremos dividiendo el lado vertical izquierdo en tres partes iguales. para ello utilizaremos el teorema de thales. nos serviremos de las propias líneas del cuadrado, con objeto de no trazar líneas adicionales que compliquen más el dibujo. sobre el lado horizontal inferior del cuadrado, llevamos una misma distancia, elegida a voluntad, tres veces: [2]. trazamos una línea que una el extremo más ‘lejano’, donde hemos llevado esa distancia por tercera vez, con el vértice superior izquierdo del cuadrado; desde el punto del lado horizontal donde nos hemos llevado la distancia arbitraria por segunda vez, trazamos una paralela a la última línea citada; y desde el punto donde nos hemos llevado por primera vez la distancia ‘de thales’, trazamos otra paralela a esa línea; de ese modo, hemos dividido el lado vertical izquierdo en tres partes iguales: [3].

desde los puntos que marcan la división de ese lado, trazamos sendas líneas paralelas al lado horizontal del cuadrado: [4]. de ese modo, hemos dividido el cuadrado en tres ‘rebanadas’ o capas horizontales del mismo espesor.

a continuación haremos algo análogo desde el lado horizontal, y por seguir un orden, lo haremos en el superior. para dividirlo en tres partes iguales no será necesario aplicar el teorema de thales nuevamente. como ya tenemos dividido el lado vertical, tomamos con el compás la longitud de ‘un tercio de lado’, y desde el vértice del cuadrado la llevamos dos veces sucesivamente: [5]. desde esos puntos que dividen el lado horizontal en tres partes iguales, trazamos dos paralelas al lado vertical del cuadrado: [6]. como ya estaba cortado en tres ‘rebanadas’ horizontales, al darle esos nuevos cortes verticales, lo hemos convertido en 9 cuadrados de 1/3 de lado del original, en disposición 3x3.

ahora viene la parte quizá más delicada. antes que nada, vamos a trazar las dos diagonales del cuadrado grande, el original, pues nos van a hacer falta: [7] y [8]. las hacemos en trazo fino para no perjudicar mucho la estética del dibujo.

con centro en el punto de corte de las dos diagonales, que es el centro del cuadrado grande, trazaremos una circunferencia cuyo radio será la mitad del lado del cuadrado pequeño. será una circunferencia inscrita en dicho cuadrado. para ello, desde el punto de corte de las diagonales trazaremos una paralela al lado vertical del cuadrado. donde corte al lado horizontal del cuadrado pequeño, será por donde deba pasar: [9]. así pues, trazamos la circunferencia, que deberá ser tangente a los lados del cuadrado: [10]. la construcción nunca será exacta, y para que se parezca a como son estas baldosas en la realidad, es mejor que la circunferencia se pase un poco de grande, que se salga ligeramente de los límites del cuadrado.

lo que viene ahora es más fácil de entender intuitivamente que de explicar. el dibujo de la baldosa de bilbao es similar a una flor con cuatro pétalos. y aunque estos pétalos están próximos, no llegan a tocarse entre sí. los cuatro pétalos son arcos de circunferencia que pasan por los puntos medios de los lados de los cuatro cuadrados pequeños que se encuentran en las esquinas del cuadrado grande. esto podría hacer pensar que su radio es igual a la mitad del lado del cuadrado pequeño, al igual que la circunferencia central. pero no es así, en realidad es un poco más pequeño. en consecuencia, el centro de la circunferencia del ‘pétalo’ no está exactamente en el vértice del cuadrado pequeño, sino ligeramente más adentro, aunque eso sí, en su diagonal.

dado que no he logrado encontrar las medidas o proporciones exactas de las baldosas de bilbao, lo haremos de forma aproximada. aunque, eso sí, siendo coherentes y manteniendo las medidas que hayamos elegido en un principio. nos situamos en el cuadrado pequeño de la esquina superior izquierda. trazamos la mediatriz del lado inferior de este cuadrado para hallar su punto medio: [11]. en la entrada de los polígonos también explicaba cómo trazar una mediatriz, lo digo por no alargar más esto, que parece la biblia. :D bien, nos fijamos en dónde la mediatriz ha cortado a la diagonal, y desde ese punto de corte trazamos una paralela al lado horizontal del cuadrado. de ese modo dividimos también en dos el lado vertical del cuadrado sin tener que trazar una nueva mediatriz: [12].

elegimos un punto próximo al vértice del cuadrado pequeño, que se encuentre en el interior del mismo y en su diagonal. desde ese punto comenzamos a trazar una circunferencia que pase por los puntos medios de los lados del cuadrado que acabamos de determinar, y detenemos su trazado cuando corte a la circunferencia central: [13].

a continuación haremos lo mismo en el cuadrado pequeño superior derecho, pero esta vez será más rápido. la mitad de la longitud del lado del cuadrado ya la hemos determinado para el caso anterior, con lo cual bastará con tomarla con el compás y llevarla sobre el lado: [14]. para situar el centro de la circunferencia del pétalo a la misma distancia del vértice del cuadrado que antes, haremos lo siguiente: tomamos con el compás el radio del pétalo que hemos trazado anteriormente, desde el punto medio del lado del cuadrado trazamos un arco, y donde corte a la diagonal, ahí está el centro: [15]. conociendo el centro y el radio, ya sólo falta trazar la circunferencia: [16]

para los dos pétalos de la parte inferior, se repetirían los mismos pasos. como observación final, si los pétalos tuvieran como radio la mitad del lado del cuadrado pequeño, se tocarían entre sí, y como decía más arriba, eso no sucede.

pues hala, ya está. os gusta cómo ha quedado? :D me sentiré satisfecho si a partir de ahora veis con otros ojos los pétalos, digo las baldosas. :P