barberos

zipi y zape son muy simpáticos, pero no sé yo si me fiaría mucho de ellos para una intervención tan delicada...

en los libros divulgativos de matemáticas, suelen hablar de lo que se llama la ‘paradoja del barbero’. supongamos que en un pequeño pueblo hay un barbero que afeita a todos los hombres adultos, excepto a aquellos que se afeitan solos. siendo así, quién afeita al barbero?

no puede afeitarse él mismo, ya que no afeita a los que se afeitan solos. y si le afeita otro, ya no será el único que afeita a los que no se afeitan solos. se trata de una paradoja relacionada con la teoría de conjuntos. en el primer caso, el barbero pertenecería y al mismo tiempo no pertenecería al conjunto de los hombres que se afeitan ellos mismos, lo cual es una contradicción. en el segundo caso, directamente iríamos contra nuestra hipótesis...

aunque, si os soy sincero, nunca he llegado a entender muy bien por qué este supuesto se considera una paradoja tan insalvable. el barbero podría dejarse barba! :O y lo mismo podrían hacer aquellos a los que no les apetece afeitarse ellos mismos... cosa que por otra parte comprendo, porque afeitarse es un peñazo, a mí me da mucha pereza. las barbas están muy de moda, y hoy en día los hombres que no nos dejamos barba somos la resistencia.

además, lo de afeitarse en la barbería es algo muy anticuado. la historieta de zipi y zape de la que he sacado la viñeta, es de hace casi cincuenta años. a mí no me gustaría nada que me afeitara otra persona. todavía si fuera una chica monísima acariciándome la cara, pues vale, pero si encima es un maromo... :P

mortadelo y filemón generalmente van afeitados, aunque en ocasiones les sale una larga barba blanca, que refleja el tiempo transcurrido tras una prolongada espera.

optimizar

hace un par de años, tuve que explicar por primera vez los problemas de programación lineal, a una alumna de 2º de bachillerato. para ello me inventé sobre la marcha un problema muy dulce, que tal vez os dé hambre. :D

obviamente no recuerdo qué datos di ni qué condiciones puse, pero era sobre una panadería que fabricaba, entre otros productos, bollos suizos y croissants. para el problema que voy a resolver en esta entrada, supongamos que el precio del bollo es de 1,20 euros, y el del croissant de 1,50 euros.

luego puse algunas restricciones relacionadas con el número de piezas horneadas y con los ingredientes. para este caso, pongamos que el número total de bollos y croissants no debe exceder de 150. y por poner otra restricción sencilla, digamos que disponemos de 2 kilos (2000 gramos) de mantequilla, y que cada bollo necesita 10 gramos de mantequilla, mientras que cada croissant necesita 20 gramos.

traduciendo toda esa información a lenguaje matemático, así es como expresaríamos la función objetivo -ingresos por la venta de bollos y croissants- y las restricciones que hemos explicado.

a continuación, representamos en una gráfica las rectas que marcan el límite de las restricciones. dado que son del tipo “menor o igual”, nos interesará la zona por debajo de cada recta. sombrearemos ambas zonas, que tendrán un área común, aquella que hemos sombreado doblemente, por decirlo así. en esa área se encontrarán las posibles soluciones. hallaremos también el punto de intersección de las dos rectas, ya que lo vamos a necesitar.

la solución óptima se encontrará en alguno de los vértices de ese cuadrilátero irregular extraño que representa la zona de soluciones factibles. cada vértice corresponde a un número de productos de ambos tipos, en este caso bollos y croissants. los sustituiremos en la función objetivo, y la solución óptima será aquella que nos dé unos ingresos máximos.

evidentemente, el origen de coordenadas no lo tenemos en cuenta, pues supondría no fabricar nada de ninguno de los dos productos. el punto A se encuentra sobre el eje x, y por tanto significa que fabricaríamos sólo bollos y ningún croissant. análogamente, el punto B está en el eje y, lo que quiere decir que fabricaríamos sólo croissants y ningún bollo. en este caso, sólo el punto C corresponde a una situación de fabricar cierta cantidad de ambos.

y como era de esperar, en C se encuentra el óptimo. vendiendo 100 bollos suizos y 50 croissants, obtenemos unos ingresos de 195 euros.

en los puntos situados sobre los ejes no suele encontrarse el óptimo, aunque lo comprobemos para descartarlos. eso demuestra que en la vida es necesario el equilibrio, y que no es bueno irse a los extremos. ;)

como vemos, al pitufo panadero le ha ido bien con este modelo de producción.

tutores

en el colegio o instituto, cada grupo de clase tenía asignado un tutor. era el que hacía la introducción el primer día de curso, informando de los horarios y los nombres de los profesores, así como de las normas de funcionamiento. por otro lado, en mi cole, todos los días había media hora de estudio dirigida por el tutor, que a veces aprovechaba para dar una pequeña charla sobre cualquier asunto que surgiera.

los tutores de los grupos eran profesores que impartían asignaturas de ese curso, lógicamente. aunque estaban excluidos aquellos profesores que tuvieran un cargo superior o de ámbito más amplio en el organigrama, como coordinadores, jefes de estudios o directores varios. por ejemplo, mi admirado profesor de matemáticas de 8º de egb era jefe de estudios, y por tanto no podía ser tutor de ningún grupo.

algunos grupos tenían tutores curiosos, por decirlo así. eran profesores a los que yo conocía porque me daban alguna asignatura, y que por una razón o por otra, me costaba imaginarles ejerciendo de tutores. en algunos casos era por su carácter desapegado con los alumnos, que en principio puede parecer poco compatible con lo que se espera de un tutor. otras veces era por el tipo de asignaturas que impartían. hubo más de un tutor que era profesor de educación física, y siempre te cuesta imaginarles fuera de su hábitat -la pista de atletismo y el gimnasio-. y había un profesor de inglés joven y muy bromista, que era tutor de un grupo de 1º de bup, y a ése tampoco le veía yo mucho de tutor, no sé por qué. ^_^

en vuestro cole o instituto, cómo funcionaba la cosa? había tutores como tales, tenía mucha importancia la figura del tutor...? recordáis a alguno/a en especial, por ser muy bueno o muy malo...? contadme. :)

conjuntos

mi amiga maria josé -mayser en el foro de esther y su mundo-, en el amigo invisible me regaló este libro que aquí veis, entre otras cosas muy chulas.

el diablo de los números es una novela juvenil escrita en 1997 por hans magnus enzensberger, un longevo escritor alemán. el argumento es el siguiente: un niño de nombre robert, a quien no se le dan bien las matemáticas, cada noche se encuentra en sueños con un demonio de explosivo carácter, el cual le enseña trucos y aplicaciones de los números que no explican en los colegios.

en este libro se emplea un lenguaje peculiar y divertido:

• a la raíz cuadrada la llaman ‘rábano’. por ejemplo, “vamos a calcular el rábano de 2”.
• a los números primos los llaman ‘números de primera’.
• a los términos de la sucesión de fibonacci los llaman ‘números de bonatschi’.
• al factorial lo llaman ‘pum!’. por ejemplo, en vez de decir 5 factorial ó 5!, dicen “5 pum!”.
• ...

maria josé me regaló además una manta personalizada, con imágenes que recopiló de mi blog y demás redes sociales. no es genial? :)

en el libro el diablo de los números, me llamó especialmente la atención un capítulo en el que explican una de las paradojas del infinito: existen tantos números impares como números enteros. eso va contra la intuición, ya que deberían ser la mitad, puesto que hay un impar cada dos enteros.

sin embargo, se puede emparejar cada uno de los enteros con cada uno de los impares, sin que falte ni sobre ninguno. dado un número entero n, su número impar asociado se puede obtener mediante la expresión 2·n–1. esta fórmula no la emplean en el libro -no hay que olvidar que está dirigido a jóvenes lectores-, pero sí nos muestran los emparejamientos.

1  2  3  4  5  ...

↓  ↓  ↓  ↓  ↓

1  3  5  7  9  ...

en teoría de conjuntos, diríamos que existe una relación biyectiva entre los números enteros y los números impares: a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo uno del segundo, y viceversa.

recuerdo que esos temas los di en matemáticas de 6º de egb, aunque parezca increíble. eran unos conceptos muy abstractos para unos niños de 11-12 años. y mi padre no podía ayudarme mucho, porque él no había estudiado conjuntos en su época. creo que lo han quitado de los programas escolares, porque nunca he tenido que explicar teoría de conjuntos como tal a ningún alumno mío.

un ejemplo de la relación biyectiva que comentaba antes, sería la de los países con sus capitales. cada país tiene una capital, y cada capital un país al que pertenece.

luego está el tema de unión e intersección de conjuntos. eso sí se emplea en probabilidad, para los sucesos, y en general para todo tipo de enunciados lógicos. un ejemplo de intersección podría ser el siguiente. consideremos los países francia, italia, bélgica, países bajos y alemania. unos tienen lenguas románicas -italia y francia-, otros tienen lenguas germánicas -alemania y países bajos-, y hay uno que tiene de ambos tipos: bélgica, que sería la intersección de los dos conjuntos anteriores.

la unión de conjuntos consiste en tomar todos los elementos que estén en cualquiera de los dos conjuntos. en probabilidad se restan los que están en ambos, para no duplicarlos. os voy a poner un ejemplo de unión en la vida real. tenía un recopilatorio de tina turner que sacó en 1991, pero luego salió otro más completo en 2004, con dos cd’s. obviamente hay canciones que están en ambos, pero hay otras que están sólo en el primero, y otras que están sólo en el segundo. yo reuní todas las canciones de uno y de otro, y las puse por orden cronológico en mi reproductor mp3. eso es una unión de conjuntos en la vida real. ;)

liderazgo

desde el punto de vista de la psicología, el tema del liderazgo es muy interesante, y quizá no se ha estudiado lo suficiente. es muy posible que sea una habilidad innata, porque ya en la época del colegio/instituto conocíamos a compañeros que tenían ‘madera’ de líderes. siempre hacían propuestas que tenían un amplio seguimiento, desde hablar con un profesor para que cambiara la fecha de un examen, hasta organizar una cena de fin de curso.

ahora bien, ese liderazgo debe ser bien entendido. un buen líder debe tener simpatía, flexibilidad y capacidad de diálogo. de lo contrario no será un líder, será un déspota y no le hará caso nadie. y también es muy importante que no sea sectario, con esto me refiero a que hable con todo el mundo y no sólo con los de su pandilla.

en el mundo de la música, se habla a menudo de quién es el líder de una banda. hay grupos en los cuales el líder no es el cantante. puede que sea otro miembro -especialmente si el cantante es nuevo en el grupo y ha sustituido a otro vocalista anterior-, o puede que simplemente no haya un líder porque nadie destaca sobre los demás, como ocurría en el caso de r.e.m.

grupos cuyo líder no es el vocalista? (o no era, en caso de que ya no estén en activo). me vienen a la mente depeche mode, genesis, mecano, spandau ballet, fleetwood mac, santana, ac/dc, iron maiden... si se os ocurre alguno más, dejádmelo en comentarios, como dicen los youtubers. ;)

de los tres reyes magos, me pregunto quién es el líder. en una historieta de zipi y zape veíamos que uno de ellos, que parecía ser melchor, era el que se encargaba de leer la correspondencia.

espero que los reyes os hayan traído muchas cosas. yo estoy muy contento, en este video os muestro los regalos que he recibido. :)

ya he empezado a leer uno de los libros, la chica que leía en el metro.

en cuanto a jana, espero que su carta a los reyes magos no haya llegado a su destino, o bien que sus majestades hayan decidido traerle algo menos peligroso. :O

más círculos

una vez se me ocurrió preguntarme qué anchura debería tener una corona circular para que el área de ésta sea igual a la del círculo al cual rodea.

consideramos dos círculos concéntricos, de radios R₁ y R₂. obligamos a que el área de la corona comprendida entre ambos radios sea igual al área del círculo interior de radio R₁. y obtenemos que el radio mayor R₂ debe ser igual a R₁ multiplicado por la raíz cuadrada de 2.

añadimos otro círculo concéntrico mayor que los anteriores, de radio R₃. queremos que la corona comprendida entre R₂ y R₃ siga teniendo un área igual a la de la corona entre R₁ y R₂, y por tanto igual a la del círculo de radio R₁. hacemos unos cálculos análogos a los del caso anterior, y llegamos a que R₃ debe ser igual a R₁ por la raíz cuadrada de 3.

podemos continuar con el mismo procedimiento, y llegaremos a la conclusión de que si vamos añadiendo coronas circulares que conserven la misma área, sus radios exteriores seguirán la siguiente pauta:

R₂ = √2·R₁

R₃ = √3·R₁

R₄ = √4·R₁ = 2·R₁

R₅ = √5·R₁

...

R_n = √n·R₁

ayer, leyendo cierto libro, me enteré de que existe un modelo visual sobre la comunicación, ideado por el psicólogo arnold lazarus. consiste en varios círculos concéntricos que representan los niveles de intimidad que puede alcanzar la comunicación establecida entre dos personas.

el nivel E es el más superficial, y está representado por la corona circular más exterior. estaría asociado a comentarios que se hacen en un primer encuentro, para romper el hielo, del tipo “cómo te llamas?”, o “hay mucha gente aquí hoy!”. el nivel más íntimo es el A, y se encuentra en el círculo más interior. hay personas muy celosas de su intimidad, y por ello pueden ser muy selectivas con aquellos a quienes permiten acceder a esa zona ‘privada’.

los niveles B, C y D son intermedios, y ubicar un determinado tipo de comunicación en alguno de ellos es subjetivo. es como cuando a mí alguna vez me han dicho “...porque tú en tu blog publicas cosas de matemáticas, cosas personales...”. pues hombre, depende de lo que entiendas tú por personal.

a algunas personas -incluido yo cuando era más joven- les cuesta entablar una conversación superficial con alguien a quien conocen poco. eso ocurre porque falta entrenamiento en hablar sobre cualquier tema trivial, y tampoco vas a hablar de cosas íntimas, por decirlo así. eso puede llevarte a un bloqueo que te dificulte socializar. afortunadamente, con el tiempo y la experiencia vas adquiriendo ‘tablas’, y aprendes a comunicarte con más fluidez.

de noche

hace poco se me ocurrió que podría hacer un recorrido fotográfico por la noche, ya que siempre los hago por el día. lo ideal era elegir una calle que ya os hubiera mostrado a la luz del día, y de ese modo poder comparar entre el día y la noche.

el año pasado por estas fechas recorrí la gran vía, que no es una calle excesivamente larga, me salieron sólo once fotos. me pareció una buena elección para mostrar el ambiente nocturno, sobre todo en estos días de fiestas. decidí hacer fotos en los mismos lugares donde las hice la otra vez, y con el mismo enfoque. obviamente no iba a conseguir que me quedaran iguales, pero trataría de aproximarme lo más posible.

algunas fotos las hice en puntos de referencia fáciles de identificar: una salida de metro, un local reconocible como por ejemplo la casa del libro... pero con otras, me costó más localizar el punto exacto donde las saqué.

empezamos en la esquina de alcalá con gran vía. como veis, estaba hasta arriba de gente.

plaza de callao. en este punto, la gran vía forma un pronunciado ángulo.

plaza de españa. aquí acaba el distrito centro y empieza el distrito moncloa.

espero que os haya gustado el paseo nocturno. os deseo muy felices fiestas! :*