arte y números

estaba yo entretenido con un ejercicio de matemáticas que he visto por ahí. piden calcular el logaritmo en base 4 del inverso de la raíz 5ª de 64. para resolverlo hay que poner 64 en forma de potencia de 4, y luego aplicar las propiedades de las potencias y raíces.

en un precioso dibujo que me ha hecho mi amiga silvia campos, estoy pensado justamente en ese ejercicio. verdad que me ha caracterizado muy bien?? con las gafas, el pelo revuelto, la sudadera, la bufanda, la bandolera... y esther también está presente. :)

silvia creó al personaje pelón, en el cual se basa para dibujar a todo tipo de personas, ya sean famosos o simplemente amigos de ella. en su página web se pueden encontrar abundantes muestras de su arte. todos los años saca un calendario con una ilustración para cada mes.

en ocasiones se exponen sus obras. hace poco visité una exposición en el centro cultural de valdebernardo, y aproveché para charlar un rato con ella y conocer a su hijo álvaro.

el verano pasado expuso en una galería cerca de la puerta de alcalá. como se puede apreciar, íbamos más ligeros de ropa.

silvia, además de ilustradora, es licenciada en matemáticas. ella es la verdadera matemática, no yo. si cada vez que alguien dice que soy matemático me dieran un euro, ya sería rico. :D soy ingeniero industrial, aunque en realidad me siento bastante más matemático que ingeniero.

de nuevo mil gracias, silvia!! :* la pelona más guapa. ;)

amor propio

hace poco le puse a la alumna de 1º de bachillerato de la que hablé tres entradas más abajo un problema de calcular la distancia de un punto a una recta. la manera de resolver ese tipo de problemas es trazar desde ese punto una recta perpendicular a la recta dada, hallar el punto de intersección de ambas rectas, y calcular la distancia entre los dos puntos mencionados.

lo intenté preparar para que diera un resultado entero. como se puede ver en la gráfica, la distancia entre los puntos P y Q es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4, que por el teorema de pitágoras es igual a 5. la pendiente de la recta es -3/4, ya que por cada 4 ‘cuadrados’ que avanza en horizontal, baja 3 en vertical. y el punto de corte con el eje y es 9. qué podía ir mal?

he vuelto a hacer este problema despacio. la recta original de pendiente -3/4 y ordenada en el origen 9 y el punto P de coordenadas (1, 2) son datos del problema. lo primero que hay que hacer es obtener la ecuación de la recta perpendicular desde el punto P.

a continuación, calculamos la intersección entre ambas rectas. el punto Q que nos da tiene coordenadas (4, 6), lo cual concuerda con la gráfica que veíamos más arriba.

restando las coordenadas de ambos puntos se obtiene el vector que los une, cuyo módulo es la distancia buscada. y efectivamente, nos da como resultado 5, como estaba previsto.

bien, pues en aquella clase, no sé qué puñetas hice mal al formular el enunciado del problema, que en lugar de salir un resultado tan redondo, salían unos números feísimos. nos pusimos a resolverlo mi alumna y yo cada uno por nuestro lado, y si ella tenía alguna dificultad me preguntaba. yo estaba todo loco porque la coordenada x del punto buscado me salía 101/25, y resultó que a ella le salía lo mismo. me preguntó “te sale 101/25?”, y yo dije “sííí, y estoy cabreadísimo, yo lo había preparado para que diera entero!!”, y ella se partió de risa. me dijo “bueno, hombre, pero casi te ha salido entero, 101/25 es prácticamente 4, jajaja”.

el lado bueno es que los dos lo hicimos bien con toda probabilidad, ya que habíamos llegado al mismo resultado. hay una sola manera de hacer bien un problema, y hay infinitas maneras de hacerlo mal. sería mucha casualidad que dos personas cometieran el mismo error. y lo más importante es que ella aprendió bien cómo se hacía esa clase de problemas. pero me dolió en mi amor propio que no diera el resultado exacto que yo quería. :D

en la aventura ‘la estrella misteriosa’ de tintín, el simpático astrónomo del observatorio se enfada con su compañero porque ha calculado mal la trayectoria de un asteroide. la verdad es que unos cálculos de ese tipo, de los cuales depende que un asteroide choque con la tierra y nos deje planchados o que cause sólo un pequeño terremoto, sí que tienen verdadera trascendencia. ^_^

garaje

en mi casa, se va al garaje pasando por el patio. los que me tenéis en facebook y sufrís los videos que grabo con el móvil los domingos por la mañana, ya conocéis las excursiones que hago por el edificio.

ésta es la puerta del garaje. resulta un poco siniestra, y la pared necesita una mano de pintura.

si entras para curiosear, hay que tomar la precaución de poner algo para que no se cierre la puerta, ya que no tiene picaporte por dentro. y quedarse encerrado en el garaje no mola nada, como podéis imaginar. es una situación que presenta una amplia casuística, como veremos.

no puedes abrir las puertas mecánicas, ya que para eso debes ser usuario del aparcamiento y pasar una tarjeta por la banda magnética.

con lo cual, sólo tienes dos opciones:

1. esperar a que un vecino venga a sacar o a meter su coche. aunque sea alguien que no te caiga bien, le verás como a tu salvador. en el primer caso, le dirás “espere, no cierre la puerta, no la cierre!”, y te mirará como diciendo “de dónde ha salido este loco?”. y en el segundo caso, en cuanto veas abrirse las puertas mecánicas, subirás corriendo como un poseso por la rampa. y el conductor que está esperando para entrar pensará “éste viene a atacarme??”.
2. llamar a alguien para que venga a rescatarte, pasando la vergüenza de que te diga “pero qué hacías tú en el garaje, alma de cántaro?”. si es un familiar te echará una buena bronca, pero eso es cuestión de aguantar el chaparrón y todo quedará olvidado pronto. en cambio, si es un vecino, puede que tengas que comprar su silencio para que el ridículo episodio no trascienda.

y no, las puertas mecánicas no se pueden abrir manualmente.

hay otra puerta que tampoco se puede abrir, y aunque se pudiera, no tiene pinta de conducir al exterior. debe ser un trastero o algo.

y desde luego, montarse en uno de los coches forzando la puerta y haciendo algún truco para ponerlo en marcha, no es una opción razonable.

hay un capítulo de esther en el que nuestra amiga se queda dormida en un autobús, y se despierta dentro de las cocheras. eso era peor, no le quedaba otra que pasar la noche allí esperando a que volvieran a abrir al amanecer, y no podía avisar a su familia porque en esa época no había móviles. al final logra escapar por un ventanuco, si la memoria no me falla.

beatles (1)

ya escribí sobre los cuatro de liverpool en una ocasión. últimamente estoy volviendo a escucharles. a mí de los beatles me gustan sus canciones más rockeras y/o experimentales, como ticket to ride, tomorrow never knows, a day in the life, strawberry fields forever, helter skelter, i want you (she’s so heavy)... que nada tienen que ver con “she loves you, yeah yeah, yeah”.

además, debo reconocer que me gusta también su lado más intrigante: el uso de grabaciones al revés (en tomorrow never knows entre otras), las palabras habladas ininteligibles que se escuchan al final de algunas canciones (“i’m very bored” o vete a saber qué en strawberry fields forever), los ultrasonidos al final de a day in the life... el lado experimental de los beatles se lleva al límite en revolution 9, un collage sonoro de ocho minutos que se encuentra hacia el final del doble álbum blanco. soy uno de los pocos a los que les gusta ese tema, parece de película de terror. :D

y qué decir de la leyenda urbana de que paul mccartney murió en 1966 ó 67 y fue sustituido por un doble? obviamente no se sostiene, ya que tuvieron que encontrar a alguien que no sólo se pareciera físicamente a paul, sino que además tuviera una voz muy parecida, cantara igual de bien, tocara el bajo y fuera un gran compositor. grandes temas de la autoría de paul como hey jude o let it be, fueron compuestos después de su supuesta “muerte”. aun así, resulta curioso cómo la gente ha visto mensajes subliminales que apoyan esa teoría en algunas canciones y en las portadas de los álbumes.

normalmente, john lennon tocaba la guitarra rítmica, paul mccartney el bajo -al ser zurdo siempre tenía el mástil orientado al revés que sus compañeros- y george harrison la guitarra principal, aunque a veces intercambiaban roles. ringo siempre tocaba la batería salvo alguna rara excepción, eso no variaba. al principio john y paul componían canciones juntos, pero luego sus estilos se fueron diferenciando cada vez más. firmar las canciones conjuntamente fue una especie de pacto que mantuvieron, pero por ejemplo, la famosa yesterday, a pesar de estar firmada por lennon y mccartney, era 100% del segundo.

en todos los discos había una canción compuesta por ellos para que la cantara ringo. al principio también le compusieron alguna a george, pero enseguida empezó a escribir él sus propios temas. un disco de los beatles, se puede decir que en promedio tiene unas 13 ó 14 canciones, de las cuales suele haber 2 de george, 1 de ringo y el resto de john y/o paul. como curiosidad, el tema back in the u.s.s.r. que abre el álbum blanco, más de uno ha creído que la cantaba ringo, pero no, era paul con una voz un poco engolada. de hecho ringo no estaba ni siquiera en la batería, ya que se había tomado unas vacaciones esos días. el propio paul se encargó de tocar la batería.

lo primero que escuché de los beatles fueron los famosos recopilatorios rojo (1962-1966) y azul (1967-1970). si bien las canciones que incluyen no coinciden exactamente con mis favoritas ahora que conozco toda su discografía -ni son todas las que están ni están todas las que son-, creo que en conjunto es una buena selección. yo habría añadido tomorrow never knows y helter skelter, y de quitar alguna... quizá old brown shoe. los álbumes rojo y azul tienen cuatro cd’s, dos cada uno, y 54 canciones en total. pensaba que eran muchísimas y que habían metido ahí la mitad de cada disco, pero no es tan así. primero porque los beatles sacaron nada menos que 13 discos de estudio -hicieron en ocho años lo que otros grupos hacen en treinta-, y segundo porque muchas de las canciones incluidas en esa colección eran singles que no pertenecían a ningún álbum.

pensaba comentar cada uno de los álbumes, pero eso haría demasiado larga esta entrada, así que lo haré en otra ocasión. me vendrá bien para cuando no sepa sobre qué escribir. os gustan los beatles? cuáles son vuestras canciones favoritas de ellos, de las que conocéis? y cuál es vuestro beatle favorito? desde el punto de vista creativo, el mío es john, aunque ringo me cae bien por su carácter sencillo y alegre.

tiro parabólico

últimamente he estado haciendo problemas de tiro parabólico con una alumna muy simpática de 1º de bachillerato. en la hoja de problemas que le dieron en el colegio había uno que me llamó la atención: se trataba de calcular el ángulo con el que se debe lanzar un objeto para que la distancia horizontal máxima que recorre sea la misma que la altura máxima alcanzada. no daban ningún dato, excepto suponer que se lanza al nivel del suelo y que la única aceleración presente es la gravedad, vertical hacia abajo.

aquí vamos a resolver un problema parecido pero ligeramente distinto: queremos que la máxima distancia horizontal (x máxima) sea el doble de la altura máxima (y máxima). para empezar, plantearemos las ecuaciones de la trayectoria y de la velocidad.

el objeto alcanza y máxima cuando la componente vertical de su velocidad es cero. sabemos por experiencia que al lanzar un objeto por el aire, va perdiendo velocidad vertical hasta que se para y vuelve a caer. hallaremos el instante de tiempo en el que eso ocurre, y esa expresión del tiempo la sustituiremos en la coordenada y.

ahora vamos a calcular la x máxima. podríamos obtener el instante en que la y se hace cero -es decir, cuando el cuerpo cae al suelo-, pero es más rápido deducir que ese tiempo será el doble del que tarda en alcanzar la altura máxima, dada la simetría de la parábola. a continuación, sustituiremos ese tiempo en la coordenada x para hallar la distancia horizontal máxima.

ya sólo nos queda igualar la x máxima con el doble de la y máxima. observamos que se cancelan a ambos lados de la ecuación la velocidad inicial v₀ -no la conocíamos pero no nos ha hecho falta-, y la gravedad. nos queda tan sólo una igualdad que nos dice que el seno del ángulo que buscamos es el doble de su coseno.

resolvemos esta ecuación trigonométrica elevando ambos miembros al cuadrado y aplicando la identidad sen²α+cos²α=1. y obtenemos que el ángulo buscado es 64,43º. verdad que era tentador creer que el ángulo para que x máxima fuera el doble de y máxima era 45º? pues ya vemos que no. con 45º habría quedado una parábola más achatada. se puede comprobar que en ese caso x máxima sería el cuádruple de y máxima.

llama la atención que la relación entre altura máxima y distancia horizontal máxima dependa sólo del ángulo con el que se lanza el objeto, y no de la velocidad inicial ni la gravedad. eso significa que se cumpliría igual en otro lugar donde la aceleración de la gravedad tuviera un valor diferente, como en la luna. allí, por cierto, la baja gravedad hace que los astronautas puedan dar grandes saltos. tintín, el capitán haddock y el profesor tornasol se adelantaron a su tiempo. ^_^

castellana

el paseo de la castellana es una de las calles más largas de madrid, y sin duda la más ancha. durante la mayor parte de su extensión tiene dos carriles para cada sentido en la parte central, con dos bulevares a ambos lados y otros dos carriles laterales. tiene 300 y pico números, que pueden parecer pocos para una calle tan larga, pero es que hay muchos edificios de organismos públicos que ocupan una manzana entera y tienen un solo número asignado.

la castellana como tal empieza en la plaza de colón. al principio, el lado de los pares pertenece al distrito salamanca, y el de los impares al distrito chamberí. había pensado incluir en este recorrido las calles predecesoras -paseo de recoletos y paseo del prado-, pero sólo la castellana ya lleva demasiado tiempo. además, pensándolo bien, ya os enseñé recoletos y el prado en otro recorrido que hice.

iremos avanzando por uno de los bulevares. lo malo de una calle como la castellana es que resulta muy difícil abarcar toda su anchura en las fotos.

el paso elevado que une las calles de juan bravo y eduardo dato, con sus esculturas debajo.

glorieta de emilio castelar.

plaza del doctor marañón. a partir de aquí y hasta el final, el lado de los pares pertenece al distrito chamartín. el de los impares de momento sigue siendo chamberí.

sobre esta colina están el museo de ciencias naturales y la escuela de ingenieros industriales de la politécnica. menos mal que sólo pasaba por ahí y no tenía que ir a hacer ningún examen. :O

plaza de san juan de la cruz. como vemos, todavía no se han llevado el armazón del árbol de navidad luminoso...

en algunos tramos, los bulevares obligan a sacrificar anchura de las aceras, pero en éste no. aquí hay una acera bien ancha para pasear.

la famosa estación de nuevos ministerios.

el puente que une joaquín costa y raimundo fernández villaverde. a partir de aquí y durante un largo tramo, el lado de los impares de la castellana pertenecerá al distrito tetuán.

los modernos edificios del complejo azca, en el lado impar.

plaza de lima, donde se encuentra el estadio santiago bernabéu.

plaza de cuzco.

nos acercamos a la plaza de castilla, que marcará un antes y un después. tras ella, el aspecto de la castellana cambiará completamente. se puede decir que aquí empieza el norte de madrid. reconozco que aquí es donde más ganas tenía de llegar, ya que la zona de plaza de castilla para arriba la tenía muy poco explorada.

las torres kio, que se ven desde muy lejos.

el intercambiador de plaza de castilla, un punto estratégico.

seguimos avanzando...

en esta zona, la castellana se ha convertido en una carretera con dos calles laterales adosadas.

a partir de aquí, en el cruce con la calle sinesio delgado, el lado de los impares -lo poco que queda- pertenece al distrito fuencarral.

en estos recorridos siempre miramos hacia delante, pero haremos una excepción. atrás ha quedado el distrito tetuán, y las torres kio se ven de lejos.

estos edificios tan curiosos, de poca altura y con grandes ventanas en forma de arco, recuerdo haberlos visto desde el coche cuando hemos viajado hacia el norte.

nos acercamos al final, aunque en el momento de pasar por ahí no lo tenía muy claro, al estar poco familiarizado con esta zona.

la castellana acaba en un nudo de carreteras que se van cada una por su lado.

me he metido por esta acera lateral tratando de encontrar una última placa de ‘paseo de la castellana’, pero no había. después, para cruzar al otro lado y coger el metro ‘begoña’, he tenido que ir por un paso subterráneo siniestro. diréis que me gusta el riesgo, y no os faltará razón. :P

la castellana, como decía, aparentemente finaliza en la plaza de castilla. su continuación, bien podría tener otro nombre. es como cuando una canción tiene un falso final, y luego continúa un rato más hasta que se va bajando el volumen poco a poco (lo que se llama fade out).