cuadrículas

normalmente me siento más cómodo escribiendo sobre folios blancos, sin cuadrícula, quizá porque soy muy libre de espíritu. ^_^ sin embargo, tanto en este blog como en mis clases empleo folios cuadriculados cuando hay que hacer gráficas.

en 4º de egb, aquel profesor al que llamé por teléfono y se quedó flipado, después de los dictados nos dejaba que hiciéramos lo que él llamaba una greca: un dibujo con un patrón geométrico guiándonos por la cuadrícula de la hoja. con un ejemplo lo veréis mejor. he hecho algo parecido a un molino de viento...

supongo que ese profesor lo hacía para que nos relajáramos un rato y para fomentar nuestra creatividad. un dibujo de este tipo es algo parecido al juego del tente, pero en dos dimensiones. o al punto de cruz, salvando las distancias, porque el punto de cruz obviamente tiene mucho más mérito.

cada cuadrado relleno de color se asemeja a lo que hoy se conoce como píxel. si es que está todo inventado desde hace mucho más tiempo del que creemos... en el dibujo he coloreado los cuadrados de la misma manera que lo hacía de pequeño: trazando líneas cruzadas paralelas a las dos diagonales. tanto si te esmeras en hacerlo muy bien como si lo haces de cualquier manera, el resultado es similar, ya que en el primer caso se te cansará antes la mano y te acabará saliendo un churro igualmente.

años más tarde seguía haciendo dibujitos en papel cuadriculado, pero de otro estilo. una vez se me ocurrió trazar una especie de escalera con peldaños de anchura creciente. todos ellos son de un cuadrado de altura, pero su anchura va aumentando: 1 cuadrado, 2 cuadrados, 3 cuadrados, 4 cuadrados... en el dibujo se verá mejor.

hemos marcado en azul las diagonales de los rectángulos resultantes. me preguntaba si la línea quebrada azul se asemejaba a alguna función matemática. su pendiente es decreciente, eso es todo lo que sabemos. veamos si a través de la gráfica de su función inversa -que se obtiene girando la gráfica original 90º en sentido antihorario y volteándola horizontalmente- averiguamos algo más.

nos damos cuenta de que en cada cuadrado contado desde la izquierda, la pendiente de la línea azul coincide exactamente con la coordenada de ese cuadrado en un hipotético eje de abscisas. en el cuadrado número 1 la pendiente es 1; en el cuadrado número 2 la pendiente es 2 (subimos 2 cuadrados por cada cuadrado que avanzamos a la derecha); en el cuadrado número 3 la pendiente es 3 (subimos 3 cuadrados por cada cuadrado que avanzamos a la derecha); ...y así sucesivamente.

esto nos hace pensar en una función cuya derivada coincida exactamente con su abscisa. esa función sólo puede ser x²/2. su derivada -que nos indica la pendiente en cada uno de sus puntos- es x.

x²/2 sería la función a la que se asemeja nuestra gráfica girada y volteada. y para la gráfica original? tendríamos que deshacer el cambio y obtener la función inversa de x²/2. partiendo de la expresión y = x²/2 e intercambiando la posición de las variables x,y, hallamos la función inversa: y = √(2x).

y hablando de invertir, aquí tenéis la greca de antes con los colores opuestos.

las cuatro caras...

en un curso de inteligencia emocional que hice después de acabar la carrera, recuerdo que nos explicaron que existían cuatro facetas del individuo:

• yo real: lo que conoces de ti mismo y los demás también.
• yo percibido: lo que los demás conocen de ti, pero tú no eres consciente de ello.
• yo secreto: lo que sólo tú conoces de ti mismo.
• yo desconocido: lo que ni tú ni los demás conocen de ti.

encontré unos apuntes de aquel curso que había guardado, y en ellos explican bastante bien este tema. ses, me he acordado de ti porque ahora estás estudiando psicología.

las cuatro facetas del yo se pueden relacionar con dos factores que describen nuestra manera de relacionarnos con los demás: la apertura y el feed-back.

la apertura es el grado en el que nos mostramos a nosotros mismos y exponemos nuestras ideas. el feed-back (retroalimentación) nos dice en qué medida interactuamos con los demás, interesándonos por sus puntos de vista y preocupándonos por crear un clima positivo.

la relación que existe entre estos dos factores y la faceta predominante del yo en cada caso se puede representar mediante lo que se denomina ventana de johari.

se entenderá mejor (al menos yo así lo he entendido mejor) analizando las combinaciones entre diferentes grados de apertura y feed-back.

en las relaciones personales, lo ideal es tener una apertura alta y un feed-back alto. en la ventana de johari, se representaría mediante un punto situado más bien en la parte inferior derecha, para entendernos. trazamos dos ejes perpendiculares que coincidan en ese punto. de las cuatro áreas en que queda dividida la ventana, la más grande es la que corresponde al yo real. una persona que actúa de ese modo es transparente y se muestra como es.

la combinación de apertura baja y feed-back alto estaría situada en la parte superior derecha. trazamos unos ejes que se crucen en ese punto, y el área mayor es la del yo secreto. se trataría de una persona que se preocupa mucho de los otros pero no desvela demasiado de sí misma. sus pensamientos son una incógnita para los demás.

una apertura alta y un feed-back bajo se situarían en la parte inferior izquierda. esta combinación es típica de personas dominantes o soberbias, que quizá tienen esa manera de relacionarse para ocultar sus propias inseguridades. observamos que predomina el yo percibido. los demás posiblemente tienen una opinión negativa de alguien que actúa así, y quizá sin que él mismo sea consciente de ello.

y por último, una apertura baja y un feed-back bajo estarían en la parte superior izquierda. estamos ante una persona que ni dice lo que piensa ni se preocupa de lo que piensen los otros. predomina el yo desconocido, lo cual tiene su lógica. si no te relacionas con los demás, no sólo ellos no te conocerán sino que tampoco te conocerás a ti mismo.

para determinar en qué lugar nos encontramos en la ventana de johari, en los apuntes explica que hay que realizar una dinámica de grupo, y después de ella cada participante evalúa a los demás. hicimos varios debates, pero esto en concreto de tener que puntuarnos no lo recuerdo... de todos modos, una dinámica de grupo es un reflejo de cómo una persona se comporta en la vida diaria.

os sentís identificad@s con alguno de los cuatro casos expuestos, ya sea ahora o en alguna época pasada de la vida? o quizá conocéis a alguien en quien hayáis pensado al leer esta entrada...? ;) a mí se me han quejado de que soy muy enigmático. qué le voy a hacer, me gusta más escuchar que hablar.

diagonales

el otro día, en una clase de matemáticas con una alumna de 1º de eso, surgió el tema de cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono de un número de lados determinado.

si se entiende por diagonal una línea que una dos vértices no consecutivos, está claro que un triángulo no tiene diagonales. de los tres vértices que tiene, da igual cómo escojas dos de ellos, que siempre serán contiguos entre sí.

veamos lo que sucede con el cuadrado. las posibles combinaciones de dos en dos de sus vértices son:

1-2, 1-3, 1-4,

2-3, 2-4,

3-4.

fijaos que son en total 1+2+3 = 6 combinaciones. pero de ellas tendremos que descartar:

1-2, 2-3, 3-4, 4-1, que son las de vértices consecutivos. (ponemos 4-1 en vez de 1-4, para que se vea más claro)

por tanto, el cuadrado tendrá 6–4 = 2 diagonales.

pasamos ahora al pentágono. hacemos lo mismo que antes: enumeramos las posibles parejas de vértices:

1-2, 1-3, 1-4, 1-5,

2-3, 2-4, 2-5,

3-4, 3-5,

4-5.

en total son 1+2+3+4 = 10 combinaciones. pero no nos valen las de vértices consecutivos:

1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-1. habrá, por tanto, 10–5 = 5 diagonales.

y qué ocurrirá con el hexágono? veamos cómo se pueden emparejar sus vértices:

1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6,

2-3, 2-4, 2-5, 2-6,

3-4, 3-5, 3-6,

4-5, 4-6,

5-6.

suman en total 1+2+3+4+5 = 15 combinaciones. restaremos las de vértices contiguos:

1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-1. con lo cual, serán 15–6 = 9 diagonales.

vamos a intentar encontrar una fórmula general para hallar el número de diagonales de un polígono en función del número de lados.

nos damos cuenta de que, en los casos que hemos analizado, el número de posibles combinaciones de dos en dos de los vértices se calculaba siempre mediante una suma como ésta:

1+2+3+...n–1, siendo n el número de lados.

y esa suma se puede expresar como (n–1)·n/2.

por otro lado, las combinaciones de vértices consecutivos son siempre n.

así pues, la expresión general del número de diagonales será:

(n–1)·n/2–n. vamos a sacar factor común n:

n·[(n–1)/2–1], que operando queda así: n·(n–3)/2.

veamos si se cumple para los casos que ya conocemos:

triángulo: 3·(3–3)/2 = 0

cuadrado: 4·(4–3)/2 = 2

pentágono: 5·(5–3)/2 = 5

hexágono: 6·(6–3)/2 = 9

...

pues parece que funciona! para terminar, aquí tenemos al ‘malo’ de la aventura “el supergrupo” de superlópez. había dibujado en el suelo una estrella pentagonal, que está formada por las diagonales de un pentágono. su objetivo era realizar un conjuro mágico...

este malvado personaje tenía el rostro negro como la tinta, sin nariz, llevaba siempre una especie de traje de astronauta y fumaba puros. nunca supe si era un humano, un extraterrestre o qué demonios era.

jabón

el otro día me salió en un sueño la fórmula química de la glicerina. :O antes de que dudéis de mi cordura, debo aclarar que la tarde anterior había estado charlando con unos amigos sobre si nos gustaba más la física o la química, y eso probablemente influyó en mi actividad mental nocturna...

la glicerina es un trialcohol con esta fórmula:

CH₂ – OH

|

CH – OH

|

CH₂ – OH

y si se quiere detallar más los enlaces entre el carbono, el hidrógeno y el oxígeno, se puede representar de esta forma:

en el sueño, alguien me aconsejaba el uso de una crema de manos a base de glicerina para mejorar la adherencia con las esterillas de yoga -actividad que hace mucho que no practico, y me gustaría volver a hacerlo-. yo le decía algo así como: “anda, no me tomes el pelo, eso produce el efecto contrario! la glicerina es resbaladiza”.

para empezar, la esterillas que se usan para yoga son de un material antideslizante. conviene quitarse los calcetines en posturas en las que haya que apoyar con fuerza los pies, pues de lo contrario el calcetín se adhiere a la esterilla y el pie se desliza por el interior del calcetín, dificultando la práctica.

en cuanto a la glicerina, en realidad no es una grasa, es un alcohol. en todo caso son resbaladizos los jabones, tanto los que contienen glicerina en su composición como los que no.

el jabón, al contacto con el agua, reacciona con las partículas de suciedad atrayéndolas y formando una emulsión, que posteriormente será arrastrada al enjuagar con agua. ése es su mecanismo de acción explicado de manera muy resumida.

rita, la amiga de esther, suele darse unos baños relajantes como los de una princesa. seguro que utiliza buenos jabones...

pozos

en épocas pasadas, el pozo era el principal suministro de agua para la población. los pitufos, que supuestamente vivían en la edad media -obviando los anacronismos que se le pudieran escapar a su creador peyo-, también tenían su pozo.

el otro día me tuve que repasar el tema de los límites de funciones. y vi que había un tipo de funciones logarítmicas en las cuales el número sobre el que se aplica el logaritmo se hace negativo sólo en un determinado intervalo de valores de la variable. eso hace que en dicho intervalo no haya función, quedando entre medias una especie de ‘pozo’ infinito.

veámoslo con el ejemplo más sencillo: ln(x²–1). para x ϵ (–1, 1), x²–1 es negativo. el logaritmo de un número negativo no existe. pero además, cuando nos acercamos a los extremos del intervalo donde no hay función {–1 y 1}, x²–1 se aproxima a 0, y por tanto ln(x²–1) decrece indefinidamente, tiende a –∞.

es decir, en –1 y 1 hay dos asíntotas verticales, en medio de las cuales se abre un pozo sin fondo. da un poco de miedo...

existe un amplio simbolismo asociado a los pozos. por ejemplo, se cree en la existencia de pozos mágicos que conceden los deseos que se les pidan. qué pediríais a un pozo de los deseos? no hagáis como el pitufo, que se lo piensa demasiado.

historias absurdas

el mes de marzo ha sido gafe para mí. este fin de semana he tenido una gastroenteritis. lo peor ha pasado ya, y por eso estoy con ánimo para escribir. pero esta vez va a aflorar mi lado más políticamente incorrecto. ^_^

antes de empezar la carrera, allá por septiembre de 1995, en un club del opus dei ofrecieron un curso de introducción para enseñarnos algunas complicadas herramientas matemáticas que en la escuela se daban por sabidas. nos apuntamos juntos un amigo y yo, y he de decir que el curso en sí estuvo muy bien, fue un dinero bien invertido.

allí nos presentaron a un compañero de la escuela, un año mayor que nosotros, que de algún modo nos iba a apadrinar durante el curso. era tirando a bajo, delgado, con gafas, no sonreía y hablaba con voz cansada. pero lo peor es que se le salía un moco por la nariz. no es la mejor manera de causar una primera impresión positiva, a fe mía.

para los nombres de los personajes de esta historia utilizaré anagramas. a este chico que necesitaba urgentemente un kleenex le vamos a llamar blöap.

como es costumbre en esta gente, su amistad tenía el fin de hacer proselitismo. en una ocasión blöap me propuso quedar para tomar algo. le dije “vale, pues vamos al vips?” (una cadena de tiendas-restaurante archiconocida en madrid) y me contestó “te gusta ese sitio?”, y yo pensando para mis adentros “pues hombre, no es que me guste ni me disguste, pero es un sitio que pilla cerca, dan de todo...”.

lo único que recuerdo de la quedada de aquel día es que le recomendé a blöap un libro que luego le presté y no me devolvió. y fue más que nada por hablar de algo, porque la conversación no era muy fluida que digamos...

en cierto momento se unió a la labor de apostolado otro miembro de aquel club donde nos dieron el curso y también compañero de la escuela. era bastante alto, con el pelo rubio y rizado, y con barbilla prominente. le vamos a llamar zangûm.

la misión de zangûm era leernos y comentarnos el catecismo después de clase uno o dos días a la semana, no me acuerdo. el lugar elegido era la pradera que rodea a la escuela. allí estábamos zangûm, mi amigo y yo.

la verdad es que mi amigo, otra cosa no, pero tenía unas tragaderas enormes. no sé cómo se prestaba a eso y no protestaba. porque yo venía de un colegio de esa misma cuerda y estaba más o menos acostumbrado, pero él, pues no tanto...

por mi parte, yo rezaba para que no nos viera nadie conocido, especialmente cierta chica que me gustaba. un deseo harto difícil el querer pasar desapercibido en esas circunstancias, porque el catecismo es un libro de color naranja que se ve a la legua.

la mayor envergadura física de zangûm en comparación con blöap -aparte de que era dos o tres años mayor que él-, le hacía parecer una especie de primo de zumosol. sólo que en lugar de llevar en la mano un tetra brik de zumosol, llevaba un catecismo.

quizá otro día os cuente más cosas, por hoy ya es suficiente. ;)

generaciones

los domingos por la noche en la 2 daban un magnífico programa de divulgación científica con un toque de humor, llamado órbita laika. por desgracia dejaron de emitirlo hace dos semanas.

en una ocasión, no recuerdo muy bien a cuento de qué, comentaron que una generación es un periodo de tiempo de unos 25 años. y si se estima el tiempo transcurrido desde cualquier acontecimiento histórico en términos de generaciones, da la sensación de que la historia avanza muy rápido. si lo piensas, cuatro saltos de 25 años hacen un siglo.

en realidad, en los tiempos modernos nos hemos vuelto más tardíos a la hora de tener descendencia, por lo que el relevo generacional probablemente se produzca en un periodo de tiempo ligeramente mayor...

en cualquier caso, se puede estimar el número de generaciones transcurridas desde determinadas fechas históricas. esto es algo orientativo, ya que ciertos acontecimientos estuvieron muy extendidos en el tiempo. y si a eso añadimos que la definición de ‘generación’ es en cierta medida arbitraria, en una cronología de este tipo no se puede pretender ser muy exacto.

dicho esto, y siendo conscientes de las posibles imprecisiones, vamos a expresar el tiempo transcurrido desde algunos momentos importantes de la historia de la siguiente manera:

2ª guerra mundial: ~3 generaciones

1ª guerra mundial: ~4 generaciones

revolución francesa: ~8 generaciones

descubrimiento de américa: ~20 generaciones

cruzadas: ~35 generaciones

caída del imperio romano: ~60 generaciones

principios del cristianismo: ~80 generaciones

conquistas de alejandro magno: ~95 generaciones

construcción de las pirámides de egipto: ~190 generaciones

como vemos, desde el antiguo egipto nos separan no más de 200 generaciones. vamos retrocediendo a través de una rama determinada del árbol genealógico, y cuando nos queremos dar cuenta ya estamos en la edad antigua.

os dejo con varios monumentos que fueron diseñados y construidos hace siglos por personas que podían o no ser antepasados directos nuestros, pero sin duda eran muy inteligentes.