camino más corto

johan y pirluit son unos personajes que viven en la edad media y que, al igual que los pitufos, fueron creados por el dibujante belga peyo.

en la aventura ‘el país maldito’, deben desplazarse hasta la aldea de los pitufos para prestarles ayuda. para ello deben recorrer un largo camino lleno de lugares inhóspitos y terrenos impracticables. por ejemplo, un pantano que johan -el más alto y serio de los dos personajes- sugiere rodear para evitar el peligro de hundimiento.

pero el pitufo que les guía descarta esa posibilidad: hay que ir siempre todo recto. esto parece ir en contra de la intuición y de la geometría, ya que entre dos puntos existen infinitos trayectos posibles, aunque sólo uno sea el más corto. este desafío a las leyes matemáticas le da un toque aún más fantástico y misterioso al mundo de los pitufos...

el camino más corto entre dos puntos es la línea recta... en geometría plana. cuando se trata de dos puntos de una superficie esférica -por ejemplo, dos lugares del mundo lo bastante alejados entre sí como para que se aprecie la curvatura terrestre-, la distancia más corta es la circunferencia máxima que pasa por esos dos puntos.

hoy, de vuelta a casa iba pensando en un posible problema: calcular la circunferencia máxima que incluya a dos puntos de una superficie esférica. habría que hallar la intersección de la esfera con un plano que contenga a esos dos puntos y al centro de la esfera. si le pongo ese problema a algún alumno/a de bachillerato, me pone dos velas negras. 😉

como ejemplo, imaginemos una superficie esférica centrada en el origen de coordenadas y de radio 3, y los puntos elegidos serán (0,0,3) y (2,2,1). no es fácil encontrar tres coordenadas enteras cuya hipotenusa aplicando el teorema de pitágoras en tres dimensiones sea también entera.

 

según iba haciendo mentalmente este problema mientras caminaba, he comprobado con sorpresa algo que no veía venir: la intersección del plano con la esfera nos da lo que parece ser una elipse. pero en realidad, es fácil intuir que un plano cortando a una esfera nos da una circunferencia, más grande o más pequeña.

la solución a la paradoja es que las elipses que veis en los cálculos escaneados son en realidad las proyecciones de la circunferencia solución del problema sobre el plano xz y el plano yz.

en la ecuación:

2x² + z² = 3²

hay que añadir y, la coordenada que no aparece en la ecuación, y que tomará el mismo valor que tome x.

y = x

y así obtenemos todos los puntos de la circunferencia solución del problema.

análogamente, a la ecuación de la “falsa elipse”:

2y² + z² = 3²

hay que añadir la coletilla:

x = y

y de ese modo ya tendremos una circunferencia.

nuestros amigos también deben atravesar desiertos para llegar a su destino. el verano es una época desértica, de ahí que me salgan entradas tan aburridas como ésta. pero puede más mi necesidad de escribir, como ya explicaba hace unas semanas.

y casualmente, en la novela con la que estoy actualmente, ‘temblor’ de rosa montero, hoy leía este pasaje:

Corrieron hacia allí sacando fuerzas de flaqueza; el punto verde iba creciendo lentamente y refulgía como una esmeralda entre las rocas. Primero distinguieron la corona dentada de las altas palmeras y, un poco más allá, el aire se dulcificó con un delicioso aroma a humedad vegetal. (...) todos se zambulleron en el espacio umbrío del oasis, en su frescor balsámico. Entre las palmeras se apretaban los árboles frutales y sobre sus cabezas susurraban las hojas y cantaban los pájaros. Era el sonido mismo de la vida. Agua Fría no recordaba haber visto jamás un lugar que le pareciera más hermoso.

esperemos encontrar ese oasis en medio del desierto...