matrices inversas

últimamente me he estado acordando de los temas de matrices y determinantes -y su aplicación a los sistemas de ecuaciones- que dábamos en matemáticas de cou. ya escribí una entrada sobre matrices y sistemas hace tiempo... al parecer todo eso se sigue dando en el curso equivalente a cou, que es 2º de bachillerato.

me parece especialmente curioso lo de hallar la matriz inversa. por definición, la inversa de una matriz dada es aquella que al multiplicarla por dicha matriz nos da como resultado la matriz identidad -en la cual todos los elementos de la diagonal principal valen 1, y el resto valen 0-.

invertir una matriz, como digo me resulta curioso. es algo parecido a darle la vuelta a un calcetín. hablando de lo cual, qué calcetines tan chulos lleva la hija de esther. :P

me he inventado sobre la marcha una matriz de 3 filas y 3 columnas, sin prepararla para que los cálculos me den números redondos ni nada de eso. la llamaremos A. su matriz inversa (denotada como A^–1), será igual a la matriz adjunta (A*, ahora explicaremos lo que es) traspuesta, dividida ente el determinante de la matriz A (expresado como |A|).

la matriz adjunta A* está formada por los determinantes de los adjuntos de cada uno de los elementos del matriz original. para cada elemento, su adjunto es la submatriz que queda cuando se eliminan en su totalidad la fila y la columna a las que pertenece dicho elemento. los determinantes de los adjuntos llevan signos alternos, como se observa.

a continuación hallaremos el valor de cada uno de esos determinantes, que como son de 2*2, será simplemente igual al producto de los elementos de su diagonal principal (↘) menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria (↙).

una vez hallada la matriz adjunta, obtenemos su traspuesta trasformando sus filas en columnas -o viceversa-.

el determinante de una matriz de 3*3 es un poco más lioso de explicar cómo se hace: sería la diferencia entre los productos tres a tres de los elementos de su diagonal principal (↘) y de los que forman un ‘triángulo’ con un lado paralelo a dicha diagonal, menos los análogos para la diagonal secundaria (↙).

ya tenemos lo que nos faltaba para calcular la matriz inversa. como dije, podía haber preparado la matriz original para que su determinante diera un número más bonito, pero así resulta más espontáneo. ;)

vamos a comprobar que está bien: multiplicamos entre sí las matrices A y A^–1. recordemos que para multiplicar matrices, sumábamos con sus signos correspondientes los productos de los elementos de cada fila de la primera con los elementos de cada columna de la segunda. es por esto que para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda.

al multiplicar estas dos matrices obtenemos la matriz identidad, lo cual quiere decir que lo hemos hecho bien.

hay matrices que no se pueden invertir, y son aquellas cuyo determinante es nulo. hemos visto que para calcular la inversa había que dividir entre el determinante de la matriz original, y si es cero no se puede. las divisiones entre cero están prohibidas.

el determinante de una matriz es cero cuando:

• una de sus filas o columnas está formada por ceros.
• hay dos filas o columnas iguales.
• una fila o columna es proporcional a otra.
• una fila o columna es igual a la suma, resta o cualquier combinación de otras filas o columnas.

todos estos casos se podrían resumir en el último de ellos, ya que los casos de filas/columnas de ceros o de filas/columnas iguales o proporcionales son en realidad casos particulares de combinación lineal entre filas/columnas.

resulta interesante que una matriz, no siendo nula -es decir, teniendo elementos distintos de cero-, pueda tener cierta ‘nulidad interna’. es como si sólo contara tener filas o columnas independientes unas de otras. no vale tener filas de ceros que no aportan nada, no vale que una fila sea una repetición o variación de otra, y no vale crear otra fila que sea una combinación de las ya existentes.

algún día me gustaría escribir un libro sobre filosofía matemática, relacionando las leyes numéricas con la vida real. si no fuera por lo difícil que sería encontrar una editorial que estuviera interesada... ^_^

hablando de libros, la idea de esta entrada me vino a raíz de un regalo de mi amiga geno: el lenguaje secreto de los números. tengo muchas publicaciones de national geographic en casa, son muy interesantes.

en un capítulo de este libro hablaban de un método para codificar mensajes que consistía en multiplicar el vector de cifras numéricas asignadas a las letras del mensaje original por una matriz. y para descodificar el mensaje, había que multiplicar su vector asociado por la inversa de la matriz de codificación.

así se me despertó la curiosidad por estos temas que estudié hace tanto tiempo, en matemáticas de cou y también en la asignatura de álgebra de 1º de carrera. como soy bastante friki, para recordar cómo se invertían matrices y todo eso, me hice los ejercicios de ese tema que vienen en la web vitutor.com. es lo que hago cuando tengo que explicar a alguno de mis alumn@s un tema difícil.

hacer problemas de matemáticas me transporta al pasado, como podéis imaginar, y hace que acudan a mi mente muchos recuerdos de cuándo estudiaba esos temas. se asemeja a una terapia freudiana en el sentido de que evoca numerosos recuerdos olvidados. por eso, hasta que mi amiga anacris termine la carrera de psicología y pueda acudir a su consulta, de momento tendré que conformarme con ponerme a hacer problemas de mates y dejar que mi memoria haga el resto. ;)

por último, para explicar mejor cómo se calcula un determinante de 3*3, aquí os dejo los pasatiempos de un número del año pasado de la revista digital foroesther -enlazada también en el margen izquierdo del blog-. no sé quién es el flipado que se encarga de esa sección de la revista. :P