otra de raíces cuadradas

hace cuatro años ya escribí una entrada sobre raíces cuadradas que no estaba mal del todo. la mayoría de las entradas que he escrito de 2012 en adelante puedo releerlas sin avergonzarme demasiado. ;)

la raíz cuadrada de un número entero, no tiene término medio: o es exacta o es un número con infinitos decimales que además nunca forman una pauta periódica.

al resolver la raíz cuadrada manualmente, por ese método que nos enseñaban en el colegio y del que no se acuerda casi nadie -yo me lo tuve que repasar para poder explicarlo a los alumnos-, saldrá resto cero cuando es exacta y resto distinto de cero cuando no lo es. en este último caso podremos sacar tantos decimales como creamos conveniente.

la raíz cuadrada de 2, como vemos, no es exacta. hay otra manera de aproximarse a ese número tan importante en matemáticas, y es haciendo un desarrollo en serie de la función raíz cuadrada.

la función √x nos dará problemas porque al derivarla sucesivamente el denominador se anulará en x=0. y como nos es más cómodo hacer el desarrollo en serie en torno al origen, lo haremos sobre la función √(x+1).

a continuación hallaremos las derivadas sucesivas de √(x+1), y por inducción obtendremos una expresión general para la derivada de orden n. √(x+1) se puede expresar como (x+1)^1/2 y derivarla como si fuera una función polinómica.

debemos recordar que el factorial de un número entero es el producto de ese número por todos los que le preceden, hasta el 1 (podríamos decir hasta el 2, porque en la multiplicación el 1 no aporta nada). por ejemplo, el factorial de 5, expresado como 5!, sería igual a 5·4·3·2·1 = 120.

el ‘semifactorial’, que se usa menos, es el producto de un número por todos los que le preceden que tengan la misma paridad -los pares si es par, y los impares si es impar-. el factorial se denotaba con el número seguido de un signo de exclamación (!), y para el semifactorial se añaden dos signos de exclamación. pongamos dos ejemplos: 7!! sería igual a 7·5·3·1, y 8!! sería 8·6·4·2.

ahora ya conocemos la forma que adopta un término cualquiera del desarrollo en serie de √(x+1), y podemos obtener una expresión general en forma de sumatorio para la aproximación polinómica de esa función.

si en la función √(x+1) le damos a x el valor 1, obtenemos la raíz cuadrada de 2 que estamos buscando. eso significa que si en el desarrollo en serie sustituimos x por 1, nos aproximaremos cada vez más a √2 cuantos más términos tomemos.

una cosa... para n=1, saldría el ‘semifactorial’ de –1, que en teoría no tiene sentido. pero si suponemos que vale 1, funciona. es una pequeña trampa, no se lo digáis a nadie. :O

bueno, pues vamos a empezar a sumar términos de esta serie:

oye, esto es un coñazo, no?? para aproximarnos aceptablemente a la raíz de 2 vamos a tener que estar sumando términos hasta que nos salga barba blanca, como en los tebeos de mortadelo y filemón.

va a ser mejor hacer las raíces cuadradas como nos lo explicaban en el colegio, después de todo... ^_^

y a todo esto, siempre me ha parecido curioso que se llamen ‘raíces cuadradas’. las raíces de los árboles -como el que han plantado los dos pitufos en la viñeta que había al comienzo del post-, tienen una forma ramificada y compleja, muy lejos en todo caso de ser cuadradas. :P