estabilidad

hace poco estaba pagando unas compras en una perfumería. sobre el mostrador había unos botes de gel de baño que estaban promocionando, y que se caían en cuanto alguien los rozaba.

le dije medio en broma a la cajera: “es que no están bien diseñados. son demasiado altos y estrechos, y al ponerlos de pie están en equilibrio inestable”. le hizo mucha gracia, y me dijo entre risas: “me ha gustado eso del equilibrio inestable, me lo apunto! ya sabes, se caen porque están en equilibrio inestable!”, decía dirigiéndose a un compañero suyo.

últimamente he estado pensando sobre ese tema. en un envase que contiene un líquido -también sería aplicable a un sólido en polvo o grano-, existe por un lado el centro de gravedad del envase, que se encuentra a la mitad de su altura; y por otro lado, el centro de gravedad del líquido que contiene, que está a la mitad del nivel de líquido en ese momento.

llamaremos H mayúscula a la altura del envase, y h minúscula a la altura del líquido. la primera es fija y la segunda es variable: a medida que el recipiente se va vaciando, h disminuye.

el centro de gravedad del conjunto envase-líquido será una especie de media ponderada de sus respectivos centros de gravedad. y estará ponderada por sus masas. llamaremos M mayúscula a la masa del bote, y m minúscula a la masa de su contenido.

supondremos que se trata de un bote cilíndrico de radio R y altura H. las paredes del bote las vamos a considerar de espesor despreciable, y su masa la obtendremos como producto de su densidad superficial por su área. a dicha densidad superficial la llamaremos ρ_s. por otro lado, la densidad del líquido, el cual sí tiene tres dimensiones, la denotaremos como ρ_v.

la masa del líquido es igual a su densidad multiplicada por su volumen. dicho volumen es el de un cilindro de radio R y altura h minúscula. por otro lado, la masa del envase es igual al producto de su densidad superficial por su área. ésta se obtiene como la suma del área lateral del cilindro -radio R y altura H mayúscula- y las áreas de sus bases inferior y superior.

sustituimos estas expresiones de las masas en la fórmula para hallar el centro de gravedad que veíamos un poco más arriba. simplificamos dividiendo por π·R² en el numerador y en el denominador, y obtenemos una nueva expresión para el centro de gravedad en función de las densidades, las alturas y el radio.

tantas letras pueden confundirnos un poco. vamos a dar valores numéricos a la densidad superficial ρ_s del envase, a la densidad volumétrica ρ_v del líquido, al radio R del envase y a su altura H mayúscula. en cambio la altura h minúscula del líquido la dejamos libre, ya que varía a medida que nuestro recipiente de lo que sea que contenga se va vaciando.

y a continuación sustituimos esos datos en nuestra expresión para el centro de gravedad.

ahora vamos a comentar un fenómeno curioso: a medida que el envase se va vaciando, el centro de gravedad del conjunto envase-líquido va descendiendo. da igual que consideremos que está ‘medio lleno’ o ‘medio vacío’, lo cierto es que en su parte inferior hay líquido y en su parte superior sólo hay aire.

en consecuencia, el centro de gravedad estará más abajo, y por ello nuestro bote será más estable y resultará más difícil volcarlo.

pero esto tiene un límite. si el bote se sigue vaciando, el centro de gravedad volverá a ascender. porque llegará un momento en que el poco líquido que quede pesará menos que el envase. y el centro de gravedad del envase vacío está a la mitad de la altura del mismo, como explicábamos al principio.

dónde se encuentra el nivel de líquido para el cual el centro de gravedad alcanza su mínimo de altura, y a partir de ese momento asciende de nuevo? para hallarlo debemos derivar la expresión del centro de gravedad respecto a su variable, la altura h del líquido en cada momento.

una vez calculada la derivada del centro de gravedad respecto a h, la igualamos a cero. esto nos conduce a una ecuación de segundo grado, de la que se obtienen dos soluciones. descartamos la solución negativa y llegamos a la siguiente conclusión...

en un recipiente cilíndrico de densidad superficial 0,1 g/cm² -presumiblemente de plástico-, de altura 20 cm y diámetro 5 cm, lleno de un líquido de densidad volumétrica 1 g/cm³ -igual a la del agua-, el nivel de líquido que hace que el centro de gravedad se encuentre lo más bajo posible es de 4,46 cm. algo menos de la cuarta parte de la altura del recipiente. parece un resultado bastante realista, no?

hace un par de meses subí a facebook un breve video en el que hablaba de los centros de gravedad. no he sido capaz de descargarlo e insertarlo, así que os lo enlazo aquí. he subido desde mi móvil más videos chorras parecidos. éste no es de los mejores, pero está relacionado con el tema de esta entrada. así me ponéis voz. ;)