cuarta dimensión

la semana pasada usé esta imagen de esther para felicitar el cumpleaños a una amiga. me fijé en que su pierna doblada queda perpendicular al plano definido por el suelo -la toalla sobre la que está tumbada tomando el sol, en este caso-.

se podrían situar unos ejes de coordenadas de la siguiente manera: el eje x, en la dirección del cuerpo tumbado de esther; el eje y, en la dirección de su pierna levantada; y el eje z, perpendicular a los otros dos ejes, en el sentido definido por la regla del tornillo: el giro que hay que dar de x a y, hará que aflojemos el tornillo imaginario, y por tanto su sentido será saliente.

vivimos en un mundo tridimensional, en el cual las medidas siempre deben estar referidas a tres ejes de coordenadas: el eje x puede ser longitud, el eje y altura, y el eje z profundidad, por ejemplo. para la mente humana, es imposible imaginar una cuarta dimensión. tendría que haber un cuarto eje que fuera simultáneamente perpendicular a los tres ejes x,y,z.

• si tomamos un punto y lo arrastramos en una dirección determinada, obtenemos una línea recta, que tiene una dimensión.
• si esa línea la arrastramos en una dirección perpendicular a la misma, con un desplazamiento de la misma longitud que dicha línea, obtenemos un cuadrado, de dos dimensiones.
• si el cuadrado lo arrastramos en una dirección perpendicular al plano que lo contiene, con un desplazamiento de longitud igual al lado del cuadrado, obtenemos un cubo, de tres dimensiones.
• y si el cubo lo arrastramos sobre una cuarta dimensión, con un desplazamiento de longitud igual a la arista del cubo, obtenemos un hipercubo de cuatro dimensiones.

en este dibujo podéis observar el proceso, y cómo va variando el número de vértices, aristas y caras. el hipercubo, no me veo capaz de dibujarlo, y menos aún como resultado de arrastrar el cubo sobre un cuarto eje de coordenadas.

en la colina donde se encuentran el museo de ciencias naturales de madrid y la escuela de ingenieros industriales de la politécnica, hay una escultura que representa un hipercubo. en realidad, sería la proyección en tres dimensiones de un hipercubo de cuatro dimensiones. de la misma manera que, cuando dibujamos el típico cubo en perspectiva caballera, realmente lo que estamos haciendo es una proyección bidimensional de un cuerpo tridimensional.

un hipercubo tendría 16 vértices, 32 aristas, 24 caras cuadradas y 8 sólidos cúbicos. y es que, al igual que un cubo contiene cuadrados en sus caras, un hipercubo contiene cubos. sí, a mí también me va a explotar la cabeza. :D en cuanto al cálculo de vértices, aristas, caras y sólidos, se puede realizar por combinatoria. para ello hay que partir de que, en el espacio cuatridimensional, un punto tiene cero grados de libertad (cuatro coordenadas fijas), una línea tiene un grado de libertad (una coordenada varía y las otras tres están fijas), un cuadrado tiene dos grados de libertad (dos coordenadas varían y las otras dos están fijas), y un cubo tiene tres grados de libertad (tres coordenadas varían y la que queda está fija).

en el universo existen más de tres dimensiones, aunque nosotros no seamos capaces de imaginarlas. al parecer, se puede viajar por ellas a través de los agujeros de gusano. esto le gustará a nuestra amiga romaxu. ;)