triángulos

esta entrada está especialmente dedicada a riesgho. aunque la tenía en mente hace tiempo, en cierto modo ella me ha dado la idea de sacarla a la luz. ;)

hay un triángulo muy conocido, que los egipcios lo consideraban sagrado, y que se ha utilizado para diseñar muy diversas construcciones. se trata del triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades de longitud -así como toda la familia de triángulos proporcionales, que tengan esos tres lados multiplicados por un mismo factor de escala-.

este triángulo es rectángulo -es decir, uno de sus ángulos es recto-. sus catetos miden 3 y 4 unidades, y su hipotenusa 5. se puede comprobar que se cumple el teorema de pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.


en el colegio nos dijeron que éste era el único triángulo rectángulo cuyos lados son números enteros. pero eso no es verdad. todo lo contrario, hay infinitos, si bien el de lados 3, 4 y 5 es el de mayor fama y más bellas proporciones.

hay una especie de fórmula para generar triángulos de este tipo. lo que perseguimos es una combinación de tres números enteros que cumplan que la suma de los cuadrados de los dos más pequeños -que serían los catetos- sea igual al cuadrado del mayor -que sería la hipotenusa-.

para empezar, vamos a fijarnos en la sucesión de números enteros elevados al cuadrado. la diferencia entre 0 y 1 es 1. la diferencia entre 1 y 4 es 3. la diferencia entre 4 y 9 es 5. la diferencia entre 9 y 16 es 7. y así sucesivamente. observamos que si se resta cada número elevado al cuadrado del anterior, lo que se obtiene son los números impares.

esto no ocurre así por casualidad. se puede demostrar que es una ley que se cumple para cualquier valor de n. al restar los cuadrados de n+1 y n, se obtiene 2·n+1, que es la expresión matemática por excelencia de los números impares.

de aquí se deduce que si al cuadrado de n le sumamos el número impar 2·n+1, obtenemos el siguiente cuadrado de la serie, el de n+1. pero puede ocurrir que 2·n+1 también se pueda expresar como cierto número entero elevado al cuadrado -es decir, que tenga raíz cuadrada exacta-. entonces estaríamos sumando dos cuadrados [n^2 y 2·n+1] cuyo resultado es otro cuadrado [(n+1)^2]. y eso era lo que estábamos buscando.

para generar esas combinaciones de números, partiremos de todos los impares elevados al cuadrado. el cuadrado obtenido -que será impar también- lo expresaremos de la forma 2·n+1. entonces, el número impar del que partíamos será el cateto menor, n será el cateto mayor, y n+1 será la hipotenusa. hemos construido así un triángulo rectángulo cuyos tres lados son enteros.

pongo algunos ejemplos para que se vea más claro. el 1 no lo he contado, porque daría lugar a un lado de longitud 0, y eso no ya es un triángulo, es una línea.

los triángulos así obtenidos, como se ve, presentan una diferencia de magnitud cada vez más grande entre el cateto mayor y el cateto menor. el único que realmente tiene interés desde el punto de vista artístico o arquitectónico es el de lados 3, 4 y 5 del que hablábamos al principio. pero vemos que su peculiaridad de ser un triángulo rectángulo y tener los tres lados enteros no es tan única como se podría creer... ;)