aprovechamiento del espacio

cuando se apilan objetos de sección circular, como puedan ser latas de conserva, inevitablemente quedarán huecos. este problema equivale al de llenar una superficie plana con circunferencias tangentes entre sí. siempre habrá resquicios que no se puedan ocupar.

vamos a comparar dos disposiciones diferentes que pueden adoptar las circunferencias...

por un lado, se pueden colocar de tal manera que cada circunferencia tenga cuatro ‘vecinas’ tangentes a ella: una a la derecha, otra a la izquierda, otra encima y otra debajo. los centros de las circunferencias superior, central e inferior están alineados, al igual que los de las circunferencias izquierda, central y derecha.

se observa que las líneas que van uniendo los centros de todas las circunferencias forman una red de celda cuadrada. el lado de dicho cuadrado es igual al doble del radio de las circunferencias.

y por otro lado, se pueden disponer formando una estructura similar a la del papel de burbujas. se colocan dos circunferencias tangentes entre sí, y una tercera tangente a ambas. sus centros serán los vértices de un triángulo equilátero. dicho triángulo será la celda unitaria de la red formada al unir los centros de las circunferencias, y su lado será igual al doble del radio de dichas circunferencias.

se intuye fácilmente que en esta estructura se aprovecha más el espacio que en la anterior. los huecos son más pequeños, y además ahora cada circunferencia tiene seis ‘vecinas’ tangentes a ella.

podemos calcular exactamente el porcentaje de aprovechamiento del espacio en estas dos estructuras. para ello basta con fijarnos en una celda unitaria, que es el patrón que se va repitiendo en las dos direcciones del plano. el porcentaje obtenido se podrá extrapolar a toda la red.

para el primer tipo de red, la celda es un cuadrado en cuyo interior hay cuatro cuartos de círculo. llamaremos R al radio, y por tanto el lado del cuadrado será 2·R.

el porcentaje de espacio lleno será igual al cociente entre el área de esos cuatro cuartos de círculo y el área del cuadrado base, y todo ello multiplicado por 100. el resultado es un 78.54%.

y para el otro tipo de red, la celda será un triángulo equilátero que contiene tres sextas partes de un círculo. nuevamente llamamos R al radio, y el lado del triángulo será el doble, 2·R.

el área del un triángulo, como sabemos, es igual a la mitad del producto de su base por su altura. en un triángulo equilátero, la altura es igual al lado multiplicado por el coseno de 30º, que es √3/2.

así, el porcentaje de espacio aprovechado será igual al área de los tres sextos de círculo dividida entre el área del triángulo que los contiene, y todo ello multiplicado por 100. obtenemos como resultado un 90.69%.

como vemos, el segundo tipo de estructura es mucho más eficiente. y más estable desde el punto de vista físico. si intentáramos apilar en una caja latas o botellas o cualquier objeto de sección circular de la primera manera que hemos visto, tenderían a colocarse de la segunda manera, acomodándose entre cada dos piezas circulares tangentes entre sí de la fila inmediatamente inferior.

la estructura de red cuadrada, de hecho, es una situación de equilibrio inestable. los centros de gravedad de las piezas apiladas se encuentran en su posición más alta. la energía potencial es máxima. todo lo contrario que en la red triangular, en la cual la energía potencial es mínima al encontrarse los centros de gravedad en la posición más baja. es lo que se denomina un equilibrio estable.

y cuando son botellas lo que estamos apilando, estas consideraciones hay que tenerlas muy presentes, para que no se nos rompan!

el viento

ya estoy echando de menos santander... este verano hubo un día en que desde la mañana se notaba la mar rizada. después de comer fui a la playa, a pesar de estar ligeramente nublado.

la playa estaba poco concurrida. las pocas personas que había eran windsurfistas en su mayoría. a pesar del fuerte viento, la bandera era verde. qué hará falta para que pongan bandera amarilla?, me pregunté.

justo cuando llegué al final de la playa y di media vuelta, el viento se intensificó. supongo que a personas acostumbradas a lidiar con las inclemencias del tiempo -como puedan ser los marinos- un viento así les parecerá una nimiedad. pero sí era lo bastante fuerte para que resultara difícil avanzar en contra de la dirección en que soplaba y para que las olas rompieran con mucha más fuerza de lo normal.

como llevaba mi cámara en la bolsa, no perdí la oportunidad de hacer unas fotos. no resultó fácil, sujetando la cámara con una mano y las chanclas con la otra. dejarlas en el suelo no habría sido una buena idea, habrían volado de inmediato!

como veis, las olas espumeantes llegando todas en la misma dirección indican que ese día hacía algo más que un poco de brisa.

y los árboles también dan fe de ello. por cierto, la última foto me dio una idea para otra entrada que publicaré próximamente.

el sol

en los dibujos de paisajes que hacen los niños, nunca falta un sol amarillo en el cielo, a veces con rasgos faciales: ojos, nariz y boca.

en los comics, sin embargo, los soles no parecen abundar tanto. la luz del día se representa con el cielo azul, y el sol sólo se dibuja cuando es necesario destacar algo más...

esta viñeta de superlópez es de una aventura que se desarrolla en el desierto. el dibujante jan, siempre cuidando los detalles, no se olvida de dibujar un sol cegador. lástima que el amarillo del halo luminoso y el azul del cielo se mezclen formando un reborde verdoso. aunque en realidad el sol emite luz de todas las longitudes de onda, incluida la del color verde...

en la aventura el templo del sol de tintín, los protagonistas son condenados a muerte por profanar el templo. un eclipse de sol que se produce el día del sacrificio permite hacer creer a los incas que tintín tiene poder sobre el astro rey.

en esta viñeta de los pitufos, el sol reaparece tras un breve chaparrón.

el dibujante vázquez tenía la costumbre de dibujar el sol de color negro. mira que si un día el sol se comprimiera por su propia gravedad y se convirtiera en un agujero negro, absorbiéndonos a todos... ;) en la viñeta, la pequeña de las hermanas gilda se dispone a hacer una de sus habituales excursiones campestres.

de todos los dibujantes, ibáñez es el que ha llegado más lejos en su representación del sol... mortadelo y filemón lo utilizan como entrada secreta a su cuartel general! :O

y por supuesto, la gran purita campos también dibuja el sol como elemento expresivo en sus viñetas. aquí tenéis una de esther y juanito paseando por la playa al amanecer...

...y aquí otra en la que esther está vagando, también por una playa, hasta que se pone el sol.

en la realidad, el sol no se puede mirar sin que se dañe la vista. hace poco, en un día en que el cielo estaba muy despejado, le hice una foto al sol. :D la foto sí que se puede mirar, ya que son sólo píxeles, no emite ninguna radiación.

la esfera central del sol es puramente blanca. si se abre la imagen con el paint y se colorea con el bote de pintura del color que se quiera, se puede comprobar que se rellena por completo, sin dejar ningún resquicio. es una superficie blanca totalmente lisa.

los tres gatitos

uno de los cuentos de animales de los que os hablé en esta entrada lo tenía escaneado desde hace tiempo. se lo mandé a una amiga a la que le gustan mucho los gatos. se me ha ocurrido que podía compartirlo con vosotr@s. si veo que os gusta, ya iré publicando los otros tres. :)

gracias a rosana, como buena anglófila que es, supe que este cuento de los tres gatitos está inspirado en un poema inglés titulado three little kitten.

resultan curiosos estos cuentos de animales antropomorfos, que se tienen en pie, van vestidos y hablan. si los animales hicieran cuentos sobre nosotros los humanos, a saber cómo nos pondrían. :D

la casa a cuestas

este verano volví a quedar en santander con mi amiga rosana.

primero estuvimos en la biblioteca central, que nunca había visitado. me gustó mucho. es una biblioteca en condiciones, no como una de madrid a la que iba a estudiar cuando estaba haciendo la carrera...

después fuimos a los jardines de pereda, donde están el tiovivo del que os hablé hace tiempo y dos de los toboganes que analicé más recientemente. ;) es un lugar que le gusta mucho a la pequeña hija de rosana, que este año la he encontrado muy guapa y muy alta.

después se incorporó el marido de rosana y fuimos a tomar unos pinchos. me lo pasé muy bien. gracias de verdad por el buen rato!! :)

rosana me regaló una bolsa hecha por ella. y se nota, por detalles como el bolsillo en tela vichy que hay en su interior. ella sabe que siempre voy con la bolsa en bandolera a todas partes, y por eso tuvo ese gran detalle. me viene genial tener varias para diferentes ocasiones. y tiene el valor añadido de estar hecha por ella. ah, y es de color verde, que últimamente me gusta mucho!

en la bolsa suelo llevar cosas como una botella de agua, pañuelos de papel, una barra de manteca de cacao, la funda de las gafas, un billetero con todos los carnets y tarjetas, a veces un reproductor mp3, y mi móvil ultramoderno. :D llevo también mi carnet de conducir, no sé muy bien para qué, pero en fin... y otra cosa que llevo habitualmente es una bolsita de caramelos de menta.

para cosas más pesadas, últimamente utilizo una bolsa de mano más grande. por ejemplo, los bártulos que llevo para las clases particulares.

o, en otra línea, las libretas de esther que hago para repartirlas en las quedadas estherianas, o para regalar a alguna chica con la que quiera ligar. :D

volviendo a la quedada con rosana, me trajo además un paquete de sobaos el macho, y dio en el clavo porque es mi marca favorita. eso sí, duraron poco. ;)  de nuevo mil gracias, guapa!! por los regalitos y por todo! :)

papel de burbujas

hace poco me fijé en el papel de burbujas que había en el interior de un paquete. me di cuenta de que las burbujas formaban algo similar a un apilamiento de circunferencias tangentes entre sí. y dicho apilamiento tenía una estructura hexagonal, similar a la de una colmena.

la razón es que esta estructura se forma poniendo dos circunferencias tangentes entre sí, y una tercera tangente a ambas. de este modo, los centros de las tres circunferencias se pueden ver como los vértices de un triángulo equilátero cuyo lado sería el doble del radio de dichas circunferencias. y como esa estructura se puede extender indefinidamente en las dos direcciones del plano, se forman más de esos triángulos equiláteros ficticios. y cuando el plano queda ocupado sin dejar huecos por triángulos equiláteros yuxtapuestos, éstos a su vez forman hexágonos regulares.

una manera de dibujar circunferencias tangentes entre sí, similares a las burbujas del papel de embalaje, es la siguiente:

construimos un triángulo equilátero: trazamos un lado de la longitud que se desee: (1). desde los extremos de ese lado, trazamos con el compás dos arcos de radio igual al lado: (2). unimos los extremos del lado inicial con el punto de corte de esos arcos, y ya tenemos el triángulo: (3) y (4).

a continuación, trazamos la mediatriz de uno cualquiera de los lados. hay muchas maneras, dada la simetría del triángulo equilátero. una de ellas es trazar dos arcos desde los extremos de un lado de la misma manera que lo hemos hecho antes: (5). unimos el punto de corte de esos arcos con el vértice opuesto: (6).

al trazar la mediatriz hemos partido por la mitad el lado del triángulo. la mitad de dicho lado será el radio de nuestras circunferencias. siempre será el mismo, de manera que a partir de ahora el problema se reducirá a buscar los centros. ahora ya podemos empezar a trazar las tres primeras circunferencias, desde los vértices de nuestro triángulo: (7), (8) y (9).

los centros de tres circunferencias tangentes entre sí siempre formarán un triángulo equilátero. por tanto, desde los extremos de la línea que une los centros dos circunferencias que ya tengamos dibujadas trazaremos dos arcos que se corten con radio igual al lado del triángulo. cada vez que hagamos eso, obtendremos otro centro y podremos trazar otra circunferencia más. se puede empezar a hacerlo desde los lados del triángulo que forman los centros de las tres primeras circunferencias que hemos dibujado: (10), (11) y (12), y después continuar en el orden que se quiera.

llenar una hoja con apilamientos de circunferencias relaja. eso sí, hay que tener en cuenta que las imprecisiones de los instrumentos de dibujo pueden causar que las circunferencias no sean exactamente tangentes entre sí. sobre todo a medida que te alejas de donde has empezado a dibujarlas.

si alguien no consigue relajarse así, siempre queda el método de explotar las burbujas.

vuelta al cole

en el sistema educativo vigente, una cosa que tiene cierta lógica es que los dos últimos cursos estén agrupados en un mismo ciclo, el actual bachillerato. y es que lo que antes era 3º de bup tenía más en común con el cou que con los anteriores cursos de bup. en 3º de bup se elegía opción por primera vez, y en cou se elegía de nuevo, ya con ciertas limitaciones dependiendo de la opción de la que vinieras.

en 3º de bup, aparte de las asignaturas comunes para todos (historia, filosofía, inglés, religión, educación física y alguna otra), las asignaturas propias de cada opción o rama eran:

ciencias puras:

• matemáticas
• física-química
• biología-geología

ciencias mixtas:

• matemáticas
• física-química
• literatura

letras mixtas:

• literatura
• latín
• matemáticas

letras puras:

• literatura
• latín
• griego

poca gente escogía letras mixtas, y menos aún letras puras, ya que eso suponía cerrarse puertas demasiado pronto. la opción más versátil de cara a cou era ciencias mixtas, que era la que elegían muchos que aún estaban indecisos.

una cosa que me preguntaba entonces era cómo se formarían los grupos de clase, dado que había bastantes alumnos de ciencias puras, muchos de ciencias mixtas, pocos de letras mixtas y poquísimos de letras puras. pronto salí de dudas.

en mi colegio, en cada promoción había cuatro grupos de unos 40 alumnos cada uno: A, B, C y D. al llegar a 3º de bup, lógicamente nos redistribuyeron según las opciones que hubiéramos elegido. los nuevos grupos quedaron así:

A: todos de ciencias puras. como todos teníamos las mismas asignaturas, no había problema.

B: unos de ciencias puras y otros de ciencias mixtas. coincidían en todas las asignaturas, menos cuando había literatura o biología. a esa hora, los primeros se quedaban donde estaban y los segundos se iban a otra aula.

C: todos de ciencias mixtas.

D: letras mixtas y puras. coincidían en todas las asignaturas, menos a la hora de matemáticas o griego. los primeros se quedaban y los segundos se iban a un aula aparte.

en cou, de nuevo había cuatro opciones, pero con algunas diferencias. aparte de las tres asignaturas comunes (lengua, filosofía e inglés), en cada opción había dos asignaturas obligatorias y dos optativas. pero en realidad en mi colegio las optativas las elegían por ti, por lo que a efectos prácticos cada opción tenía cuatro asignaturas propias.

en cada rama, las dos primeras asignaturas que veis eran las obligatorias, y las otras dos las “optativas”.

científico-tecnológica:

• matemáticas
• física
• química
• dibujo técnico

bio-sanitaria:

• biología
• química
• matemáticas
• física

ciencias sociales:

• matemáticas ii
• hª del mundo contemporáneo
• hª del arte
• literatura

humanidades:

• literatura
• hª del mundo contemporáneo
• hª del arte
• latín

de nuevo se hizo necesario redistribuir los grupos. así como en 3º de bup pocos elegían las ramas de letras, en cou la proporción entre las dos ramas de ciencias y las dos de letras se igualó.

los grupos de clase en cou quedaron así:

A: unos de la opción científico-tecnológica y otros de la biosanitaria. coincidíamos en todo, menos en dibujo o biología. a esa hora, los primeros nos quedábamos y los segundos se iban a otra aula.

B: todos de la científico-tecnológica.

C: todos de ciencias sociales.

D: unos de ciencias sociales y otros de humanidades. todo igual, menos cuando había matemáticas o latín. unos se quedaban y otros se iban a otra aula.

lo que ahora me parece curioso es que al llegar a 3º de bup deshicieran los grupos que llevaban tantos años formados y nos entremezclaran a todos. aunque claro, no había otra manera de hacerlo. y así se hará en todos los colegios, supongo. pero siempre tuve la sensación de que eran unos grupos un poco ‘artificiales’. recuerdo en qué grupo estaba cualquier compañero de mi promoción antes de 3º de bup, pero después... hay muchos casos de gente que no recuerdo dónde se fue. sólo sé seguro quién estuvo en la misma clase que yo en 3º de bup y/o en cou, y quién no.

de todos modos, en estos dos últimos cursos todos hicimos muchas nuevas amistades. y es que la amistad se va formando con el trato diario. estar en la misma clase durante nueve meses une mucho.