nieve

esta figura es la representación simplificada de la forma que adopta un copo de nieve.

la manera de generarla es sencilla. se parte de un triángulo equilátero. se divide cada uno de sus lados en tres partes iguales, y desde cada uno de los tramos medios resultantes de esta división se construye un nuevo triángulo equilátero.

hemos obtenido algo similar a una estrella de david. sobre cada una de las líneas rectas de la estrella podemos repetir el proceso: las dividimos en tres partes iguales, y sobre cada tramo medio trazamos nuevos triángulos equiláteros.

y así se podría seguir indefinidamente. no continuamos el proceso, porque el número de nuevos triángulos generados va aumentando exponencialmente, y su tamaño cada vez más pequeño hace difícil dibujarlos.

se puede obtener una ley recurrente para calcular el perímetro y el área de la figura tipo ‘copo de nieve’ que se obtiene al realizar sucesivamente el proceso de construir triángulos sobre los tramos medios de sus lados.

el perímetro del triángulo equilátero del que se parte es igual a 3 veces la longitud de su lado. y su área será, como para todo triángulo, la mitad del producto de su base por su altura. la altura de un triángulo equilátero es su lado multiplicado por √3/2.

en la primera fase del proceso, cada tramo medio del triángulo equilátero lo hemos sustituido por los dos lados de un nuevo triángulo cuya longitud es 1/3 del lado inicial. es decir, 2/3 del perímetro inicial lo hemos dejado como estaba, y 1/3 del mismo lo hemos duplicado. esto da como resultado multiplicar el perímetro inicial por 4/3 (ver los cálculos en el escaneado).

el perímetro así obtenido será igual a 4 veces el lado inicial, o bien igual a 12 veces por 1/3 de este lado. la ‘estrella de david’ tiene 12 lados o líneas rectas.

así sucederá en todas las fases del proceso. siempre multiplicaremos el perímetro que teníamos en la fase anterior por 4/3. y los lados de las figuras obtenidas, puesto que vamos dividiendo su longitud entre 3 cada vez, irán divididos entre las potencias de 3: 1/3, 1/9, 1/27, 1/81...

en cuanto al área, será igual a la del triángulo inicial más la de los 3 triángulos que hemos generado. dado que el área de un triángulo depende del cuadrado de su lado, si el lado del nuevo triángulo es 1/3 del lado del triángulo inicial, su área será (1/3)*(1/3)=1/9 del área del triángulo inicial.

en la segunda fase, el perímetro pasará a ser el de la primera multiplicado por 4/3, lo que da como resultado 16/3 del lado del triángulo inicial, o bien 48 por 1/9 de dicho lado, que es la longitud de los lados de los triángulos que hemos generado esta vez.

el área será igual a la obtenida en la primera fase más la de los 12 nuevos triángulos -tantos como líneas rectas tenía la estrella de david de la fase anterior-, cuyo lado es 1/9 del lado inicial. su área será (1/9)*(1/9)=1/81 del área del triángulo inicial.

vamos a aplicar el proceso de generar nuevos triángulos una vez más. no he dibujado la figura resultante, pero nos la podemos imaginar.

el nuevo perímetro será igual a 4/3 por el perímetro obtenido en la segunda fase, y eso es igual a 64/9 por el lado del triángulo inicial. o bien, 192 veces por el lado de los nuevos triángulos generados, cuya longitud será 1/27 del lado inicial.

la figura obtenida en la segunda fase tenía 48 líneas rectas, y por tanto se habrán generado 48 nuevos triángulos. el área de cada uno de ellos será (1/27)*(1/27)=1/729 del área del triángulo inicial.

veamos la expresión general del perímetro y el área de la figura obtenida cuando realizamos este proceso un número genérico n de veces.

el perímetro final será igual a 4/3 elevado a n por el perímetro inicial. dado que 4/3 es un número mayor que 1, cuando n tiende a infinito el perímetro se hace infinito también.

el área final será igual a la suma de las áreas obtenidas en cada fase. observamos que a partir de la primera fase se sigue una progresión geométrica de razón 4/9. para hallar su valor cuando n tiende a infinito, emplearemos esta conocida fórmula: la suma de los términos de una progresión geométrica de razón r<1 es igual a 1/(1-r).

así pues, al aplicar el proceso de generar triángulos en los tramos medios infinitas veces, la figura obtenida tendrá un área igual a 8/5 (es decir, 1.6) por la del triángulo inicial.

ahí está la gran paradoja de la figura del copo de nieve: su perímetro puede crecer hasta el infinito, mientras que su área siempre es finita.

boda

la primera entrada que escribí en mi antiguo blog de hotmail fue una crónica de la boda de una amiga mía. la escribí como lo habría hecho en un diario, sin pensar que nadie la iba a leer. pasado un tiempo, le pasé el enlace a la interesada, la leyó y me aseguró que le gustó mucho. me tranquilizó tener su aprobación.

hoy me ha parecido un buen día para recuperar esta entrada. eso sí, he modificado muchas cosas, he borrado algunas frases que no me sentía cómodo leyendo... y no lo he modificado más todavía para que no perdiera su esencia. espero que os guste y que no os riáis mucho de mí. ;)

22.06.2008

llegué a la iglesia sobre las once, y en seguida encontré a gente conocida, por lo que no me sentí incómodo. no tardaron en llegar los novios, que estaban tan simpáticos, tan sencillos y tan campechanos como son ellos siempre. ella iba muy guapa. llevaba un traje color blanco-hueso realmente bonito y se había rizado el pelo, le quedaba muy bien. la misa fue breve. el cura hizo varios comentarios simpáticos a lo largo de la celebración. las peticiones las leyeron varios niños -sobrinos de él y de ella, supongo- que lo hicieron muy bien, se notaba que habían ensayado.

tras la misa, nos dirigimos hacia el restaurante donde se celebraba la comida, repartidos en varios coches. el menú en general gustó bastante. hubo algún "vivan los novios!" y algún "que se besen!" (petición que fue concedida). nos repartieron unas hojas en las que venían unas 'normas de convivencia' humorísticas a seguir durante la celebración. fue ella quien las redactó, es una chica muy ingeniosa. posiblemente hizo varias versiones. la que entregaron en nuestra mesa contenía alusiones a cosas que habíamos estudiado en la carrera. eran cosas del tipo: "prohibido calcular el volumen del plato de setas...", "prohibido minimizar el tiempo de la comida y maximizar el tiempo del baile...".

los niños que había allí repartieron por las mesas cajas de caramelos, una para cada uno. ese tipo de detalles son muy simpáticos y se agradecen. también nos repartieron unos boletos de la o.n.c.e. de estos en los que aparecen varias cantidades en euros tras rascar los círculos. si salía tres veces la misma cantidad, te tocaba un premio por ese importe. me salió 100 euros dos veces, por poco...

los novios tuvieron el buen criterio de ponernos juntos en la misma mesa a todos los del grupo de amigos. éramos tres solteros -dos chicas y yo- y una pareja ya casada, a cuya boda asistimos hace tres años. la chica casada nos estaba comentando que no hay que precipitarse, que la persona adecuada llegará cuando menos lo esperemos... yo les conté algo que nunca les había contado antes, y es que mi abuela materna siempre me decía que esperase a encontrar a la chica adecuada, que tenía que ser la que me gustara a mí y no la que les gustara a mis padres ni a nadie... ésas fueron las últimas palabras que me dijo antes de que nos dejara, y por eso las considero una especie de profecía...

cuando acabamos de comer, pasamos a la pista de baile. al principio me dio un poco de apuro bailar, pero pronto me animé, ya que mis amigas me alentaron a que demostrara mis conocimientos adquiridos en las clases de baile. y es que he estado un año asistiendo a clases de salsa, porque aunque no me entusiasme la música latina, resulta divertido, es una manera de relajarse, y además es un ejercicio físico. la verdad es que las canciones que pusieron, de salsa tenían poco. pero algunas de ellas, con buena voluntad, se podían bailar con pasos de salsa.

pusieron canciones de ayer y de hoy: desde el chiki chiki de eurovisión, que no podía faltar, hasta salta! de tequila, pasando por la divertida aquí no hay playa. me llamó la atención que pusieron algunas canciones que parecían pasadas de moda y olvidadas, como por ejemplo yo quiero bailar toda la noche, de sonia y selena creo que se llamaban, y la gente no sólo las recordaba sino que además las coreaba a voz en grito.

al llegar las ocho de la tarde nos teníamos que ir porque el local estaba reservado para otro evento. la fiesta continuaba en un bar en la zona centro de madrid. como sobraba tiempo, acompañé a una de mis amigas a su casa a cambiarse de zapatos. llegamos al garito tras dar muchas vueltas para aparcar. una vez allí, esperamos a que llegaran los novios para pasar un rato más con ellos, despedirnos y darles las gracias por habernos invitado y por haber cuidado tanto los detalles para que la gente pasara un buen rato.

sin duda, un día para recordar.

fotos guardadas

para mis amigas de la cornisa cantábrica...

tenía ganas de recordar algunas fotos que hice el verano pasado y que no había publicado aún. hacer fotos me relaja, y por eso tengo ganas de volver a viajar fuera de madrid, que lo tengo muy visto. yo mismo no sé qué es lo que hace que para mí una foto sea agradable a la vista y me transmita sensaciones positivas, pero cuando eso ocurre lo tengo muy claro.

el verano pasado hice algunas fotos desde la ventana del salón al amanecer, ya que siempre me despertaba muy pronto. estas dos son las que quizá mejor me quedaron.

también hice fotos desde algunos puntos de la playa de peligros/magdalena, con marea alta y con marea baja. no era fácil tomarlas exactamente desde el mismo lugar y con el mismo enfoque, pero trataba de aproximarme lo más posible.

y estas otras fotos son de una excursión que hicimos a carranza y a limpias. esta última localidad ha adquirido cierta fama por sus picatostes con chocolate a la taza, pero fuimos a una hora a la cual aún no los servían, y habríamos tenido que esperar mucho. otra vez será.

diario de ana frank

terminé de leer el diario de ana frank, uno de los regalos que me hicieron por reyes.

como suelo decir cuando se trata de libros tan célebres, hay muchas y muy buenas reseñas, algunas de ellas de mis amigas del mundo bloguero. tan sólo comentaré algunas impresiones personales que me ha producido este libro.

ciertas obras literarias en forma de diario o de cartas pueden pecar de falta de autenticidad. el diario de ana frank, al ser totalmente real, no tiene ese problema. todos los escritos de la protagonista son honestos y auténticos, y eso se nota.

ana es una adolescente de 13 años cuando comienza a escribir su diario, y continúa haciéndolo durante dos años más, hasta que se ve trágicamente interrumpido. esto sucede justo cuando las noticias sobre la guerra comenzaban a ser alentadoras. tan sólo el hecho de que queden escasas páginas para acabar el libro llegados a ese punto puede hacer intuir al lector ese abrupto final.

la familia de ana había emigrado de alemania a holanda cuando la protagonista tenía tan sólo cuatro años de edad. por ello, ana se siente holandesa, y de hecho el idioma en que escribe su diario es el neerlandés. el apego que siente hacia alemania es escaso, por ser el país donde se origina el nazismo y todo lo que trae consigo.

ana y su familia viven en amsterdam. la persecución de los judíos les obliga a vivir ocultos, compartiendo techo con otra familia de su misma etnia que sufre el mismo problema. son unos buenos amigos de los frank quienes les han proporcionado ese escondite, y cada cierto tiempo les visitan para llevarles comida y útiles de aseo.

en su diario, ana cuenta sus vivencias diarias en aquella vivienda oculta, pero no elude el tema de la persecución judía. el peligro de ser descubiertos por la policía del régimen nazi -la gestapo- siempre está presente. aunque eso no resta importancia a sus problemas cotidianos. la convivencia entre las dos familias no es fácil, menos aún teniendo en cuenta la escasez de espacio y de medios que sufren.

ana es una chica muy madura para su edad. en algunos momentos es un poco impulsiva y dice cosas que le hacen ganarse reprimendas de sus padres y su hermana mayor. después, vuelca en su diario la ira que eso le produce. personalmente eso me gusta, porque denota que era una persona auténtica y con sangre en las venas, que tenía sus alegrías y sus enfados y no lo ocultaba.

en esta historia, tan dura en muchos sentidos, aún hay cabida para el romanticismo. ana empieza a sentirse atraída por el hijo de la otra familia con la que comparten casa. entre ellos aflora una amistad y una complicidad especial. su relación cada vez más cercana llena muchas páginas del diario de ana. esa parte me parece la más bonita.

sin duda os recomiendo el diario de ana frank. la protagonista se hace querer por su bondad innata, por su sinceridad y por la lucidez con la que describe las relaciones humanas. algunas de las entradas de su diario merecen ser leídas muchas veces. la última es quizá de las más bonitas, por cierto. da pena que todo acabe ahí...

fracciones

en una entrada anterior hablé de que, al dividir entre un número primo (exceptuando el 2 y el 5), generalmente se producía un bucle infinito. había una cifra o grupo de cifras que se repetían periódicamente.

esto sucedía cuando el dividendo no era múltiplo de dicho número primo. para lo que vamos a explicar, hay que tener presente que una división es lo mismo que una fracción: el dividendo es el numerador, y el divisor es el denominador. y siempre vamos a simplificar la fracción, dividiendo el numerador y el denominador entre todos los factores primos que puedan tener en común.

así, por ejemplo, 7 es un número tal que al dividir por él o por cualquiera de sus múltiplos, generalmente se va a obtener un número decimal periódico. pero la fracción 14/35, aunque el denominador tenga el 7 entre sus factores primos, no va a dar como resultado un número periódico. porque 14/35 se puede expresar como (2*7)/(5*7), y esa fracción quedará simplificada como 2/5, cuyo resultado es 0.4. recordemos que si el denominador es un número cuyos únicos factores primos son 2 y/o 5, se obtendrá como resultado un número decimal exacto.

por otro lado, una fracción como 14/21 la podemos simplificar dividiendo entre 7 el numerador y el denominador, y obtendremos 2/3. este número es 0.6666... que sí es periódico, pero no “por culpa” del 7 que formaba parte de los factores primos del denominador de la fracción original, sino “por culpa” del 3, que sigue apareciendo en el denominador después de haber simplificado.

hace poco he recordado un procedimiento para hallar la fracción a partir de la cual se obtiene un determinado número periódico. es lo que se denomina ‘fracción generatriz’.

la regla es la siguiente: dado un número decimal periódico puro cuya parte entera es cero, la fracción generatriz tendrá como numerador un número cuyas cifras coinciden con las del periodo, y como denominador otro número con tantos nueves como cifras tenga el periodo.

veamos algunos ejemplos:

0.4444444... su periodo es 4, y ése será el numerador de la fracción generatriz. el periodo en este caso sólo tiene una cifra, que es el 4, y por tanto en el denominador pondremos un solo 9. así pues, la fracción generatriz será 4/9.

0.25252525... el numerador será el grupo de cifras que se repiten periódicamente, que es 25. y el numerador tendrá dos veces el número 9, porque el periodo esta vez tiene dos cifras. por tanto, la fracción generatriz será 25/99.

0.07070707... su periodo es 07, que en el denominador de la fracción generatriz lo ponemos como 7, porque el 0 a la izquierda no aporta nada. sin embargo, a efectos de determinar cuántas cifras tiene el periodo, sí que cuenta: el periodo es 07, tiene dos cifras. así pues, el denominador tendrá dos veces el 9. la fracción generatriz será 7/99.

0.136136136... el periodo es 136, y así lo ponemos en el numerador. tiene tres cifras, luego en el denominador ponemos tres veces el 9. la fracción generatriz será 136/999.

puede darse el caso de que la fracción obtenida por este procedimiento se pueda simplificar. por ejemplo, 0.33333... tendría como fracción generatriz 3/9. si la simplificamos dividiendo entre 3 el numerador y el numerador, obtendremos 1/3.

los ejemplos que hemos visto son de casos en que la parte entera del número decimal periódico es 0. y si no fuera 0? entonces expresaríamos ese número como la suma de la parte entera y la parte decimal. hallaríamos la fracción generatriz de la parte decimal de la manera que hemos explicado, y después le sumaríamos la parte entera.

1.5555555... lo podemos descomponer en 1+0.5555555... la fracción generatriz de 0.5555555..., por lo que hemos explicado, es 5/9. así pues, la fracción generatriz del número propuesto sería 1+5/9, lo que es igual -pasando a denominador común- a 9/9+5/9, que es 14/9.

y si se tratara de un número periódico mixto? nuevamente lo desglosaríamos, en este caso separando su parte periódica y su parte no periódica. veámoslo con otro ejemplo.

0.2777777... se puede expresar como 0.2+0.0777777... 0.2 no da problemas, es igual a 1/5. 0.0777777 es igual a 0.7777777... dividido entre 10. 0.7777777... es 7/9, según la regla que hemos explicado. y 7/9 dividido entre 10 es 7/90.

por tanto, la fracción generatriz del número del que partíamos será 1/5+7/90. pasando a denominador común, esta suma será 18/90+7/90, que da como resultado 25/90. se puede simplificar al ser el numerador y el numerador múltiplos de 5, obteniéndose 5/18.

la explicación de este algoritmo para hallar las fracciones generatrices se basa en que, al dividir la unidad (el número 1) entre los números cuyo único dígito es el 9 (9, 99, 999, 9999...), aparece la siguiente pauta:

1/9 = 0.1111111...
1/99 = 0.01010101...
1/999 = 0.001001001...
1/9999 = 0.000100010001...

al dividir de la manera que nos enseñaron en el colegio la unidad entre un número cuyos dígitos sean nueves, iremos añadiendo ceros al dividendo y al cociente, hasta que el dividendo sea mayor que el divisor. cuando esto ocurra, el dividendo será una potencia de 10, y el divisor será esa potencia de 10 menos una unidad.

es decir, si el dividendo es 10, el divisor será 9. si el dividendo es 100, el divisor será 99. si el dividiendo es 1000, el divisor será 999. ...y así sucesivamente. el divisor siempre será una unidad menor que el dividendo. y por eso, el cociente será 1 y el resto también será 1. en consecuencia, se repetirá el bucle. en el escaneado lo veréis más claro.

la sencilla pauta que forman los números decimales periódicos que se obtienen -están formados sólo por ceros y unos- permite visualizar fácilmente el resultado de multiplicarlos por determinados números enteros.

0.2222222... se ve claro que es igual a 2*0.1111111... y eso es lo mismo que 2*(1/9), es decir, 2/9. se cumple la regla: 2, que es el periodo, va al numerador. y un 9 va al denominador.

0.05050505... es 5*0.01010101... que es igual a 5*(1/99), y eso es 5/99. cuál es el periodo? 05, que a efectos de ponerlo en el numerador, es simplemente 5. pero tiene dos cifras, luego en el denominador pondremos dos veces el 9, es decir, 99. nuevamente se cumple la regla.

0.12121212... es 12*0.01010101... y es igual a 12*(1/99). el periodo es 12, que va al numerador. y como tiene dos cifras, 99 va al denominador. 12/99, por cierto, se puede simplificar como 4/33, dividiendo entre 3 el numerador y el denominador.

0.346346346... es 346*0.001001001... y eso es 346*(1/999). el periodo es 346, y lo ponemos en el numerador. tiene tres cifras, luego el denominador es 999. se cumple la regla una vez más.

quería llegar un poco más lejos, pero al igual que me ha ocurrido otras veces, el desarrollo de esta entrada me ha salido más extenso de lo que pensaba. creo que por hoy ya os he mareado bastante, mejor lo dejamos aquí. :)

adivinanzas

ésta es una entrada que escribí hace ya tres años sobre uno de los regalos que me trajeron los reyes...


15.01.2009

este libro que me han regalado es, como su título indica, una colección de adivinanzas. unas más clásicas y otras más modernas. están clasificadas según temas: animales, cosas, cosmos, cuerpo humano, gastronomía, geografía, ideas, inventos, juegos, letras, música, números, oficios y profesiones, personas y personajes, tiempo, y vegetales.

a su vez, dentro de cada tema, vienen ordenadas por orden alfabético de la palabra que da nombre a la persona, animal o cosa de la que trata la adivinanza en cuestión. los versos de las adivinanzas aparecen en la parte izquierda de cada página, y en la parte derecha se encuentran las palabras que dan la solución a cada una. de esa manera se puede tapar la solución y tratar de resolverla uno mismo. al final del libro hay un índice alfabético.

en el prólogo se habla del origen de las adivinanzas, de los recursos lingüísticos que se emplean, y se muestran incluso algunos ejemplos de adivinanzas en castellano antiguo y en otras lenguas de la península, como el portugués, el gallego, el catalán...

este libro me ha parecido un regalo simpático. me ha traído buenos recuerdos, ya que entre los textos de los libros de lengua que teníamos cuando estábamos en e.g.b. había alguna que otra adivinanza de vez en cuando.

voy a poner aquí tres de las que más me han gustado, y que son sencillas. las soluciones están al final.

1)
doce señoritas
en torno a una mesa
recuentan sus cuartos
con las medias puestas.

2)
él es claro y ella oscura,
él alegre y ella triste;
él de colores se adorna,
ella de luto se viste;
él lleva la luz consigo,
ella siempre la resiste.

3)
hay quien puede regalarlo,
hay quien puede olvidarlo,
hay, incluso, quien lo vende,
hay quien prefiere esconderlo.
puedes llegar a quererlo,
puedes llegar hasta odiarlo,
pero nunca lograrás,
por más que quieras, robarlo.

...
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...
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regalos de reyes

los reyes se han portado bien este año, no me puedo quejar.

me han traído:
- el célebre diario de ana frank. lo empezaré a leer en breve.
- un super humor de zipi y zape que no tenía.
- el calendario de mortadelo y filemón, que todos los años lo veía en las librerías pero nunca lo había tenido.
- un libro sobre la película de tintín dirigida por steven spielberg.
- y el nuevo disco de mi adorada kate bush, que me lo he regalado yo mismo. :)

a mi hermana le he regalado el tomo 2 de las nuevas aventuras de esther. le regalé el 1 en otra ocasión, y le gustó. todavía tendré tiempo de regalarle el 3 antes de que salga el 4, porque salen muy espaciados...

a mi padre le he regalado el nuevo libro sobre el rey, el precio del trono de pilar urbano. le echaré un vistazo yo también.

y a mi madre, un disco de canciones tradicionales del norte de españa.

la próxima entrada posiblemente será una reseña sobre el diario de ana frank. aunque, si tardo más de lo previsto en leerlo -porque siempre ando leyendo varias cosas diferentes en paralelo-, entre medias rescataré una entrada antigua sobre un libro de adivinanzas que me regalaron también para reyes en otro año anterior.

qué os han traído a vosotr@s??