factores primos 2 y 5

dividir un número entre una potencia de 10 -es decir, 10, 100, 1000, etc.- es muy fácil: consiste tan sólo en desplazar hacia la izquierda el punto que separa las unidades enteras y los decimales tantas veces como indique el grado de la potencia de 10 del divisor: uno si es 10, dos si es 100, tres si es 1000...

pero las cosas normalmente no son tan sencillas. el caso de que el divisor sea una potencia de 10 es muy particular. al dividir un número entero entre otro, será raro incluso que en el cociente obtengamos un número finito de decimales. lo ‘normal’ será que al realizar la división nos encontremos con un bucle infinito: nunca obtendremos resto cero en la división, sino que por el contrario aparecerán las mismas cifras periódicamente.

como ejemplo, veamos la división de la unidad entre los primeros números enteros. la parte entera del cociente será 0 al ser el denominador mayor que el numerador, pero eso no supone un problema. lo que nos interesa es la cadena de decimales que se obtiene.

en varios casos dicha cadena será infinita y formará una pauta periódica. a veces es una única cifra la que se repite periódicamente, y a veces es un grupo de cifras. también puede ocurrir que las primeras cifras decimales que se obtienen en el cociente no formen parte del período. sea como sea, la cifra o grupo de cifras que forman parte de la pauta periódica se marcan con un símbolo similar a un acento circunflejo (^).

observamos que al dividir entre los números primos 3, 7, 11, 13,... -y todos los siguientes, lo podéis comprobar- así como entre cualquier número que tenga dichos factores primos, se obtiene una serie infinita de decimales.

pero el 2 y el 5 también son números primos, y con ellos esto no se cumple. hemos obtenido una cadena finita de decimales al dividir entre 2, 4, 5, 8 y 10, que casualmente son los números cuyos factores primos son 2 y/o 5 combinados de diferentes maneras, dentro del intervalo que hemos tomado como ejemplo.

este hecho no es tan casual. tiene que ver con que nosotros empleamos el sistema de numeración en base 10, y los factores primos de 10 son 2 y 5. conocéis el truco de que “dividir entre 2 es multiplicar por 5 y dividir entre 10”, y “dividir entre 5 es multiplicar por 2 y dividir entre 10”? así es, una división entre 2 o entre 5 siempre se puede convertir en una división entre 10.

al dividir un número entero entre otro, el primer paso será simplificar la fracción, cancelando del numerador y el denominador los factores primos comunes -o, dicho de otra manera, dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor-. una vez hecho eso, si el divisor tiene algún factor primo distinto de 2 y 5, irremediablemente se obtendrá un cociente con una serie infinita de decimales.

por el contrario, si el divisor es un número cuyos únicos factores primos son 2 y/o 5, se puede demostrar, realizando unas sencillas transformaciones que no afectan al resultado de la fracción, que equivale a una división entre una potencia de 10. y por lo tanto, se obtendrá como resultado un número con una serie finita de decimales.

al dividendo lo denominaremos genéricamente k. al divisor lo representaremos por su descomposición en factores primos: 2ⁿ·5^m. n y m pueden tomar cualquier valor entero positivo (n,m>0), o bien 0 en el caso particular de que el único factor primo sea 2 (m=0), o que el único factor primo sea 5 (n=0). recordemos que cualquier potencia de exponente cero es igual a la unidad.

analizamos en primer lugar el caso de que n sea mayor que m. multiplicamos y dividimos la fracción por un mismo número -lo cual no afecta al resultado, pero nos interesa hacerlo así-, que va a ser 5^n-m. en el numerador, ese factor se queda como está, multiplicando a k. en el denominador, 5^m multiplicando a 5^n-m, sabiendo que el producto de potencias de la misma base es la base elevada a la suma de exponentes, queda como 5ⁿ. así, en el denominador queda el producto 2ⁿ·5ⁿ. el producto de 2 y 5 se puede agrupar bajo el exponente n, quedando como resultado (2·5)ⁿ, es decir, 10ⁿ.

tras estas operaciones, en el numerador tenemos k multiplicado por 5^n-m. si k era un número entero, y lo multiplicamos por algo que también es un número entero, qué obtenemos? otro número entero, que lo llamaremos k’. y el denominador lo hemos convertido en 10ⁿ. por tanto, lo que tenemos es la división de un número entero entre una potencia de 10. el resultado tendrá una cadena finita de decimales.

pasamos al caso en que m es mayor que n. operaremos de manera análoga. esta vez multiplicamos el numerador y el denominador por 2^m-n. en el numerador, este factor se queda multiplicando a k, y en el denominador, agrupando potencias de la misma base, obtenemos 2^m·5^m, que es lo mismo que 10^m.

de igual manera que en el caso anterior, en el numerador hay un nuevo número entero, igual a k multiplicado por 2^m-n, al que llamaremos k’. y en el denominador, 10^m. nuevamente, se trata de una división de un número entero entre una potencia de 10, cuyo resultado será un número con una serie finita de decimales.

el caso de que n sea igual a m es muy tonto, porque si es así, en realidad lo que ocurre es que el denominador es una potencia de 10 directamente, que se distinguen a simple vista al ser un uno seguido de varios ceros. he escrito la demostración para contemplar también este caso, aunque es deshacer para luego volver a hacer... :P

bueno, espero que os haya gustado y que no os hayáis mareado mucho. ;) esto de los números cuyos factores primos son sólo 2 y/o 5, que al dividir entre ellos nunca salen antipáticas cadenas infinitas de decimales que hay que truncar por algún sitio, es una idea que tenía en la cabeza desde hace muchos años, y que por fin me he animado a sacar a la luz. :)

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edito: esta entrada quedaba demasiado ‘abstracta’ si no mostraba algunos ejemplos concretos de números que cumplen esta propiedad. así, en el intervalo entre 1 y 100, los números cuya descomposición en factores primos tiene la forma 2ⁿ·5^m, serían los siguientes:

1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100.

1 corresponde al caso en que n y m son 0. no es de extrañar, 1 es divisor de cualquier número. se trata, una vez más, de uno de esos casos particulares que no aportan nada nuevo pero que por rigor teórico hay que considerar...

he tomado las tablas de factores primos de los números del 1 al 100 que hice para la entrada sobre este tema que publiqué el año pasado -enlazada más arriba- y he marcado los números cuyos únicos factores primos son 2 y/o 5 que he citado antes. en las tablas se puede apreciar que cada vez están más espaciados, aunque nunca dejan de aparecer, ya que el rango de exponentes al que pueden ir elevados los factores 2 y 5 es infinito, como infinitas son también las combinaciones que pueden formar entre ellos.