domingo, 18 de abril de 2010

números primos

en matemáticas de 6º ó 7º de egb dimos el tema de los números primos, y aunque en cursos posteriores no se volviera sobre ello, se me quedó muy grabado.

los números primos son aquellos cuyos únicos divisores son la unidad y el propio número. no son múltiplos de ningún otro número entero, más que de 1 y de sí mismos.

los números primos van apareciendo sin seguir ninguna pauta. se puede averiguar cuáles son primos por eliminación: descartando todos aquellos que se puedan obtener como producto de dos o más números enteros.

se puede hacer una tabla de números, por ejemplo del 1 al 100 para empezar por algo sencillo, y tachar todos que no sean primos, es decir, que sean múltiplos de otros números.

múltiplos de 2:
es decir, los pares. el 2 no lo tachamos, porque ése sí es primo según la definición que hemos dado.
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100.
ya nos hemos “cepillado” la mitad de la tabla. y ahora vamos con los...

múltiplos de 3:
a partir del 3 vamos contando de tres en tres y tachando, exceptuando el propio 3 que es primo. los que son múltiplos de 3 y también de 2, ya estaban tachados en la criba anterior. los que nos “cargamos” esta vez son:
9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99.

múltiplos de 4:
los múltiplos de 4 son múltiplos de 2 forzosamente, porque 4 es 2 elevado al cuadrado, 2*2. son como números pares de segundo grado. por tanto, ya están todos descartados.

múltiplos de 5:
éstos acaban siempre en 0 o en 5. el propio 5 no lo tachamos porque es primo. los que aún no habían caído en cribas anteriores son:
25, 35, 55, 65, 85, 95.

múltiplos de 6:
6 es 2*3, luego los múltiplos de 6 lo son por fuerza de 2 y 3, y por tanto ya están descartados todos.

múltiplos de 7:
empezamos por el 7 y vamos contando de siete en siete, tachando los que no hayamos tachado antes, que ya son pocos. el propio 7 es primo.
49, 77, 91.

múltiplos de 8:
son pares de tercer grado al ser 8 igual a 2 elevado al cubo, o bien 2*2*2.

múltiplos de 9:
ocurre algo análogo, al ser 9 igual a 3 al cuadrado, 3*3. los múltiplos de 9 son por fuerza múltiplos de 3.

múltiplos de 10:
son múltiplos de 2 y de 5, al ser 10 igual a 2*5.

a partir de aquí ya no hace falta seguir. los múltiplos de 11 menores de 100 (que es el rango que hemos tomado al principio), ya están todos tachados, ya que en ellos el 11 con toda seguridad ha ido multiplicado por otros factores primos menores que sí mismo. 11*11 es 121, que ya excede de 100.

la tabla quedaría como aquí veis. los números primos entre 1 y 100 son, por tanto:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.


los números se pueden descomponer en un producto de factores primos. esos factores son como ‘piezas’. los números primos tienen la peculiaridad de que son de una pieza, mientras que los no primos están formados por varias piezas pequeñas, o una pequeña y una grande... depende de cada caso.

veamos unos ejemplos...

el 42 se ve claramente que es par, así que empezamos a dividirlo por 2, y nos queda 21. éste ya es impar, luego el 2 ya no nos vale. probamos a dividirlo por el siguiente primo, el 3. 21 entre 3 es 7. hemos llegado a un número primo, que es el 7. ya no podamos seguir dividiendo. luego 42 es 2*3*7.

el 60: es par, empezamos dividiéndolo por 2 y nos da 30. éste también es par, luego lo podemos dividir por 2 otra vez, y nos queda 15. veamos ahora con el 3. 15 entre 3 es 5. hemos llegado a 5, que es primo. ya no podemos seguir. 60 será 2*2*3*5, o bien 2^2*3*3. (2^2 es 2 al cuadrado, qué lata que blogger no permita poner superíndices :P)

aquí os pongo los factores primos de todos los números del 1 al 100. se podría hacer lo mismo del 101 al 200, pero ya hemos tenido bastante por hoy. :D se nota mucho que esta semana no se me ocurría nada que contar? ;)





13 comentarios:

  1. Mi prime Guillermo era muy sinvergüenza, al contrario que mi primo Jesús que era un pardillo de cuidao. El más gracioso era mi primo Pepote, por eso trabaja en la tele. Y el más guapo con diferencia, mi primo Javier, que se casó con una americana con ascendencia armenia, tiene unas niñas monísimas.
    Tengo más primos, pero me los reservo para otra ocasión.
    XDDDDDDD
    Bssss
    Cloti

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  2. Pues mira, esto a mi se me daba bastante bien. Y si nunca se ma había olvidado la definición de "número primo" ahora menos ya que Iván Ferreiro lo canta en uno de sus temas, jajajajja

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  3. Me asombra cómo te pueden fascinar tanto los números. Yo no les veo ningún encanto, sorry.

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  4. Aaaay, Chema: las matemáticas no son mi fuerte, pero se lo enseñaré a mi marido, que le encantan

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  5. A mi se me quedó el tema de los números primos, aunque una vez que pasaban de diez ya la cosa se me iba complicando... Pero bueno, en esta ocasión he podido seguirte incluso hasta casi la mitad del post... Soy un hacha, jejeje!!
    Hay una novela que se llama "La complejidad de los números primos" (Paolo Giordano), que utiliza estos números como metáfora, pero no tiene nada que ver... Es romanticona.

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  6. "La soledad de los números primos", no "complejidad", así se llama la novela. Estaba pensando en otra cosa...

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  7. Vas a conseguir hacer de mí una Fermat o una Pitágoras. Empiezo a leer tus entradas de mates hasta el final. El que la sigue la consigue..¡¡y hasta lo he entendido!!!

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  8. Tu Chema eres de los mios.
    Viva las matemáticas. Son fascinantes
    Lucía

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  9. ruth, hay muchas tablas de números que asustan un poco, pero no es tanto en realidad, jejeje.

    cloti, creo que había una historieta de zipi y zape en la que su maestro don minervo les preguntaba qué eran los números primos, y ellos hablaban de ese otro tipo de 'primos'. :D

    geno, es que la aritmética es más sencilla y menos fácil de olvidar que otras partes de las matemáticas, aunque no por ello menos interesante, jejeje.

    anele, desde el día que en matemáticas de 7º de egb el profesor nos puso una ecuación mal planteada cuyo resultado era 1/0, los números me fascinan, así es. :D

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  10. morgana, en realidad esto de las tablas de números primos está más que inventado, aunque eso sí, la que hice para este post la hice sin consultar en ningún libro ni nada, porque este tema se me quedó grabajo a fuego. ;)

    blas, ya he visto esa novela en alguna librería, el título no podía pasarme desapercibido, jeje. lo de los números primos es sencillo cuando son pequeños, pero si te dan un numeraco de ocho dígitos y tienes que averiguar si es primo, es terrorífico. :S

    inma, bien por ti!! :D ya que has mencionado a fermat, tal vez algún día escriba un post sobre la famosa ecuación de fermat. es fascinante, y ni en el colegio ni en la carrera lo dimos, lo sé por cultura general...

    lucía, me alegro de que haya alguien que me apoye!! jajaja. ;) de vez en cuando escribo posts sobre estos temas en el blog, generalmente relacionándolos con temas reales. la verdad es que este post es de números puros y duros, me salió así...

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  11. Hola Chema! Hacía un montón de tiempo que no me pasaba por aquí (desde los ángulos de Euler), pero ya me he puesto al día, con tus entradas sobre Murcia, el concurso de Esther (lo has explicado de una forma muy graciosa de donde has sacado cada dibujo!!), etc.
    Yo odio las matemáticas, pero reconozco que me gusta leer como las cuentas porque las explicas de una forma muy interesante, con ejemplos muy curiosos. Mi marido adora las mates y también me gusta que él me explique esas cosas que sólo "ellas" (las mates) tienen.....
    Besos

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  12. rosana, no eres la primera ni la segunda que me dice lo de "mi marido es de ciencias y le enseño tus entradas", jejeje. es que las matemáticas hay que saber explicarlas de forma amena, y si alguna vez me dedico a la docencia, intentaré hacelo así... me alegro de que te haya gustado! :)
    besos

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