miércoles, 22 de febrero de 2012

nieve


esta figura es la representación simplificada de la forma que adopta un copo de nieve.

la manera de generarla es sencilla. se parte de un triángulo equilátero. se divide cada uno de sus lados en tres partes iguales, y desde cada uno de los tramos medios resultantes de esta división se construye un nuevo triángulo equilátero.





hemos obtenido algo similar a una estrella de david. sobre cada una de las líneas rectas de la estrella podemos repetir el proceso: las dividimos en tres partes iguales, y sobre cada tramo medio trazamos nuevos triángulos equiláteros.



y así se podría seguir indefinidamente. no continuamos el proceso, porque el número de nuevos triángulos generados va aumentando exponencialmente, y su tamaño cada vez más pequeño hace difícil dibujarlos.

se puede obtener una ley recurrente para calcular el perímetro y el área de la figura tipo ‘copo de nieve’ que se obtiene al realizar sucesivamente el proceso de construir triángulos sobre los tramos medios de sus lados.



el perímetro del triángulo equilátero del que se parte es igual a 3 veces la longitud de su lado. y su área será, como para todo triángulo, la mitad del producto de su base por su altura. la altura de un triángulo equilátero es su lado multiplicado por √3/2.



en la primera fase del proceso, cada tramo medio del triángulo equilátero lo hemos sustituido por los dos lados de un nuevo triángulo cuya longitud es 1/3 del lado inicial. es decir, 2/3 del perímetro inicial lo hemos dejado como estaba, y 1/3 del mismo lo hemos duplicado. esto da como resultado multiplicar el perímetro inicial por 4/3 (ver los cálculos en el escaneado).

el perímetro así obtenido será igual a 4 veces el lado inicial, o bien igual a 12 veces por 1/3 de este lado. la ‘estrella de david’ tiene 12 lados o líneas rectas.

así sucederá en todas las fases del proceso. siempre multiplicaremos el perímetro que teníamos en la fase anterior por 4/3. y los lados de las figuras obtenidas, puesto que vamos dividiendo su longitud entre 3 cada vez, irán divididos entre las potencias de 3: 1/3, 1/9, 1/27, 1/81...

en cuanto al área, será igual a la del triángulo inicial más la de los 3 triángulos que hemos generado. dado que el área de un triángulo depende del cuadrado de su lado, si el lado del nuevo triángulo es 1/3 del lado del triángulo inicial, su área será (1/3)*(1/3)=1/9 del área del triángulo inicial.



en la segunda fase, el perímetro pasará a ser el de la primera multiplicado por 4/3, lo que da como resultado 16/3 del lado del triángulo inicial, o bien 48 por 1/9 de dicho lado, que es la longitud de los lados de los triángulos que hemos generado esta vez.

el área será igual a la obtenida en la primera fase más la de los 12 nuevos triángulos -tantos como líneas rectas tenía la estrella de david de la fase anterior-, cuyo lado es 1/9 del lado inicial. su área será (1/9)*(1/9)=1/81 del área del triángulo inicial.



vamos a aplicar el proceso de generar nuevos triángulos una vez más. no he dibujado la figura resultante, pero nos la podemos imaginar.

el nuevo perímetro será igual a 4/3 por el perímetro obtenido en la segunda fase, y eso es igual a 64/9 por el lado del triángulo inicial. o bien, 192 veces por el lado de los nuevos triángulos generados, cuya longitud será 1/27 del lado inicial.

la figura obtenida en la segunda fase tenía 48 líneas rectas, y por tanto se habrán generado 48 nuevos triángulos. el área de cada uno de ellos será (1/27)*(1/27)=1/729 del área del triángulo inicial.



veamos la expresión general del perímetro y el área de la figura obtenida cuando realizamos este proceso un número genérico n de veces.

el perímetro final será igual a 4/3 elevado a n por el perímetro inicial. dado que 4/3 es un número mayor que 1, cuando n tiende a infinito el perímetro se hace infinito también.

el área final será igual a la suma de las áreas obtenidas en cada fase. observamos que a partir de la primera fase se sigue una progresión geométrica de razón 4/9. para hallar su valor cuando n tiende a infinito, emplearemos esta conocida fórmula: la suma de los términos de una progresión geométrica de razón r<1 es igual a 1/(1-r).

así pues, al aplicar el proceso de generar triángulos en los tramos medios infinitas veces, la figura obtenida tendrá un área igual a 8/5 (es decir, 1.6) por la del triángulo inicial.

ahí está la gran paradoja de la figura del copo de nieve: su perímetro puede crecer hasta el infinito, mientras que su área siempre es finita.

10 comentarios:

  1. Reconozco que siempre he sido bastante desastre en matemáticas, aunque la geometría y el dibujo técnico me gustaban porque significaban un reto para mi. Si, creo que volveré a leer la entrada. ¡Un repasito nunca viene mal!
    Bss!

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  2. El dibujo queda muy bonito pero ahora, eso de que sea sencillo de hacer... en fin... bueno, es que a mi esto nunca se me dió demasiado bien...

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  3. gen, bienvenida!! el dibujo geométrico es muy bonito. aunque no es de las cosas que más he tenido que estudiar en mi vida, me ha dejado mucha huella. yo también tengo que volver a leer la entrada, porque la he publicado sin revisar mucho el texto, y seguro que hay cosas que se pueden expresar mejor, jeje.

    geno, en realidad lo que es sencillo es la idea de cómo se hace. luego, hacerlo es bastante tedioso, jeje. la primera imagen la hice de manera 'elegante', con bisectrices y ese tipo de cosas. el resto las hice midiendo con la regla, que eso es trampa. y si hubiera dado otro paso más, habría tenido que dibujar 48 triángulos chiquitines, qué horror. :S

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  4. Qué bonitísimo dibujo te ha quedado, Chema!! Me encanta. Un día de estos me pongo y dibujo uno, tiene buena pinta. Tipo mandala, para relajarte. No sabía que se hacían así los copos de nieve. Y yo pregunto: los copos de nieve son realmente de esa forma??? o es que a esa forma se le llama así??? Cuando estuve en Suiza, que es cuando más he estado en plena nieve, sí que me pareció que los copos no eran exactamente redondos tan cual, pero no ´se.
    Me ha gustado la última frase. Una figura contradictoria y polémica....pero preciosa!
    Besos!!

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  5. Qué cabeza tienes, Chema, qué cabeza.... buffff, hasta el infinito y más allá (madre mía lo que encierra un copo de nieve) jejeje

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  6. rosana, al parecer los copos de nieve tienen esa forma, pero a nivel microscópico. y en realidad, la del copo de nieve es la resultante de aplicar el proceso de dibujar triangulitos en los tramos medios de la estrella, no infinitas veces, pero sí muchas más veces que como lo he hecho yo. la forma que queda como resultado es más... esponjosa, podríamos decir.
    los copos que viste y que normalmente vemos cuando nieva son realmente cúmulos de copos, jeje. en la naturaleza se generan formas geométricas muy regulares. se habla de ello en el libro 'geometría sagrada' de stephen skinner, que alguna que otra vez lo he mencionado en el blog. también se habla de esta figura en una enciclopedia de ciencias de mi abuelo que he consultado muchas veces. ya estaba tardando mucho en dedicarle un post!

    coilet, en realidad yo he sido un poco vaguete y he dibujado sólo las dos primeras fases del proceso, porque como le decía a geno, a la siguiente habría tenido que hacer 48 triángulos! en los libros aparece dibujada esta forma más elaborada, y supongo que la habrán hecho con algún programa informático. si se busca en google por 'copo de nieve', también se podrán encontrar imágenes.
    al haber titulado esta entrada como 'nieve', alguien puede entrar pensando que es sobre paisajes nevados, y encontrarse con "esto". :D

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  7. Algo tienen los copos de nieve que trasciende a la física! Son puro arte ¿verdad?

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  8. inma, los copos de nieve aúnan física, geometría y arte. ahora estoy leyendo el libro 'geometría sagrada', pero leyéndolo de cabo a rabo, que antes sólo lo había utilizado de consulta. se habla de cosas como los patrones geométricos en las obras de arte. a ti que has estudiado historia del arte seguro que te gustaría.

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  9. Chema, desde luego tú has nacido para dar clases y explicar mate, física y demás. Pones muchas ganas en ello y lo vives. Tus alumnos tienen que estar encantados.

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  10. gracias, lucía!! :) sí, la verdad es que me lo paso muy bien explicando, y tratando de hacer sencillo lo complicado. las flechitas y los circulitos de diferentes colores que hay en los cálculos escaneados de esta entrada y otras parecidas los utilizo mucho en las clases, para explicar las cosas. mi caja de rotuladores es la clave, jeje.

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