martes, 26 de febrero de 2013

potencias de 2

hay una historieta de los pitufos en la que son capturados por gargamel, todos ellos excepto papá pitufo, que logra escapar. por la noche acude a rescatarles, provisto de herramientas para romper los grilletes que les apresan.

me he fijado en una viñeta en que le pide a uno de los pitufos que le ayude a liberar a los demás una vez que él ya esté libre.


en una situación en la que alguien acudiera al rescate de un grupo de personas maniatadas, y cada persona liberada se incorporase a la tarea de liberar a las demás, el número de personas libres aumentaría de forma exponencial.

inicialmente sólo está libre de ataduras el que llega al rescate. al liberar a uno de los que están apresados, ya son dos. a continuación, ambos liberan a otros dos, uno cada uno, y ya son cuatro. los cuatro liberan a uno más cada uno, con lo cual ya hay ocho libres. esos ocho liberan a uno más cada uno, y ya son dieciséis libres. y así sucesivamente. lógicamente trabajan más los que antes han sido liberados.

como vemos, el patrón que sigue el número de individuos liberados es el de las potencias de 2: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28... o lo que es igual: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256...

veamos cómo se aplicaría esto al caso de los pitufos. supongamos que se tarda un minuto en romper cada grillete. es un tiempo generoso, sesenta segundos de reloj golpeando con el martillo y el cincel dan para mucho. da tiempo incluso a que el pitufo recién liberado estire un poco las piernas antes de ponerse a liberar a otros.

dado que los pitufos son 100 en total, el tiempo que tardarán en quedar libres todos estará entre 6 y 7 minutos, ya que 26=64 y 27=128. tiene que estar entre medias.

ese tiempo se puede calcular de manera exacta:
2x = 100
x = log100/log2 = 6.643856...min = 6 min 39 seg

en realidad, es difícil imaginar que todos los pitufos liberados dispongan al mismo tiempo de herramientas para romper los grilletes del resto. pero si así fuera, este procedimiento sería sin duda muy eficiente.

y lo es más aún si el número de prisioneros aumenta. en algo más de 21 minutos se podría liberar a toda la población de madrid. en poco más de 25 minutos, a toda la población de españa. en algo menos de 30 minutos, a toda la población de europa. entre 32 y 33 minutos, a toda la población actual del mundo. y en aproximadamente 47 minutos, a la población estimada del mundo en toda la historia.

pero en realidad esto es un supuesto muy idealizado, en el que se ignoran factores como el entorpecimiento mutuo entre las personas que están liberando a los demás, o el cansancio de los que llevan más tiempo aplicados a esa tarea.

desde el punto de vista matemático, este problema es equivalente al del tablero de ajedrez y los granos de trigo.

cuenta la leyenda que un rey indio quiso premiar a un sabio visir por haber inventado el juego del ajedrez. le daría al visir lo que pidiera. entonces éste le pidió al rey que le pusiera un grano de trigo en la primera casilla de un tablero de ajedrez, dos granos de trigo en la segunda casilla, cuatro granos en la tercera casilla, ocho granos en la cuarta casilla... y así sucesivamente, hasta llegar a la última. en cada casilla, el doble de granos de trigo que en la anterior.

parece poca cosa, pero a medida que se avanza en el tablero, el número de granos de trigo que hay que poner en cada casilla empieza a asustar. en la última casilla habría que poner 263 granos, que son 9,223,372,036,854,775,808, del orden de 9 trillones de granos. eso es mucho trigo, creedme. no cabría ni en un tablero de ajedrez de tamaño natural.


hay que aclarar que el exponente al que hay que elevar 2 en cada casilla es igual al número de la casilla menos una unidad. en la primera, 20 (que es 1). en la segunda, 21. en la tercera, 22. en la cuarta, 23. ...y así sucesivamente hasta la última, 263. de ahí que, aunque la última casilla sea la nº64, el exponente que corresponde es 63.

para calcular el total de granos de trigo en todas las casillas utilizamos la fórmula que nos da la suma de la progresión geométrica 20+21+22+23+24+...2n. esa suma es igual a 2n+1-1. en el caso que nos ocupa, para n=63, el número total de granos es 264-1, lo que da una cantidad de 18,446,744,073,709,551,615: algo más de 18 trillones de granos.

como no tengo en casa trigo en grano para medir empíricamente cuánto pesa, lo he hecho con arroz, que es similar en volumen y en densidad. pensad que un paquete de un kilo de arroz tiene un volumen parecido al de un kilo de harina de trigo. claro que la harina es más compacta que el arroz, ya que éste no llena por completo el espacio: quedan huecos entre los granos. en el caso de la harina, como las partículas son mucho más finas, los intersticios entre ellas sólo son visibles a nivel microscópico.

en cualquier caso, podemos afirmar que en 30 gr. de arroz hay unos 1500 granos. por regla de tres, 1.8*1019 granos pesarán 360,000 millones de toneladas.

con 360,000 millones de toneladas de trigo se pueden fabricar muchas barras de pan y muchas galletas. y con la misma cantidad de arroz se pueden hacer muchas paellas.


aquí tenéis los valores exactos de la exponencial de 2. valen para los dos supuestos que hemos visto. n puede ser el contador de las casillas del tablero de ajedrez o de los minutos que transcurren a medida que son liberados los prisioneros. y 2n puede ser el número de granos en cada casilla o el número de prisioneros liberados.

 n..........................2n

 0---------------------------1
 1---------------------------2
 2---------------------------4
 3---------------------------8
 4--------------------------16
 5--------------------------32
 6--------------------------64
 7-------------------------128
 8-------------------------256
 9-------------------------512
10-----------------------1,024
11-----------------------2,048
12-----------------------4,096
13-----------------------8,192
14----------------------16,384
15----------------------32,768
16----------------------65,536
17---------------------131,072
18---------------------262,144
19---------------------524,288
20-------------------1,048,576
21-------------------2,097,152
22-------------------4,194,304
23-------------------8,388,608
24------------------16,777,216
25------------------33,554,432
26------------------67,108,864
27-----------------134,217,728
28-----------------268,435,456
29-----------------536,870,912
30---------------1,073,741,824
31---------------2,147,483,648
32---------------4,294,967,296
33---------------8,589,934,592
34--------------17,179,869,184
35--------------34,359,738,368
36--------------68,719,476,736
37-------------137,438,953,472
38-------------274,877,906,944
39-------------549,755,813,888
40-----------1,099,511,627,776
41-----------2,199,023,255,552
42-----------4,398,046,511,104
43-----------8,796,093,022,208
44----------17,592,186,044,416
45----------35,184,372,088,832
46----------70,368,744,177,664
47---------140,737,488,355,328
48---------281,474,976,710,656
49---------562,949,953,421,312
50-------1,125,899,906,842,624
51-------2,251,799,813,685,248
52-------4,503,599,627,370,496
53-------9,007,199,254,740,992
54------18,014,398,509,481,984
55------36,028,797,018,963,968
56------72,057,594,037,927,936
57-----144,115,188,075,855,872
58-----288,230,376,151,711,744
59-----576,460,752,303,423,488
60---1,152,921,504,606,846,976
61---2,305,843,009,213,693,952
62---4,611,686,018,427,387,904
63---9,223,372,036,854,775,808

pasamos a otro asunto: mis amigas wuapibegoblas y las hermanas elanor y arien me han concedido dos bonitos premios blogueros. muchas gracias a todas por acordaros de mí!! :) en cada uno de ellos hay un cuestionario que procedo a responder.

premio 1

7 libros favoritos:
la máquina del tiempo (herbert george wells)
el extraño caso del dr.jekyll y mr.hyde (robert louis stevenson)
de la tierra a la luna / alrededor de la luna (julio verne)
las aventuras de sherlock holmes (arthur conan doyle)
momo (michael ende)
la leyenda del rey errante (laura gallego)
los planetas (dava sobel)

7 películas favoritas:
ben hur
quo vadis?
con la muerte en los talones
los pájaros
repulsión
cantando bajo la lluvia
mary poppins

Contestar 3 preguntas:
1. ¿Cual es tu sección favorita de los blogs? recuerdos de la infancia
2. ¿Cuantas paginas tenia el ultimo libro que has leído? 528
3. ¿Cual es la mejor adaptación de cine que has visto? quo vadis

premio 2

Contestar a estas preguntas:

1. ¿Que es lo que más te gusta de la vida?
encontrar cada día nuevas cosas por las que ilusionarse.

2.  Compartir un mensaje:
es muy importante la vocación, hacer aquellas cosas con las que nos sentimos “como en casa”.

bueno, muchas de las blogueras a quienes leo habitualmente ya han recibido estos premios. yo se los voy a conceder a tres chicas soñadoras que, además, seguro que darán respuestas interesantes a las preguntas: wendy, princesa nadie y mari cari.

16 comentarios:

  1. En cuanto he visto la viñeta ya me he imaginado que harías de las tuyas. No puedo evitar pensar matemáticamente ante todo, ante esa imagen mi mente se ha poblado de operaciones (aunque no tan complicadas como las tuyas, ehhh!).

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  2. Vaya entrada más currada, aunque empiezo a creer que a tí no te cuesta esfuerzo alguno esto de hacer cálculos de cosas cotidianas, qué envidia me das... Me ha encantado la mención a los Pitufos, y también lo que expones acerca de cuánto tiempo se necesitaría liberar al mundo entero. Es apasionante imaginar cosas así. Comparto muchos gustos literarios y cinefilos contigo también.

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  3. Después de esto creo que me voy a preparar un arroz con leche, yo hago una bandejita y a ver si se multiplica, como se te va a multiplicar estos premios, pues "Historias de siempre" tienes más, no sabía que también te lo habían concedido, pero te lo vamos ha dar de todas formas.
    Veo que te gustan los clásicos como a mí, magnificas Ben hur, la Túnica, Hitchcock... son maravillosas, es ponerlas sentarse y disfrutar, me gustaría comentar algunos clásicos contigo.
    Un beso.

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  4. Jope, Chema. Qué sorpresa, menos mal que hoy me estoy dando un paseo blogero que si no ni me entero.

    Me ha parecido interesante tu listado de libros favoritos, no serían los primeros en mi lista pero me gustan mucho el 1, 2 y 4. Es indudable que te gusta el misterio y la ciencia ficción.
    El indio de la leyenda estuvo muy acertado en su petición :PPP.
    Gracias por acordarte de mi. Pasa a avisar a las chicas que igual no se enteran.
    Un beso pitufero.

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  5. ses, es que he leído muchos comics de pequeño y ahora también, y encuentro muchas cosas que se pueden analizar y relacionar con algo de matemáticas. además, cuando en una entrada sobre temas de estos se ponen una cuantas viñetas queda más ameno y divertido, jeje. he utilizado viñetas de esther, de los pitufos, de tintín, de superlópez, de zipi y zape...

    merchi, soy un fan de los pitufos! de los comics sobre todo, que es lo que era originalmente. la serie de dibujos vino después. al ver la viñeta de los grilletes cuando leía esa historia, pensaba: mira qué sabio es el papá pitufo y cuánta experiencia tiene. pero no fue hasta hace poco cuando se me ocurrió pensar en llevar al límite ese método de que cada liberado se ponga a liberar a los demás. al desarrollarlo por escrito me salió más largo de lo que pensaba, pero bueno. :D

    arien, muchas gracias a ti y a tu hermana por pensar en mí!! la intención es lo que cuenta. :) ahora voy a editar la entrada para mencionaros a vosotras también. pues sí, las películas que más me gustan son las clásicas. por un lado me gustan los musicales porque son obras de arte. por otro lado, otras películas más oscuras como las de hitchcock tienen muchos detalles que me hacen pensar. las de romanos tienen unas escenas geniales, como la carrera de cuádrigas o el incendio. en fin, que antes se hacían unas películas muy impactantes con muchos menos medios que ahora.

    wendy, el visir indio sin duda fue muy listo, aunque no sé si él mismo era consciente de la magnitud que alcanzaría lo que había pedido. :D entre mis libros favoritos siempre están varios que leí de adolescente. y luego también otros que he leído más recientemente y que pasado cierto tiempo sigo teniendo buen recuerdo de ellos. me alegro de haberte dado una sorpresilla, jejeje. pues sí, dentro de un rato iré a avisar a las otras dos chicas.

    besos a todas!

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  6. Ji, ji, pitufito azul, ja ja... gracias amigo por el premio... umhhh creo que si tengo cinco minutitos lo pondré... Gracias y gracias... Ah! y felicidades a las queridas niñas... bss p'atos!! ja ja

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  7. Qué curioso, Chema, todas tus películas favoritas son de cine clásico. Y los libros también, excepto un par de excepciones. Podría decirse que eres un chico muy clásico ;)

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  8. Muchas gracias ,es un honor ver que de todos los blogs que te siguen y conoces te hayas acordado de mí.
    Compartir los premios con mis queridas amigas Wendy y Mari Cari es un placer
    Me gusta mucho esa vajilla de San Claudio a la que pertenece el plato de arroz y la taza que muestras
    Un Abrazo

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  9. mari cari, me ha gustado lo de pitufito azul. :D como llevo gafas full time desde la más tierna infancia, tengo algo del pitufo filósofo. pero a veces, según el momento, también tengo rasgos del pitufo perezoso, del pitufo gruñón, del pitufo bromista o del pitufo goloso. ese último caso se da cuando tengo cerca algo que lleve chocolate. ;)

    anele, eso es verdad, tendría que haber nacido en otra época anterior, jeje. entre los libros favoritos, se me olvidó mencionar 'los renglones torcidos de Dios', que ya tiene tres décadas. quise incluir uno de laura gallego, porque he leído muchos de esa autora y me han gustado. el de 'los planetas' es el único que no es novela, es un ensayo que mezcla ciencia, mitología, fantasía y un toque de humor. y luego, con las películas sí que soy clásico 100%. ;)

    princesa, bien merecido lo tienes! esa vajilla la tenemos desde hace la tira de años y está como nueva. no sabía de qué firma era, aunque el nombre de san claudio me suena mucho. ya se ve que eres aficionada, en tu blog nos enseñas siempre unas tazas preciosas. vaya tejemanejes que hice, pasando el arroz de la báscula al plato, del plato a la taza, de la taza a la báscula otra vez... :)

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  10. ¡¡ayyyy, si los profes enseñaran matemáticas con los pitufos, otro gallo cantaría!! jajajjaj Estupenda clase, Chema y enhorabuena por tus premios XDD (veo que al final no has aprovechado sagas completas para tus libros, jejeje)

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  11. Me a gustado tu expicacion, aunque te voy a preguntar algo, papa pitufo llega un cincel y un martillo, como le ayuda el segundo pitugo y a si sucesivamente, si no ahy mas que UNO? jajaja. enhorabuena por tus premios.

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  12. geno, es que las mates hay que hacerlas amenas! a mi alumna del año pasado a veces le hacía dibujitos chorras para explicarle los problemas, jeje. en cuanto a los libros, bueno, si una novela de dos tomos se puede considerar una saga, entonces sí que he incluido una: 'de la tierra a la luna / alrededor de la luna' de julio verne! :D otras que me han gustado fueron la tetralogía de la torre de laura gallego y la trilogía de la academia spence de libba bray. y también 'la biblioteca de los muertos / el libro de las almas' de glenn cooper, que me regaló anele y leí hace poco.

    bertha, eso era lo que decía! :D papá pitufo llevaba en su maletín un martillo y un escoplo, con lo cual sólo podía utilizarlos él, o algún otro pitufo que le sustituyera de vez en cuando, pero sólo los podía utilizar un pitufo cada vez. pero bueno, yo me he imaginado que todos los pitufos tienen a mano herramientas para romper las cadenas, jejeje. prisa no tenían, porque a gargamel le había tendido una trampa papá pitufo y se había quedado encerrado en un baúl. :P

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  13. Es curioso como lo has explicado Chema, !con los pitufos! nunca se me habría ocurrido.
    Yo los pitufos no los solía ver de pequeña, eran unos dibujos que no me gustaban demasiado y mira que había entonces poca variedad en la tele. Solo teníamos la 1 y la 2.
    Saludos.

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  14. Ainsss, las matemáticas!! Aunque siempre fui más de física, las mates no me disgustaban pero los profes no las hacían tan divertidas como en tu post jeje.
    Enhorabuena por los premios! Y yo que pensaba que no iba a ser capaz de rellenar mis listas jaja Entre los titulos de los que me fui acordando y algunos de los que vais poniendo vosotr@s tendría para unas cuantas jajaja

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  15. Muy bueno Chema muy bueno, jajaja.

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  16. lucía, los verdaderos pitufos son los de los comics, que además no son tan infantiles. tienen muchas ironías que un niño no pilla del todo. tú que eres de mi gremio, sabrás bien lo que es el crecimiento exponencial, jeje. en mecánica de 2º, recuerdo que la ecuación del desplazamiento de un punto material ligado a una curva o a una superficie era exponencial. me resultaba muy curioso, porque interviniendo sólo la gravedad, lo más intuitivo sería que fuera cuadrática. ya no me acuerdo de cómo se llegaba a eso, y a saber dónde tendré mis apuntes...

    rousi, vi esa viñeta y se me ocurrió la idea de que los prisioneros liberados aumentaban exponencialmente. y por otro lado, hace poco leí lo del tablero de ajedrez y los granos de arroz. y se me ocurrió juntar ambas cosas, además tuve la suerte de encontrar otra viñeta de los pitufos relacionada con el ajedrez, jeje. con los libros me pasa igual, puse los primeros que pensé, pero luego se ma han ocurrido muchos otros!

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