galletas

una de mis manías es partir las galletas maría en tres trozos de aproximadamente igual tamaño. por qué? sencillamente porque al partirla en dos, los trozos son demasiado grandes -no caben en la boca-, y al partirla en cuatro son demasiado pequeños.

dada la rigidez de la galleta, no es posible dividirla radialmente en tres ‘gajos’ de igual tamaño y forma. habrá que partir un trozo según una línea recta que quede ligeramente por encima del diámetro. suponiendo que ese trozo tenga un tamaño igual a un tercio de la galleta, la parte restante serán dos tercios, y será fácilmente divisible dado que es simétrica. así pues, hemos dividido la galleta en tres trozos, dos iguales y uno desigual en cuanto a su forma, pero de igual tamaño.

este problema equivale a separar un segmento circular cuya área sea igual a un tercio del círculo completo. si el área del círculo es igual a π·R², siendo R su radio, un tercio de la misma será π·R²/3.

calcularemos el área del segmento circular como diferencia entre dos áreas que pueden calcularse con relativa facilidad: la del sector circular abarcado por un ángulo α -que aún no sabemos cuál es y deberemos calcular-, y la del triángulo isósceles cuyo lado mayor es la cuerda según la cual hemos dividido el círculo, y cuyos lados menores son radios del mismo, de valor R.

el área del sector circular será igual a la del círculo multiplicada por un factor de proporcionalidad que nos indica la ‘porción de tarta’ que estamos cogiendo. ese factor de proporcionalidad será el cociente entre el ángulo abarcado α y el ángulo completo de la circunferencia, que es 360º, o lo que es igual, 2·π radianes. hace tiempo hablamos aquí de la equivalencia entre grados y radianes.

el triángulo que debemos restar al sector circular lo podemos dividir en dos triángulos rectángulos iguales. el mayor de sus dos ángulos no-rectos será igual a la mitad de α, es decir, α/2. y sus catetos serán las proyecciones horizontal y vertical del radio, es decir, el radio R multiplicado por el seno y por el coseno de α/2, respectivamente.

el área de nuestro triángulo isósceles será igual al área de los dos triángulos rectángulos en que lo hemos dividido. el área de un triángulo es igual a un medio del producto de la base por la altura. al ser rectángulo la base y la altura son los catetos, siendo indiferente cuál sea cada uno. existe una relación trigonométrica según la cual el producto del seno y el coseno de un ángulo es igual a la mitad del seno del ángulo doble, y que nos permitirá simplificar la expresión.

así pues, calculamos el área de nuestro segmento circular restándole al área del sector circular el área del triángulo limitado por la cuerda y los radios.

el área del segmento circular vendrá dada por la expresión R²·(α–senα)/2, y recordemos que debe ser igual a un tercio del área del círculo. por tanto, deberemos igualarla a π·R²/3.

obtendremos una ecuación cuya incógnita es el ángulo α. para entender mejor su significado, la expresaremos de esta manera: α=2·π/3+senα.

 

2·π/3 es igual a 120º. la ecuación nos está diciendo que el ángulo que la satisface es algo mayor que 120º, ya que el seno del ángulo siempre será positivo al ser éste menor que 180º, que sería el correspondiente a dividir el círculo en dos mitades iguales. por otro lado, 120º es el ángulo correspondiente a dividirlo en tres ‘gajos’ iguales, pero al principio decíamos que eso en el caso de la galleta no se podía hacer. la cuerda según la cual la partimos tiene que estar un poco más abajo, y por tanto el ángulo abarcado será mayor.

dicho de otro modo: según la ecuación, el ángulo que buscamos será igual a 120º+‘algo’. y por otro lado, por lo que decíamos, deberá estar comprendido entre 120º y 180º. podemos probar con la media aritmética entre estos dos valores: 150º, cuyo equivalente en radianes es 5·π/6.

como vemos, es una solución suficientemente aproximada. sobre todo cuando se trata de partir una galleta, algo en lo que no se puede pretender ser muy exacto. estuve iterando con diferentes valores, y la solución exacta estaría en torno a 149.3º. pero las iteraciones no os las pongo aquí porque son aburridas y no merecen la pena.

para terminar, os dejo con una sugerencia de algo mucho más interesante que puede hacerse con una galleta maría. si no tenéis nocilla en casa, podéis bajar al supermercado en un momento.