plastilina

ayer, haciendo problemas de geometría del espacio con una estupenda alumna de 2º de bachillerato, nos preguntábamos por qué el volumen del tetraedro definido por tres vectores no coplanarios es igual a la sexta parte del paralelepípedo limitado por esos vectores y los vectores deslizantes paralelos correspondientes... en el dibujo se entenderá mejor.

vamos a tratar de comprobarlo para un caso sencillo, como es el de un cubo. si lo cortamos con un plano que pase por tres diagonales de sus caras, obtenemos una pirámide cuya base es un triángulo equilátero -de lado la diagonal de la cara del cubo- y cuyas caras laterales son triángulos rectángulos isósceles -de catetos iguales a la arista del cubo-.

el volumen de una pirámide es el producto del área de la base por la altura -perpendicular a la base desde el vértice superior de la pirámide-. empezaremos calculando el área de la base, que como hemos dicho es un triángulo equilátero. si a la arista del cubo la llamamos a, la diagonal de la cara será a·√2. por otro lado, la altura de un triángulo equilátero se puede demostrar fácilmente que es igual a su lado multiplicado por √3/2. haciendo los cálculos para nuestro caso, obtenemos que el área de la base es a²·√3/2.

hay dos distancias que vamos a necesitar para calcular la altura de la pirámide. una es la altura de la cara lateral. al tratarse de un triángulo rectángulo isósceles, se comprueba fácilmente que es igual a la mitad de la hipotenusa, y por tanto en nuestro caso igual a la mitad de la diagonal de la cara del cubo: a·√2/2.

la otra distancia que necesitamos es la apotema de la base. en el caso de un triángulo equilátero, la verdad es que no me la sabía porque no es algo que se use mucho, pero se puede deducir utilizando razones trigonométicas. para nuestro caso será a·√6/6.

ahora viene el paso más difícil. vamos a hacer una sección de la pirámide, con un plano que contenga a una de sus aristas y a la altura de una de sus caras laterales. si nos damos cuenta, hay un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la altura de la cara (a·√2/2), y cuyos catetos son la apotema de la base (a·√6/6) y la altura de la pirámide que queremos calcular. aplicamos el teorema de pitágoras y obtenemos que la altura de la pirámide es a/√3.

ya sólo nos falta sustituir los valores del área de la base y de la altura en la fórmula del volumen de la pirámide. y tal como estaba previsto, es igual a a³/6. es decir, la sexta parte del volumen del cubo.

he comprado plastilina -que no la usaba desde egb- para moldear un cubo y cortarle una porción de forma piramidal de la manera que hemos explicado, y así poder visualizar este problema en tres dimensiones. porque por muchos gráficos que hagas sobre el papel, siempre hay algo que se te escapa...

esta tableta de plastilina, en su estado original medía 13 cm de longitud, 5 cm de anchura y 2 cm de grosor. es decir, su volumen es de 130 cm³. con ella se puede formar un cubo cuya arista sería ³√130 = 5,066. aproximadamente 5 cm. el cubo me ha salido un poco amorfo, y eso que he usado un libro para alisarle las caras. pero cuando lo he seccionado, ya sí que me ha quedado un engendro. me abstengo de poner fotos del resultado...

pero bueno, me ha servido como excusa para ir a la papelería que tengo al lado de casa. una de las chicas que hay allí es amiguita mía. ^_^ alguna sugerencia de cosas que se puedan hacer con plastilina amarilla?

primavera

hoy me han cancelado unas clases en el último momento, así que he aprovechado la tarde para hacer dos cosas:

• ir andando hasta la casa donde se va a mudar de manera inminente la familia de un alumno mío, para hacer el simulacro y saber cuánto se tarda.
• visitar el parque quinta de los molinos, que se encuentra en esa zona. quería ver también el parque del capricho, pero ése no está abierto en día laborable, y como las cosas han surgido así hoy...

pues vamos a ver qué tal está este parque. la entrada mola, con lo que me gustan los arcos.

ésta es la avenida principal, como si dijéramos.

y ésta es una especie de calle secundaria paralela, por donde se pueden ver más arbustos con flores y esas cosas típicas de la primavera.

en esto de la fotografía, voy haciendo mis *pinitos*.

me quiere, no me quiere?

a esto se le llama poner puertas al campo.

no sé qué es este ‘coso’ -como dicen los adolescentes-, pero me ha dado ideas para problemas de geometría. el hueco es medio cilindro y un cuarto de esfera.

jamás he sabido dónde se encuentran y cómo se extraen los piñones de las piñas.

llegamos a un cruce de caminos...

qué túnel tan chulo! vamos a ver qué hay al otro lado.

ahora que estamos en primavera y el sol incide con menos inclinación que en invierno, las sombras no son tan largas.

soy muy obsesivo con lo de lavarme las manos, pero parece que no hay jabón, así que mejor me espero a llegar a casa.

tras una verja hay esta especie de antigua fuente...

desde aquí hay unas bonitas y simétricas vistas.

agua, agua! y no, no estoy avisando de que viene la poli.

estoy buscando el palacio del que me han hablado, pero me da que esto no es...

aquí lo tenemos. no está mal como casa, eh?

mecachis, se me han olvidado las llaves.

vista lateral del palacete.

al final de este camino se ve uno de los molinos de viento a los cuales hace referencia el nombre del parque, quinta de los molinos.

tiene 18 aspas, si no he contado mal.

allí a lo lejos se ve otro molinillo!

emprendemos el camino de regreso. por aquí hay olivos y todo, aunque no son como los de jaén.

aquí hay una pradera con árboles perfectamente alineados. se podría calcular cuántos hay multiplicando filas por columnas.

espero que os haya gustado este paseo, aunque las fotos hayan sido un poco ‘random’, es decir que no siguen ningún orden ni hilo conductor. quiero dar las gracias a laura por orientarme sobre cuáles son los lugares de este parque que uno no se debe perder. :*

y terminamos con un consejo: nunca dejéis que los árboles os impidan ver el bosque.

tests psicotécnicos

en 2º de bup -curso 1992-93 para mí- nos hicieron unos tests psicotécnicos, en parte con la idea de ayudarnos a elegir opción el curso siguiente. se cumple el 25 aniversario de esos tests, que los tenía guardados en un cajón.

la parte de personalidad quizá es la que me parece más curiosa. los comentarios escritos en ese tipo de letra tan frío, en realidad eran copia-pegas de varios modelos de comentarios que tenían preparados según el rango de valores que obtuvieras en cada rasgo de personalidad. no es que la máquina que evaluaba los tests “te conociera”.

en conjunto, creo que no he cambiado mucho. en emotividad, me venía a decir que era un agonías. en actividad, que era más o menos responsable pero un poco vaguete. en lo que llamaba resonancia -que me suena a ‘resonancia magnética’-, me decía que me comía mucho el tarro.

en dominancia, parece que mi autoestima era buena -y eso que por aquel entonces sí tenía abuelas-, pero no era demasiado mandón. en reflexión, pues sí, siempre he sido más teórico que práctico. en sociabilidad, parece que no era muy simpático. :P a ver, no era tipo fernando fernán gómez, sino más bien soso y poco expresivo. en eso sí he cambiado un poco para mejor. y en control, pues un pelín impulsivo, no lo niego.

por otro lado estaban los tests de aptitudes. el significado de las siglas lo escribí con mi letra, y alguien me debió de facilitar esa información, pues de lo contrario no sé cómo lo habría podido averiguar. en aquella época tenía una curiosa manera de hacer la letra ‘a’ minúscula, que se la copié a mi profesor de matemáticas de aquel curso.

la puntuación más alta la tuve en capacidad de aprendizaje, y les doy la razón: me aprendo las letras de las canciones y los miembros de los grupos musicales fantásticamente. :D la más baja en razonamiento mecánico. supongo que nos pusieron ejercicios del tipo “en qué sentido giran las ruedas dentadas en el engranaje de la figura”. creo que ahora haría un poco mejor un test de ese tipo, aunque no sé si me atrevería a arreglar una moto averiada.

recordáis algún test similar que os hicieran en el colegio/instituto? acertaron mucho o poco? os fiais de ese tipo de cuestionarios?

lo que tiene que intimidar un poco es que te hagan un encefalograma y descubran tus pensamientos más íntimos. aunque a mortadelo y filemón no parece preocuparles demasiado...

nancy

como os conté dos entradas más abajo, tenía una nancy que rescaté del cuarto trastero de la casa de mi abuela, pelirroja y articulada. la he arreglado un poco, y aunque soy principiante en estas cosas y aún está tan lejos de lucir tan bella como las muñecas de muchas de mis lectoras, al ver cómo estaba al principio creo que ha mejorado mucho.

le di un buen baño y le lavé el pelo con champú y suavizante, tras lo cual se lo envolví en papel film transparente, siguiendo el consejo de mi amiga maria josé -quien además me regaló el conjunto de peto y zuecos que os enseñé hace un par de semanas-. mil gracias de nuevo, guapa!! :*

la peiné un poco, y como estaba deseando verla con su conjunto de peto y zuecos, se lo puse cuando aún tenía el pelo húmedo. tenía cierto efecto ‘recién levantada’.

después se lo he ido desenredando pacientemente, y aunque aún está mejorable, ya es otra cosa. el ojo derecho a veces se le queda más cerrado que el otro, a ver si se lo arreglo.

todavía no le he puesto nombre, así que se admiten sugerencias. lo que sé es que me ha salido ‘cerebrita’ la nena. va a querer ser coautora del blog y todo...

límites y edades

en la quedada del viernes pasado con naar y álter, salió el tema de los límites matemáticos. yo traté de explicarlo con un sencillo ejemplo, haciendo servir un palillo alargado para las patatas con ali-oli como eje de coordenadas.

se me ha ocurrido un caso de la vida real relacionado con los límites. la diferencia de edad entre dos personas siempre es la misma. sin embargo, a medida que esas personas van creciendo, se van igualando. por ejemplo, a naar le saco seis años. cuando yo estaba en cou y ella en 6º de egb, eso era una diferencia considerable. pero en cambio, a estas alturas de la vida esa diferencia de años no es nada.

el cociente entre una variable x y esa misma x con cierta cantidad sumada, cada vez se va aproximando más a 1. eso es lo que ocurre con las edades: la diferencia se mantiene, pero no la proporción. como ejemplo pondremos el caso más sencillo, el cociente x/(x+1). veamos cómo varía según le vamos dando valores a la x.

  1/2 = 0,5

  2/3 = 0,6666...

  3/4 = 0,75

  4/5 = 0,8

  5/6 = 0,8333...

  6/7 = 0,857152...

  7/8 = 0,875

  8/9 = 0,8888...

 9/10 = 0,9

10/11 = 0,909090...

11/12 = 0,91666...

12/13 = 0,923076...

como vemos, se va aproximando cada vez más a 1. en términos matemáticos, diríamos que el límite cuando x tiende a infinito (∞) es 1. efectivamente, si a un número enorme le sumas una unidad, la diferencia es mínima. el cociente entre 5.000.000 y 5.000.001 es casi 1 porque la diferencia entre ambos valores es inapreciable.

representando la función x/(x+1) en una gráfica, se observa que se va pegando cada vez más a la línea de color amarillo que representa el valor 1. dicha línea recibe el nombre de asíntota.

en los comics, a veces se cometen ciertas incoherencias con las edades de los personajes. como ya comenté en alguna ocasión, en casi cuarenta años superlópez apenas ha envejecido, sólo le han salido cuatro canas en las sienes. pero el no va más es que martha y chico -personajes secundarios de superlópez- tienen una hija que va pasando de recién nacida a adolescente a lo largo de una serie de historietas, mientras que los padres siguen pareciendo veinteañeros. a este paso les va a acabar adelantando...

p-d: saludo desde aquí a la madre de álter, quien al parecer es seguidora de mis modestas divagaciones matemáticas. :)