números primos

en matemáticas de 6º ó 7º de egb dimos el tema de los números primos, y aunque en cursos posteriores no se volviera sobre ello, se me quedó muy grabado.

los números primos son aquellos cuyos únicos divisores son la unidad y el propio número. no son múltiplos de ningún otro número entero, más que de 1 y de sí mismos.

los números primos van apareciendo sin seguir ninguna pauta. se puede averiguar cuáles son primos por eliminación: descartando todos aquellos que se puedan obtener como producto de dos o más números enteros.

se puede hacer una tabla de números, por ejemplo del 1 al 100 para empezar por algo sencillo, y tachar todos que no sean primos, es decir, que sean múltiplos de otros números.

múltiplos de 2:
es decir, los pares. el 2 no lo tachamos, porque ése sí es primo según la definición que hemos dado.
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100.
ya nos hemos “cepillado” la mitad de la tabla. y ahora vamos con los...

múltiplos de 3:
a partir del 3 vamos contando de tres en tres y tachando, exceptuando el propio 3 que es primo. los que son múltiplos de 3 y también de 2, ya estaban tachados en la criba anterior. los que nos “cargamos” esta vez son:
9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99.

múltiplos de 4:

los múltiplos de 4 son múltiplos de 2 forzosamente, porque 4 es 2 elevado al cuadrado, 2². son como números pares de segundo grado. por tanto, ya están todos descartados.

múltiplos de 5:
éstos acaban siempre en 0 o en 5. el propio 5 no lo tachamos porque es primo. los que aún no habían caído en cribas anteriores son:
25, 35, 55, 65, 85, 95.

múltiplos de 6:
6 es 2·3, luego los múltiplos de 6 lo son por fuerza de 2 y 3, y por tanto ya están descartados todos.

múltiplos de 7:
empezamos por el 7 y vamos contando de siete en siete, tachando los que no hayamos tachado antes, que ya son pocos. el propio 7 es primo.
49, 77, 91.

múltiplos de 8:

son pares de tercer grado al ser 8 igual a 2 elevado al cubo, o bien 2³.

múltiplos de 9:

ocurre algo análogo, al ser 9 igual a 3 al cuadrado, 3². los múltiplos de 9 son por fuerza múltiplos de 3.

múltiplos de 10:
son múltiplos de 2 y de 5, al ser 10 igual a 2·5.

a partir de aquí ya no hace falta seguir. los múltiplos de 11 menores de 100 (que es el rango que hemos tomado al principio), ya están todos tachados, ya que en ellos el 11 con toda seguridad ha ido multiplicado por otros factores primos menores que sí mismo. 11² es 121, que ya excede de 100.

la tabla quedaría como aquí veis. los números primos entre 1 y 100 son, por tanto:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.


los números se pueden descomponer en un producto de factores primos. esos factores son como ‘piezas’. los números primos tienen la peculiaridad de que son de una pieza, mientras que los no primos están formados por varias piezas pequeñas, o una pequeña y una grande... depende de cada caso.

veamos unos ejemplos...

el 42 se ve claramente que es par, así que empezamos a dividirlo por 2, y nos queda 21. éste ya es impar, luego el 2 ya no nos vale. probamos a dividirlo por el siguiente primo, el 3. 21 entre 3 es 7. hemos llegado a un número primo, que es el 7. ya no podamos seguir dividiendo. luego 42 es 2·3·7.

el 60: es par, empezamos dividiéndolo por 2 y nos da 30. éste también es par, luego lo podemos dividir por 2 otra vez, y nos queda 15. veamos ahora con el 3. 15 entre 3 es 5. hemos llegado a 5, que es primo. ya no podemos seguir. 60 será 2²·3·5.

aquí os pongo los factores primos de todos los números del 1 al 100. se podría hacer lo mismo del 101 al 200, pero ya hemos tenido bastante por hoy. :D se nota mucho que esta semana no se me ocurría nada que contar? ;)

moda primavera-verano

el pasado mes de marzo se organizó en el foro de trini tinturé un simpático concurso que consistía en hacer un dibujo o montaje de emma vestida con un modelito a elección del concursante.

la verdad sea dicha, sólo nos presentamos dos personas. lástima, porque sé que hay muy buenas dibujantes que lo demostraron en otros concursos anteriores del mismo estilo. ;) el caso es que ganó merecidamente riesgho, a quien doy de nuevo mi enhorabuena desde aquí. precioso dibujo, susana!!

mi dibujo es éste que aquí veis. como suele ocurrir, me daba pereza empezar, aunque luego me lo pasé muy bien haciéndolo.


como veis, es una imagen muy veraniega, aunque la viñeta de emma en la que me basé para dibujar su silueta y luego vestirla, era de otoño casi tirando a invierno...

como en esa viñeta emma tenía el pelo sacudido por el viento, decidí dibujarla en un lugar en el que hubiera una brisa veraniega. para dibujar el mar me inspiré en esta viñeta de esther vestida con traje de baño, apoyada en la cubierta del barco, en su viaje de fin de curso.

las gaviotas que vuelan por el cielo, reconozco que las copié de otra viñeta de esther, en la que sus padres y su hermana pequeña laurita se marchan de vacaciones, mientras que esther se queda con su amiga rita.

en cuanto al modelito de emma, que era lo principal del concurso, me inspiré en una foto de la revista ‘doble cero’ que antes se distribuía gratuitamente en el corte inglés. tanto el vestido como el collar los saqué de ahí.

el vestido en principio pensaba hacerlo blanco como en la foto original, pero luego preferí rellenarlo con algún color alegre. tengo cierta fijación por la gama rosa-violeta-azul. por otro lado, en la foto no se ven muy bien la cintura y el volante, así que los dibujé a mi manera.

espero que os haya gustado el dibujo. y si además os he dado alguna idea para vuestro vestuario de cara al verano, mejor todavía. ;)

murcia

murcia es una pequeña región a veces olvidada, que no es ni castilla la mancha, ni andalucía, ni la comunidad valenciana, aunque tiene elementos de las tres. para mí significa mucho, porque de allí procede gran parte de mi familia paterna.

esta semana santa hemos estado en murcia capital, donde mis padres vivieron durante unos años, antes de que yo naciera. he aprovechado para sacar todas las fotos que he podido de algunos de los lugares más representativos de la ciudad.

el monumento más conocido de murcia, sin duda es la catedral. fue construida entre 1394 y 1465. su torre tiene una altura de unos 93 metros, lo que sitúa a esta catedral entre las dos o tres más altas de españa. la catedral de burgos será más famosa, pero la de murcia es más alta, ea. :D

además de la catedral, también hice fotos del santuario de la fuensanta, de los jardines del malecón, del río segura, y de las calles del casco antiguo. tratándose de las fechas en las que hemos estado allí, no podía faltar alguna foto de las procesiones de semana santa, que en murcia se vive intensamente.

he seleccionado las fotos que mejor me han quedado y las que más transmiten... espero que os gusten. :)

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aprovecho esta entrada para agradecer a berta el bonito premio que me ha concedido, con un dibujo de una heroína empuñando su espada... muchas gracias, guapa!! me ha hecho mucha ilusión.

hay que responder a un breve cuestionario. vamos con ello.

1- heroína preferida: esther, que resulta simpática incluso cuando refunfuña. ;)
2- tres cosas de las que no desistirías: libros para leer, mi mp3 para escuchar música, y folios y bolígrafo para escribir...
3- decir algo de un valor incalculable: el respeto.
4- cuáles son las cosas que mas valoras o te gustan de un blog: que te haga pasar un rato agradable y olvidarte de las preocupaciones que puedas tener.

hay que conceder este premio a tres personas. hoy las elegidas han sido kira, nuria y belén. os lo habéis ganado! :) ya os iré avisando.

hemisferios cerebrales

el tema de los dos lados del cerebro me parece apasionante. hace unos cinco años que leí sobre ese tema, y aún sigo dándole vueltas...

los dos hemisferios del cerebro funcionan de distinta manera. para empezar, el hemisferio derecho controla el lado izquierdo del cuerpo, mientras que el hemisferio izquierdo controla el lado derecho. así, una primera manifestación de la asimetría que existe en nuestro cerebro es que una de nuestras manos es más hábil que la otra.

la preferencia por utilizar una mano en lugar de la otra es algo innato. las personas zurdas, desde la infancia se sienten más cómodas utilizando la mano izquierda para escribir, para comer... cuando, en el pasado, a los niños zurdos se les obligaba a escribir con la mano derecha, lo más que se lograba era que acabaran siendo ambidiestros, o que de adultos volvieran a su zurdera natural.

en cuanto a la asimilación de la información, los dos lados del cerebro tienen diferentes funciones, todas ellas igual de importantes. en el lado izquierdo se encuentran el lenguaje, la lógica, el análisis y la capacidad numérica. en el lado derecho, la visión espacial, la síntesis (el ver las cosas globalmente, como un todo), la intuición y las capacidades artísticas.

las personas pueden utilizar en mayor medida una u otra modalidad de pensamiento. unos utilizan más el análisis, y otros se guían más por la intuición. la idea no es etiquetar a la gente, porque además lo ideal es un término medio, como en todo. pero sí es verdad que a veces a las personas más intuitivas les puede costar entenderse con las más analíticas.

a una persona muy lógica, muy detallista, le pueden irritar expresiones como “más o menos...” o “esto tiene pinta de...” porque para esa persona todos los datos tienen que estar contrastados, todo lo que se afirma tiene que ser exacto.

otro ejemplo: tú eres una persona a la que le gusta tener una visión global de las cosas, y tu jefe te manda recopilar información y preparar una presentación sobre un tema. le haces un trabajo muy elaborado en el que se ven muy claras las ideas principales, pero tu jefe al verlo te pregunta por el detalle más rebuscado, en el que no se te había ocurrido pensar. eso te resultará frustrante.

en el mundo docente se aprecia mucho la diferencia entre las dos maneras de pensar. hay profesores -sobre todo en asignaturas en las que hay que realizar cálculos-, para los cuales un ejercicio está bien o está mal, no hay término medio. sin embargo, otros valoran el planteamiento, y si observan que el alumno ha estudiado y sabe de lo que habla, le aprueban.

asimismo, hay alumnos que necesitan salir de clase entendiendo todo lo que el profesor ha explicado. para ello hacen todas las preguntas que hagan falta al profesor durante o después de la clase, o a los compañeros. otros alumnos, en cambio, consideran que no es imprescindible entenderlo todo al 100% en ese preciso momento, sino tener una idea global de lo que se ha explicado, para luego estudiarlo con detalle en casa.

en fin, sobre los dos lados del cerebro se podría hablar mucho. he escrito una entrada muy improvisada, basada en mis experiencias personales, sobre las implicaciones que tiene en la vida práctica utilizar predominantemente la modalidad de pensamiento correspondiente a cada hemisferio. cuál creéis que utilizáis más vosotr@s? sois más intuitivas o más analíticas? ;)

ángulos de euler

nuestra amiga esther, que es muy aficionada al patinaje, nos va a ayudar a comprender mejor los diferentes movimientos de rotación que existen, a través de la práctica de ese bello deporte.

la teoría de los ángulos o rotaciones de euler se basa en distinguir dos sistemas de referencia, con sus tres ejes perpendiculares x,y,z. uno fijo y otro móvil, solidario con el cuerpo que se encuentra en movimiento.

se pueden distinguir tres rotaciones de diferente naturaleza:

la precesión, que representa el giro del cuerpo alrededor del sistema fijo, y se simboliza con la letra φ. es el ángulo que mide las vueltas que va dando esther alrededor de la pista de hielo.

la nutación, que es el ángulo de las oscilaciones del eje vertical que se ha elegido como referencia para el cuerpo móvil, respecto al eje vertical del sistema fijo. se denota con la letra θ. sería básicamente la inclinación de esther respecto a la vertical.

la rotación propia es el ángulo que mide las vueltas que el cuerpo móvil da sobre su propio eje. su símbolo es la letra ψ. se produce cuando esther al patinar da vueltas sobre sí misma como una peonza.

en el gráfico podéis ver los diferentes ejes y ángulos, que los he hecho a mano alzada. como veis, los ángulos de euler tienen sus aplicaciones prácticas, y una de ellas es que esther impresione a juanito con su depurada técnica de patinaje.

por otra parte, como da pena llenar de líneas entrecruzadas una imagen tan bonita de esther, os pongo aquí la viñeta original, para que os la imprimáis como marcapáginas si queréis. ;)

áfrica

esta entrada la tenía medio escrita en un documento de word, y las imágenes ya escaneadas. la empecé a escribir en septiembre, pero tuve la gripe y se quedó interrumpida... la he completado, y por fin sale a la luz.

encontrar una novela ilustrada de editorial bruguera de los años 70 en una feria o en una librería de segunda mano, no tiene nada de particular. lo curioso es encontrarla en una tienda de prensa, artículos de papelería y souvenirs que, si bien no es un prodigio de modernidad, tampoco es una tienda de objetos de segunda mano.

en una simpática tienda de regalos de santander que se encuentra cerca de las estaciones, el pasado verano vi reliquias como novelas de ‘el barco de vapor’ con el formato antiguo, manuales de idiomas de la desaparecida colección ‘quiere vd. saber (...) en 10 días?’... o esta historia ilustrada de áfrica que aquí veis, que me costó tan sólo 3 euros.


es un libro muy ameno, y el único defecto que se le puede sacar es el creciente desajuste entre el texto y las viñetas intercaladas, a medida que avanza la narración. aunque se trata de una edición del año 1974, se publicó originalmente en 1961. en esa época, la mayoría de los países de áfrica habían obtenido su independencia. la visión que se tenía del continente africano era muy diferente de la que existe hoy en día.

al comienzo se muestra una escena de una familia en su casa viendo el telediario, en el cual se habla continuamente de los países africanos por unas razones o por otras: las reclamaciones de independencia en unos, las luchas internas en otros... el niño pregunta a su abuelo qué ocurre en áfrica para que se hable tanto de los países de ese continente. y el abuelo, que vivió en áfrica más de veinte años y conoció de primera mano los hechos, comienza a contarle toda la historia a su nieto. a partir de ese momento, se desarrolla como una novela con un narrador omnisciente.

un primer bloque de esta narración está dedicado al norte de áfrica. se comienza hablando de egipto, uno de las más antiguas civilizaciones. en este capítulo se explican las diversas teorías que existían sobre el nacimiento del río nilo, cuando el áfrica subsahariana era desconocida. el siguiente capítulo está dedicado a cartago, y se relatan las guerras púnicas y el período de dominio romano en el norte del continente. por último, se habla de la expansión del islam.

la segunda parte, más extensa, relata en detalle las exploraciones que los europeos realizaron en el áfrica subsahariana. algunos marineros habían navegado por las costas africanas, pero el interior del continente era un misterio. se habla de los misioneros y de cómo lograban ganarse la confianza de los nativos. no se elude uno de los capítulos más lamentables de la historia de la humanidad, que es el de la esclavitud. grandes grupos de nativos del interior de áfrica eran trasladados hacia las costas, y desde allí se les conducía a las colonias americanas, como mano de obra para la construcción de los nuevos estados en aquellas tierras.

por último, se habla de la colonización. en algunos países del interior de áfrica, los europeos no tardaron en construir líneas de ferrocarril, poco tiempo después de la invención de este medio de transporte. se pasa de puntillas por el tema del apartheid en sudáfrica, que ya estaba implantado cuando se escribió este libro. se centran más en la lucha entre ingleses y holandeses por el domino de ese territorio. todos los países de europa occidental querían tener su parte del pastel en la colonización de áfrica. al final aparece una relación de los países que ya habían obtenido su independencia en la fecha de publicación del libro, y de los que aún estaban colonizados.

los pueblos africanos vivían en paz, con sus medios de subsistencia, antes de ser colonizados. cuando obtuvieron su independencia de los países europeos a los que pertenecían, tal vez no supieron arreglárselas por sí solos. las guerras internas que han surgido entre ellos hasta el día de hoy tampoco han ayudado nada. las causas del subdesarrollo son muchas y muy complejas.

en la red se pueden encontrar fotos y videos de algunas grandes ciudades de áfrica, como johannesburgo (sudáfrica) o lagos (nigeria). esas grandes urbes tal vez dan una idea de cómo podría haber sido el continente africano si hubiera seguido el camino correcto. sin embargo, los edificios de esas ciudades sólo sirven para demostrar la desigual distribución de la riqueza que allí existe...

pueblo gitano

en la aventura de las joyas de la castafiore de tintín, el protagonista y el capitán haddock, que estaban dando un paseo por el campo, descubren casualmente a un grupo de gitanos. estaban acampados junto a un vertedero de basuras porque no se les había permitido hacerlo en otro lugar.

el capitán les invita a instalarse en un prado que hay junto a su castillo. esta idea es apoyada por tintín, aunque casi todos lo consideran una imprudencia, dada la fama de personas conflictivas de los gitanos. en un momento dado de la historia, se produce el robo de una joya que pertenecía a la cantante bianca castafiore, quien estaba pasando unos días como invitada en la residencia de tintín y el capitán.

todo el mundo acusa a los gitanos del robo, idea respaldada por el hecho de que, casualmente, han levantado el campamento. finalmente se prueba su inocencia, que en todo momento había sido defendida por tintín y el capitán haddock.

una de las últimas veces que leí este album de tintín, me paré a pensar en algo que me pareció curioso: esta aventura se dibujó en el año 1963, y estaba ambientada en bélgica, país de nacimiento del creador de tintín. sin embargo, los gitanos que aparecen tienen las mismas características por las que se les conoce en nuestro país, aún a día de hoy: su vida nómada, su manera de vestir, su cultura... y la mala fama que tienen, independientemente de que pueda ser más o menos justificada.

y es que la historia del pueblo gitano (o romaní, como también se denomina) viene de muy atrás, y sus señas de identidad las han mantenido en todos los lugares donde se han asentado. aunque no se sabe con certeza, todo apunta a la que los gitanos proceden de la zona que hoy se encuentra entre la india y pakistán. hacia finales del siglo X y comienzos del XI, comenzaron a dispersarse hacia el oeste, en dirección a diversos países, principalmente persia y turquía.

hacia el siglo XV, las guerras que estaban teniendo lugar en territorio turco obligaron a los gitanos a emigrar. de ese modo, se fueron dispersando con relativa rapidez por toda europa. su negativa a integrarse con el resto de la población y a realizar trabajos respetables, hizo que fueran perseguidos y expulsados de casi todos los países donde estuvieron.

en la alemania nazi, los judíos no eran la única etnia a la que se quería exterminar. los gitanos también fueron conducidos a los campos de concentración, y se produjeron asesinatos en masa de personas de esta raza.

la etnia gitana ha sobrevivido hasta el día de hoy, manteniendo sus signos de identidad. esto se ha debido en parte a su aversión a mezclarse con los no gitanos. de hecho, los matrimonios mixtos tengo entendido que están prohibidos en su código moral.

los países con mayor concentración de gitanos se encuentran en europa del este: hungría, rumanía, bulgaria... lo que ha llevado a mucha gente a pensar que son originarios de esos territorios. a partir de la caída del telón de acero, se ha producido una nueva migración masiva de gitanos, desde el este de europa hacia otros países más prósperos.

existen diferentes argumentos que apoyan la idea del origen indio del pueblo gitano. uno de ellos es su lengua, el romaní, que comparte rasgos con algunas lenguas habladas en el noroeste de la india. el romaní realmente es una familia de lenguas, ya que tiene por lo menos tantas variantes como países en los que está presente esta etnia. los gitanos en realidad aprenden el idioma del país en el que viven, aunque han mantenido el romaní, que ha evolucionado de manera diferente en los distintos territorios por los que han pasado.

los gitanos son un pueblo sin patria, igual que ocurría con los judíos antes de crearse el estado de israel. adoptan la lengua y determinados rasgos culturales del país en el que viven, pero pertenecen a otro grupo étnico. incluso tienen su propia bandera. se ha hablado de la creación de un hipotético estado romaní, aunque eso parece muy utópico.

la comunidad gitana, tradicionalmente no se ha caracterizado por tener una representación oficial. juan de dios ramírez heredia, perteneciente a esta etnia, ha sido la gran excepción. fue diputado desde 1977 hasta 1986, y ha sido siempre un destacado activista en defensa de los derechos de los gitanos. actualmente es presidente de la unión romaní española. en 2008 fue investido doctor honoris causa por la universidad de cádiz, siendo la primera persona de raza gitana en obtener esta distinción.

haré una reflexión para concluir: la fama de conflictivos de los gitanos, para ser honestos, no se puede decir que no se la hayan buscado. sin embargo, tal vez haya sido una reacción a las persecuciones que siempre han sufrido. en la comunidad gitana tiene una gran importancia la tradición oral, las historias que se transmiten de padres de hijos. quizá eso haya fomentado el odio hacia quienes no son gitanos, hacia los ‘payos’, término que ellos emplean en contraposición a ‘gitano’.

dicho de otro modo: está en la naturaleza de esta raza ir contra el orden, y por eso se les ha perseguido? o bien, se les persiguió desde un principio por ser diferentes o por lo que fuera, y eso hizo que reaccionaran adoptando conductas antisociales? qué fue antes, el huevo o la gallina?